リーマン和エクスプローラー

区間 [a, b] を n 等分し、それぞれの小区間に、曲線から読み取った高さの長方形を描きます。その面積を足し合わせ、n を大きくしていくと、高さをどこで読み取っても和は同じ値に近づきます。この値が定積分です。

和の極限としての定積分	$\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\,\Delta x\\ \Delta x&=\frac{b-a}{n}\end{aligned}$
高さを読み取る位置	$\begin{aligned}&L_n:\ x_{i-1},\quad R_n:\ x_i,\quad M_n:\ \tfrac{x_{i-1}+x_i}{2}\\ &T_n=\tfrac12\left(L_n+R_n\right),\quad x_i=a+i\,\Delta x\end{aligned}$
誤差の向き	$\begin{aligned}&f'\ge0:\ L_n\le\int_a^b f\,dx\le R_n\\ &f''\ge0:\ M_n\le\int_a^b f\,dx\le T_n\end{aligned}$

計算例 — リーマン和エクスプローラー

小区間の幅	0.25
代表点	0.125, 0.375, …, 1.875
中点和	2.65625
積分の値	2.666667
和 − 積分の値	−0.010417

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — リーマン和エクスプローラー

区間 [a, b] を n 等分し、各小区間で高さ f(x_i*) をとって、長方形の面積 f(x_i*)Δx を足したものを、f のリーマン和といいます。n → ∞ のときに、この和が近づく値が定積分です。

各記号の意味

Δx: 各小区間の幅：(b − a)/n
xᵢ*: i 番目の小区間で、高さを読み取る代表点

公式の導き方

区間を等分する。 幅 Δx = (b − a)/n の小区間を n 個作ります。分点は x₀ = a、x₁、…、x_n = b です。
$\begin{aligned}&\Delta x=\frac{b-a}{n}\\ &x_i=a+i\,\Delta x,\quad i=0,1,\dots,n\end{aligned}$
各小区間で高さをとる。 i 番目の小区間のどこかに代表点 x_i* を選び、そこでの f の値を読み取ります。このページでは、左端、右端、中点を選べます。長方形の面積は f(x_i*)Δx で、これを n 個足したものがリーマン和です。台形則では両端の値を使い、左端和と右端和の平均が得られます。
$S_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\,\Delta x,\qquad T_n=\tfrac12\left(L_n+R_n\right)$
軸の下は負として数える。 f < 0 のところでは f(x_i*)Δx も負になります。したがって、和が表すのは、軸より上の面積から下の面積を引いたものです。オレンジ色の部分が、差し引かれる部分に当たります。
$\int_{-1}^{2}x\,dx=-\tfrac12+2=\tfrac32$
n を大きくする。 [0, 1] における x² の右端和は (n + 1)(2n + 1)/(6n²) で、1/3 に近づきます。f が連続なら、代表点をどう選んでも和は同じ値に近づきます。その値が積分の値です。
$\begin{aligned}R_n&=\frac1n\sum_{i=1}^{n}\frac{i^{2}}{n^{2}}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}\\ &\xrightarrow{n\to\infty}\ \frac13\end{aligned}$
誤差の向きを調べる。 f が [a, b] で増加するなら、左端和は小さすぎ、右端和は大きすぎます。f が下に凸なら、中点和は小さすぎ、台形和は大きすぎます。減少する場合や上に凸の場合は、それぞれ大小が逆になります。
$\begin{aligned}&f'\ge0:\ L_n\le\int_a^b f\,dx\le R_n\\ &f''\ge0:\ M_n\le\int_a^b f\,dx\le T_n\end{aligned}$

薬理学が途中で計算法を切り替える理由

薬物曝露量はリーマン和で求める。規制当局が知りたいのは、患者の血中濃度–時間曲線下面積だ。しかし実際に得られるのは十数回の採血値にすぎないため、通常は隣り合う測定値の間に台形則を用いる。そこには、このページで見た偏りがそのまま入り込む。消失曲線は凸なので、弦は曲線より上にくる。線形台形法では、実際より大きな曝露量を患者に割り当ててしまう。そこで標準的には、吸収相の上昇部分には線形法、下降部分には対数法を使う。

リーマン和では値が定まらない関数

このページの関数では、代表点をどう選んでも和は同じ値に近づきます。これは連続な関数について成り立つ定理で、連続でなければ成り立たないことがあります。1829 年、ディリクレは、有理数の x では 1、無理数の x では 0 となる関数を示しました。小区間をどれほど狭くしても、その中には有理数も無理数もあります。[0, 1] の各小区間で有理数を代表点に選べば和は 1、無理数を選べば 0 となり、n をいくら大きくしても変わりません。共通の極限がないため、この関数はリーマン積分できません。1902 年に生まれたルベーグ積分では、軸上の位置ではなく、f がとる値に着目して点をまとめます。この積分では、同じ関数の積分値が 0 と定まります。

リーマン和の理論 — 積分の定義そのもの

各帯のどこで値を取るか

リーマン和は区間 [a, b] を n 本の帯に分け、各帯にその内部の1つの標本点で読み取った高さを1つだけ与えます。どの点を選ぶか — 左端、右端、中央 — によって、n が小さいうちは答えが変わります。注目すべきは、n を大きくするとどの選び方も同じ数に近づき、その共通の極限こそが定積分の意味だということです。

左端 — 各帯の始まりで標本をとる Σ f(x_i) Δx

右端 — 各帯の終わりで標本をとる Σ f(x_i+1) Δx

中点 — 各帯の中央で標本をとる Σ f(x_i + Δx/2) Δx

台形 — 両端の平均 Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

左端 — 各帯の始まりで標本をとる

標本点: 高さは帯 i の左端 xᵢ で読み取ります。b での値は一度も使いません。

和: Σ f(x_i) Δx

小さい n では: [0, 2] 上の x² を n = 4 で計算すると 1.75。真の面積 2.667 に遠く及びません。

この場合を開く: 左端で4分割

左端 — 各帯の始まりで標本をとる. どの長方形も自分の左端で高さを取るため、曲線のくさび形が抜け落ちます。高さは帯 i の左端 xᵢ で読み取ります。b での値は一度も使いません。 — どの長方形も自分の左端で高さを取るため、曲線のくさび形が抜け落ちます。

右端 — 各帯の終わりで標本をとる

標本点: 高さは帯 i の右端 xᵢ₊₁ で読み取ります。a での値は一度も使いません。

和: Σ f(x_i+1) Δx

小さい n では: 同じ曲線・同じ n で 3.75 対 2.667。左の和が失った分とほぼ同じだけ超過します。

この場合を開く: 右端で6分割

右端 — 各帯の終わりで標本をとる. 同じ帯を右端で標本にすると、今度はどの長方形も超過します。高さは帯 i の右端 xᵢ₊₁ で読み取ります。a での値は一度も使いません。 — 同じ帯を右端で標本にすると、今度はどの長方形も超過します。

中点 — 各帯の中央で標本をとる

標本点: 高さは帯の中央で読み取り、どちらの端も特別扱いしません。

和: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

小さい n では: 同じ曲線・同じ n で 2.625 対 2.667。左右より一桁近い値です。

この場合を開く: 中点で40分割

中点 — 各帯の中央で標本をとる. 中央で標本をとることで、各帯の2つの誤差が互いに打ち消し合います。高さは帯の中央で読み取り、どちらの端も特別扱いしません。 — 中央で標本をとることで、各帯の2つの誤差が互いに打ち消し合います。

台形 — 両端の平均

標本点: 帯の両端を使い、上辺を両者の間で斜めに結びます。

和: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

小さい n では: 同じ曲線・同じ n で 2.75 対 2.667。どちらの端点和より良いものの、中点には及びません。

この場合を開く: sin x を台形で

台形 — 両端の平均. 両端を結ぶ斜めの上辺 — 左と右の長方形の平均です。帯の両端を使い、上辺を両者の間で斜めに結びます。 — 両端を結ぶ斜めの上辺 — 左と右の長方形の平均です。

全プロセスの詳細解説

中点の長方形8個で ∫₀² x² d x を近似する 5 ステップ
中点で高さをとった8個の長方形で、∫₀² x² dx を近似しましょう。 さらに、二つの誤差のある近似値を組み合わせて、正確な値を求めてみましょう。
1. 幅 2 の区間を8等分すると、Δx = 0.25 です。中点則では、各小区間の中央、つまり 0.125、0.375、… で長方形の高さをとります。中点を選ぶことには、見た目以上の意味があります。手順4で、その理由がわかります。
  
  $\Delta x=\frac{2-0}{8}=0.25,\qquad x_i^{*}=0.125,\,0.375,\,\ldots,\,1.875$
2. 8個の中点をそれぞれ二乗して足し、共通の幅を掛けます。長方形で面積を近似すると決めたこと以外に、ここまでの計算で近似は使っていません。
  
  $M_8=0.25\sum_{i=1}^{8}\left(x_i^{*}\right)^2=0.25\times10.625=2.65625$
3. 積分の正確な値は 8/3 なので、近似値は 0.0104167 だけ小さくなっています。このずれの大きさには、理由があります。
  
  $I=\int_0^2x^2\,dx=\frac{8}{3}=2.66667\quad\Longrightarrow\quad M_8-I=-0.0104167$
4. 中点則の誤差は −(b − a)h²f″(ξ)/24 です。x² の二階微分はどこでも 2 なので、ξ がどこにあるかは関係ありません。誤差の範囲だけでなく、誤差そのものが決まり、−1/96 となります。表示された符号つき誤差と、最後の桁まで一致します。
  
  $E_M=-\frac{(b-a)h^2}{24}f''(\xi)=-\frac{2\,(0.25)^2(2)}{24}=-\frac{1}{96}=-0.0104167$
5. 台形則の誤差は逆向きで、大きさはちょうど2倍です。中点の長方形には曲線からはみ出す部分と届かない部分があるのに対し、下に凸の曲線では、台形の上辺となる弦は全体が曲線の上にあります。中点和と台形和を 2：1 の割合で混ぜると、誤差が打ち消し合います。
  
  $T_8=2.6875,\quad T_8-I=+0.0208333=-2\left(M_8-I\right)\quad\Longrightarrow\quad \frac{2M_8+T_8}{3}=2.66667$
解答

中点則の近似値は 2.65625、積分の値は 2.666667 です。また、x² は [0, 2] で増加するので、左端和 2.1875 と右端和 3.1875 の間に積分の値が入ります。ここで覚えておきたいのは、最後の式です。(2M + T)/3 = 8/3 は正確に成り立ちます。8分割のまま、関数値を追加で求める必要もありません。この加重平均がシンプソン則です。トーマス・シンプソンが 1743 年に発表しましたが、ケプラーはすでに 1615 年、ワイン樽の容積を測るために、一つの小区間にこの方法を使っていました。二つの近似法の誤差が一定の比になるため、その比に合わせて組み合わせれば消せるのです。関数を x³ に変えると、中点和は 3.96875、台形和は 4.0625。組み合わせると、正確に 4 になります。シンプソン則は、どの3次関数でも正確な値を与えます。x⁴ に変えると初めて誤差が現れ、正確な値 6.4 から 0.000065 だけずれます。

$M_8=2.65625,\ E=-\tfrac{1}{96}\qquad \frac{2M+T}{3}=\frac{8}{3}\ \text{exactly}$
減少する関数の左端和と右端和 4 ステップ
[1, 2] を4等分し、左端和と右端和で ∫₁² (1/x) dx を近似しましょう。大きすぎるのはどちらでしょうか。積分の値を知らなくても判断できますか。

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1. [1, 2] を4等分すると、各小区間の幅は 0.25 です。左端和では 1、1.25、1.5、1.75 で高さをとり、右端和では 1.25、1.5、1.75、2 でとります。
  
  $\Delta x=\frac{2-1}{4}=0.25$
2. 左端での高さを足し、幅を掛けます。
  
  $L_4=0.25\left(1+\tfrac45+\tfrac23+\tfrac47\right)=0.25\times\tfrac{319}{105}=0.759524$
3. 右端和では f(1) = 1 が抜け、代わりに f(2) = 0.5 が入るので、0.25 × 0.5 だけ小さくなります。
  
  $R_4=L_4-0.25\bigl(f(1)-f(2)\bigr)=0.759524-0.125=0.634524$
4. 1/x はこの区間で減少するため、各小区間で高さが最大になるのは左端、最小になるのは右端です。左端和は大きすぎ、右端和は小さすぎます。
  
  $R_4=0.634524<\int_1^2\frac{dx}{x}=\ln2=0.693147<0.759524=L_4$
解答

L₄ = 0.759524 は大きすぎ、R₄ = 0.634524 は小さすぎます。積分の値 ln 2 = 0.693147 は、この間にあります。 区間全体で単調に減少、または増加する関数では、積分の値は必ず左端和と右端和の間に入ります。両者の差は Δx·|f(b) − f(a)| で、この例では 0.125 です。
台形則の誤差はどちら向きか 4 ステップ
[0, 4] を4等分し、台形則で ∫₀⁴ √x dx を近似しましょう。近似値は大きすぎるでしょうか、小さすぎるでしょうか。

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1. Δx = 1 です。台形則では五つの分点すべてで高さをとり、内側の三つは2回ずつ足します。
  
  $T_4=\frac{\Delta x}{2}\Bigl[f(0)+2f(1)+2f(2)+2f(3)+f(4)\Bigr]$
2. 数値を代入します。
  
  $=\tfrac12\bigl[0+2+2\sqrt2+2\sqrt3+2\bigr]=2+\sqrt2+\sqrt3=5.146264$
3. 左端和と右端和の平均からも、同じ値が得られます。
  
  $T_4=\tfrac12\left(L_4+R_4\right)=\tfrac12(4.146264+6.146264)=5.146264$
4. f″(x) = −¼x^−3/2 < 0 なので、√x は上に凸です。どの弦も曲線の下にあり、各台形は曲線との間の細い領域を取りこぼします。
  
  $\int_0^4\sqrt x\,dx=\Bigl[\tfrac23x^{3/2}\Bigr]_0^4=\tfrac{16}{3}=5.333333>T_4$
解答

T₄ = 5.146264 は、積分の値より 0.187069 小さくなります。√x が上に凸だからです。 下に凸の曲線では弦が曲線の上に来るため、台形則の近似値は大きすぎます。中点則の誤差は、どちらの場合も台形則と逆向きです。したがって、積分の値は中点和と台形和の間に入ります。
右端和の極限として積分を求める 4 ステップ
∫₀³ x² dx を n 分割したときの右端和を式で表し、その極限から積分の値を求めましょう。

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1. Δx = 3/n、各小区間の右端は x_i = 3i/n なので、i 番目の長方形の面積は (3i/n)²·(3/n) です。
  
  $R_n=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{3i}{n}\right)^{2}\frac{3}{n}=\frac{27}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}$
2. 最初の n 個の自然数の平方和は n(n + 1)(2n + 1)/6 です。
  
  $R_n=\frac{27}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{9(n+1)(2n+1)}{2n^{2}}$
3. 具体的な値で式を確かめてみましょう。n = 6 を代入すると 11.375 となり、6分割の右端和と一致します。
  
  $R_6=\frac{9\cdot7\cdot13}{2\cdot36}=\frac{819}{72}=11.375$
4. 分子と分母を n² で割り、n を限りなく大きくします。
  
  $R_n=\frac{9}{2}\left(1+\frac1n\right)\left(2+\frac1n\right)\ \xrightarrow{n\to\infty}\ \frac{9}{2}\cdot2=9$
解答

∫₀³ x² dx = 9 です。 6分割では 2.375 だけ大きすぎます。一般に、この差は 27/(2n) + 9/(2n²) なので、1/n と同じ速さで小さくなります。これは端点を使う和の誤差に見られる減り方です。
和の極限を定積分として読み取る 3 ステップ
i = 1 から n までの和 Σ (2/n)·√(1 + 2i/n) について、n → ∞ の極限を求めましょう。

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1. Σ f(x_i)Δx の形と照らし合わせます。因子 2/n が Δx に当たるので、b − a = 2 です。また、x_i = 1 + 2i/n は i = 0 のとき a = 1、i = n のとき b = 3 になります。
  
  $\Delta x=\frac2n,\qquad x_i=1+i\,\Delta x,\qquad f(x)=\sqrt x$
2. つまり、この和は [1, 3] における √x の右端和で、その極限は定積分です。
  
  $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac2n\sqrt{1+\frac{2i}{n}}=\int_1^3\sqrt x\,dx$
3. 積分を計算します。
  
  $\Bigl[\tfrac23x^{3/2}\Bigr]_1^3=\tfrac23\bigl(3\sqrt3-1\bigr)=2.797435$
解答

極限は ⅔(3√3 − 1) = 2.797435 です。 同じ和を x_i = 2i/n とおいて読むと、[0, 2] における √(1 + x) の右端和とも考えられます。こちらの積分も 2.797435。読み取りが正しいことを、別の形で確かめられます。
軸の下の面積は負として数える 3 ステップ
∫₋₁² x dx を求め、直線 y = x と x 軸で囲まれた部分の面積と比べましょう。6分割の左端和とも比べてみましょう。

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1. 直線は [−1, 0] では x 軸の下、[0, 2] では上にあります。二つの三角形の面積は、それぞれ ½ と 2 です。
  
  $\tfrac12\cdot1\cdot1=\tfrac12,\qquad\tfrac12\cdot2\cdot2=2$
2. 積分では軸の下の三角形を負として数えますが、面積を求めるときは正として数えます。
  
  $\int_{-1}^{2}x\,dx=-\tfrac12+2=\tfrac32,\qquad A=\tfrac12+2=\tfrac52$
3. 幅 0.5 の6分割で左端の高さをとると、−1、−0.5、0、0.5、1、1.5 です。最初の二つは負なので、和から差し引かれます。
  
  $L_6=0.5\,(-1-0.5+0+0.5+1+1.5)=0.5\times1.5=0.75$
解答

∫₋₁² x dx = 3/2、一方、直線と軸で囲まれた部分の面積は 5/2 です。 リーマン和は f(x_i*)Δx を符号ごと足すため、前者に近づきます。面積を求めるには |x| を積分します。左端和 0.75 が小さすぎるのは、直線が右上がりだからです。中点和は、どの n でも正確に 1.5 になります。直線の下では、中点で高さをとった長方形と台形の面積が等しいためです。
測定値の表から和を求める 3 ステップ
車の速さを t = 0、2、5、7、10 s で測ると、それぞれ 0、8、14、17、20 m/s でした。この 10 秒間の移動距離を、左端和、右端和、台形則で近似しましょう。
解答を表示
1. 各小区間の幅は 2、3、2、3 s と不揃いです。長方形の面積は、それぞれの幅と高さの積なので、共通の Δx を和の外に出すことはできません。左端和では、各小区間の初めの速さを使います。
  
  $L=2(0)+3(8)+2(14)+3(17)=0+24+28+51=103\ \mathrm{m}$
2. 右端和では、各小区間の終わりの速さを使います。
  
  $R=2(8)+3(14)+2(17)+3(20)=16+42+34+60=152\ \mathrm{m}$
3. 台形則では、各小区間の両端の速さを平均します。幅が不揃いでも、結果は左端和と右端和の平均になります。
  
  $T=\tfrac12(L+R)=\tfrac12(103+152)=127.5\ \mathrm{m}$
解答

L = 103 m、R = 152 m、T = 127.5 m です。 表の速さは一度も減少していません。測定と測定の間でも単調に増加していたなら、移動距離は 103 m と 152 m の間にあります。ただし、表だけではそこまで保証できません。測定の合間にブレーキを踏んだとしても、この五つの値から作る和には、その変化が表れないからです。

補充問題（答えのみ）

∫₀^π sin x dx を中点則で近似した値 M₄ を求めましょう。真の値より大きいでしょうか、小さいでしょうか？

答えを表示

M₄ ≈ 2.052344 で、真の値 2 より大きくなります。区間 [0, π] では sin x は上に凸なので、中点則では積分の値を過大に見積もります。

$M_{4}\approx2{.}052344>2$
∫₀¹ x² dx を 10 等分して台形則で近似すると、誤差は 1/600 です。20 等分したときの誤差を予想しましょう。

答えを表示

1/2400 ≈ 0.000417 で、もとの誤差の 1/4 です。台形則の誤差は 1/n² に比例して小さくなります。x² の場合、この予測値は実際の誤差と一致します。

$\frac{1}{600}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2400}\approx0{.}000417$
∫₀¹ 2x dx を左端和で近似するとき、誤差を 0.01 以下にするには何等分すればよいでしょうか？

答えを表示

100 等分です。左端和は 1 − 1/n なので、誤差はちょうど 1/n になります。

$1-L_{n}=\frac1n\le0{.}01\iff n\ge100$

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

参考文献 (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。