偏微分と勾配

等高線図の上で点を動かしてみよう。両軸に沿った傾きが、それぞれの偏微分係数です。方向のダイヤルを回すと、「この方向の傾き」に、その向きに歩いたときの傾きが表示されます。

偏微分係数	$f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
方向uの傾き	$\begin{aligned}&D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=\|\nabla f\|\cos(\theta-\theta_g)\\ &\|\nabla f\|=\sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}}\end{aligned}$
接平面	$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
∇f = 0の点での二階微分による判定（D < 0：鞍点）	$\begin{aligned}&D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\\ &D>0,\ f_{xx}>0:\ \min\qquad D>0,\ f_{xx}<0:\ \max\end{aligned}$

計算例 — 偏微分と勾配

高さ	3.5
∂f/∂x	3.000
∂f/∂y	4.000
最大傾斜 \|∇f\|	5.000
最急方向	53.1°
この方向の傾き	3.000
接平面	3x + 4y − 3.5

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 偏微分と勾配

f(x, y)の偏微分とは、一方の変数を固定して、もう一方の変数で通常どおり微分することです。f_xは曲面をx方向に進むときの傾き、f_yはy方向に進むときの傾きを表します。

各記号の意味

∇f: 勾配ベクトル(f_x, f_y)
θ: 東から反時計回りに測った方向の角度（度）
D: 判別式f_xx f_yy − f_xy²

公式の導き方

一方の変数を固定する。f_xを求めるときはyを定数として、通常どおり微分します。f_yでは、逆にxを定数とします。
$f=1.5x^{2}+2y^{2}:\quad f_x=3x,\quad f_y=4y$
勾配ベクトルを作る。両方の偏微分係数を成分に持つベクトルが∇fです。等高線図の色つきの矢印で、最も急な上りを指しています。その長さが、最も急な傾きです。
$\nabla f=(f_x,\ f_y),\qquad|\nabla f|=\sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}}$
ほかの方向の傾きを求める。θ方向の傾きは、勾配ベクトルとその方向の単位ベクトルとの内積です。最も急な傾きに、そこからの角度の余弦を掛けた値になり、等高線に沿う方向では0になります。
$\begin{aligned}D_{\mathbf u}f&=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta\\ &=|\nabla f|\cos(\theta-\theta_g)\end{aligned}$
接平面を求める。ある点の近くでは、曲面はほぼ平面で近似できます。その両軸に沿った傾きが偏微分係数です。微分のページで扱った接線を、二変数に広げたものと考えられます。
$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
両方の偏微分係数が0なら。その点は停留点です。判別式Dを調べると、D > 0かつf_xx > 0なら極小点、D > 0かつf_xx < 0なら極大点、D < 0なら鞍点と分かります。D = 0のときは、この方法では判定できません。
$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$

全プロセスの詳細解説

一階・二階の偏微分 4 ステップ
f(x, y) = x³y² − 2xy + y³について、(1, 2)でのf_x、f_yと三種類の二階偏微分係数を求め、混合偏微分係数が微分の順序によらず一致することを確かめよう。

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1. f_xを求めるときはyを定数とし、f_yを求めるときはxを定数とします。
  
  $f_x=3x^{2}y^{2}-2y,\qquad f_y=2x^{3}y-2x+3y^{2}$
2. (1, 2)を代入すると、
  
  $f_x(1,2)=12-4=8,\qquad f_y(1,2)=4-2+12=14$
3. さらに微分します。混合偏微分は、どちらの順序でも計算してみましょう。
  
  $f_{xx}=6xy^{2},\quad f_{yy}=2x^{3}+6y,\quad f_{xy}=(f_x)_y=6x^{2}y-2=(f_y)_x=f_{yx}$
4. (1, 2)を代入すると、
  
  $f_{xx}(1,2)=24,\qquad f_{yy}(1,2)=14,\qquad f_{xy}(1,2)=f_{yx}(1,2)=10$
解答

f_x = 8、f_y = 14、f_xx = 24、f_yy = 14、f_xy = f_yx = 10。混合偏導関数が連続なら、微分の順序を入れ替えても結果は一致します。シュワルツの定理、またはクレローの定理と呼ばれる性質です。多項式はすべてこの条件を満たします。
指定した方向の傾きと、最も急な傾き 4 ステップ
f(x, y) = x²y + y³について、(2, 1)でのベクトル(3, 4)方向の変化率を求めよう。また、この点での変化率の最大値と、その方向を求めよう。

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1. まず勾配ベクトルを求めます。
  
  $\nabla f=\left(2xy,\ x^{2}+3y^{2}\right)\ \Rightarrow\ \nabla f(2,1)=(4,\ 7)$
2. 方向を表すベクトルは単位ベクトルにします。(3, 4)の長さは5なので、
  
  $\mathbf u=\tfrac15(3,\ 4)=(0.6,\ 0.8),\qquad\theta=\operatorname{atan2}(4,3)=53.13^{\circ}$
3. 方向微分係数は、勾配ベクトルとの内積です。
  
  $D_{\mathbf u}f=4(0.6)+7(0.8)=2.4+5.6=8$
4. 変化率は勾配ベクトルの方向で最大となり、その値は勾配ベクトルの長さに等しくなります。
  
  $|\nabla f|=\sqrt{4^{2}+7^{2}}=\sqrt{65}=8.062,\qquad\theta_g=\operatorname{atan2}(7,4)=60.3^{\circ}$
解答

(3, 4)方向の変化率は8。最大値は√65 = 8.062で、方向は60.3°です。(3, 4)をその長さで割り忘れると40となり、正しい値の5倍になってしまいます。この問題で最も多い計算ミスです。
接平面と、それを使った近似 3 ステップ
z = √(x² + y²)の(3, 4)における接平面を求め、それを使って√(3.02² + 3.97²)の近似値を求めよう。

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1. (3, 4)での高さは5。偏導関数はx/√(x² + y²)とy/√(x² + y²)なので、
  
  $f(3,4)=5,\qquad f_x=\tfrac35=0.6,\qquad f_y=\tfrac45=0.8$
2. この高さと両軸に沿った傾きから、接平面の式を作ります。
  
  $z=5+0.6(x-3)+0.8(y-4)=0.6x+0.8y$
3. (3.02, 3.97)を代入すると、
  
  $z=0.6(3.02)+0.8(3.97)=1.812+3.176=4.988$
解答

接平面はz = 0.6x + 0.8yで、近似値は4.988です。実際の値は4.988116となります。(3, 4)の近くでは曲面はほぼ平らで、接平面によく重なります。微分のページで、接線を使って曲線を近似したのと同じ考え方です。
停留点と二階微分による判定 3 ステップ
f(x, y) = x³ + y³ − 3xyの停留点を求め、その種類を判定しよう。

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1. 両方の偏微分係数を0と置きます。
  
  $f_x=3x^{2}-3y=0,\qquad f_y=3y^{2}-3x=0$
2. 最初の式からy = x²。これを次の式に代入するとx⁴ = xとなるので、x = 0またはx = 1です。
  
  $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x^{4}=x\ \Rightarrow\ x(x^{3}-1)=0\ \Rightarrow\ (0,0),\ (1,1)$
3. 二階偏導関数はf_xx = 6x、f_yy = 6y、f_xy = −3です。各点で判定すると、
  
  $D(0,0)=0\cdot0-(-3)^{2}=-9<0,\qquad D(1,1)=6\cdot6-(-3)^{2}=27>0,\ f_{xx}=6>0$
解答

(0, 0)は鞍点、(1, 1)は極小点で、f(1, 1) = −1です。ただし、曲面全体で最も低い点ではありません。直線y = x上ではf = 2x³ − 3x²となり、x → −∞のとき、値はいくらでも小さくなります。
東へ3メートル、北へ4メートル上る丘の傾き 6 ステップ
ある丘の斜面では、水平に真東へ100メートル進むと3メートル、真北へ100メートル進むと4メートル高くなります。この丘の最も急な傾きと下りの方向を求めよう。また、その半分の傾きで上る道路は、どの方向に延ばせばよいでしょうか。

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1. この測定値が、両軸に沿った偏微分係数です。0.03、0.04と書く代わりに、100あたり3、4のまま計算すると読み取りやすくなります。計算の内容は変わりません。
  
  $f_x = 3, \qquad f_y = 4$
2. 最も急な傾きは勾配ベクトルの長さです。成分を足した値でも、大きい方を選んだ値でもありません。3と4から求まる長さは5。歩く人が感じる最も急な傾きも、この5です。
  
  $|\nabla f| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
3. その方向はatan2(4, 3)、東から53.1°です。下りは正反対の233.1°。どちらも、直接は測っていない方向です。
  
  $\theta_g = \operatorname{atan2}(4, 3) = 53.13^\circ$
4. 100あたり2.5の傾きで上る道路を考えます。最も急な方向との角度をθとすると、傾きは5 cos θ。これを逆に解けば、cos θ = 2.5/5よりθ = 60°です。
  
  $D_u f = |\nabla f|\cos\theta \;\Rightarrow\; \cos\theta = \tfrac{2.5}{5}, \quad \theta = 60^\circ$
5. 必要な角度は60°です。45°では、傾きはまだ100あたり3.54あります。最も急な傾きの71%で、半分よりかなり急なのです。
  
  $5\cos 45^\circ = 3.54 \quad (71\% \text{ of } 5)$
6. 同じ余弦の関係から、道の長さも分かります。一定の高さまで半分の傾きで上るには、同じ斜面が続く限り、水平に進む距離が2倍必要です。山道がつづら折りになる理由は、この距離の関係にあります。
  
  $\text{length} \propto 1/\cos 60^\circ = 2$
解答

最も急な傾きは100 mあたり5 mで、上りは53.1°、下りは233.1°の方向です。100 mあたり2.5 mの傾きで上る道路は、最も急な方向から60°ずらす必要があり、距離は2倍になります。このツールでは、方向を選ぶと傾きが分かります。後半の問いは、その逆です。道路設計でも、車いす用スロープの勾配基準でも、スキーコースの難易度を考えるときでも、知りたいのはこちらでしょう。傾きをこの値に収めるには、どの方向に進めばよいのか。
傾きがない方向と、水平に進める距離 6 ステップ
曲面1.5x² + 2y²上の(1, 1)では、143.1°方向の傾きが0.000と表示されます。その方向へまっすぐ歩き続けると高さがどう変わるかを調べ、同じ高さのまま進める方向かどうかを考えよう。

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1. 143.1°は、最も急な53.1°の方向に直交します。内積の各項は−2.4と+2.4で打ち消し合い、傾きの表示は0.000になります。
  
  $D_u f = 3\cos 143.13^\circ + 4\sin 143.13^\circ = 3(-0.8) + 4(0.6) = 0$
2. 傾きが0というのは、一階微分についての情報です。同じ方向の二階微分も求めてみましょう。三種類の二階偏微分係数を使った二次形式で表せて、方向を指定する余弦と正弦は一階微分のときと同じです。
  
  $D_u^{2} f = f_{xx}\cos^{2}\theta + 2 f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\sin^{2}\theta$
3. この曲面ではf_xxが3、f_yyが4、混合偏微分係数が0なので、傾きが0の方向での二階微分係数は3.36です。正の値ですから、地面は上向きに曲がっています。
  
  $= 3(0.64) + 0 + 4(0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. したがって、その直線に沿った高さは、今いる場所を最下点とする放物線になります。0.5単位進むと高さは0.42増え、3.5から3.92へ。断面図に描かれるのが、ちょうどこの曲線です。
  
  $f(s) \approx 3.5 + \tfrac{1}{2}(3.36)\,s^{2} = 3.5 + 1.68\,s^{2}; \qquad s = 0.5:\ \ 3.92$
5. ここから、等高線の曲がり方も求められます。同じ高さを保つ曲線が接線から曲がっていく度合い、つまり曲率は、この方向の二階微分係数を勾配ベクトルの大きさで割った値です。結果は0.672で、曲率半径は1.488となります。
  
  $\kappa = \frac{D_u^{2} f}{|\nabla f|} = \frac{3.36}{5} = 0.672, \qquad R = \frac{1}{\kappa} = 1.488$
6. 等位曲線の曲率の公式を使っても、偏微分係数だけから同じ値が求まります。方向を指定する必要はありません。計算方法は違っても、結果は正確に84/125です。
  
  $\kappa = \frac{f_{xx}f_y^{2} - 2f_{xy}f_xf_y + f_{yy}f_x^{2}}{|\nabla f|^{3}} = \frac{3(16) + 4(9)}{125} = \frac{84}{125}$
解答

同じ高さのまま進むことはできません。その方向の傾きが0なのは出発点だけで、その先では上りになります。一階微分では高さの変化を0と見積もっても、0.5単位歩けば実際には0.42高くなっています。傾きが0になる両方向は、等高線そのものではなく、その接線の方向です。同じ高さを保つには向きを変え続ける必要があり、この点での曲率半径は1.488です。パネルが示す接線をどこまで近似に使えるかは、曲率から分かります。

$\kappa = \frac{f_{xx}f_y^{2} - 2f_{xy}f_xf_y + f_{yy}f_x^{2}}{|\nabla f|^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

補充問題（答えのみ）

f(x, y) = e^xy のとき、f_x、f_y、f_xy を求めてください。

答えを表示

f_x = y e^xy、f_y = x e^xy、f_xy = (1 + xy) e^xy。

$\begin{aligned}&f_{x}=ye^{xy},\quad f_{y}=xe^{xy}\\&f_{xy}=(1+xy)e^{xy}\end{aligned}$
z = x²y、x = cos t、y = sin t のとき、t = π/4 における dz/dt の値を求めてください。

答えを表示

dz/dt = z_x x′ + z_y y′ = −2xy sin t + x² cos t より、−√2/4 ≈ −0.3536。

$\frac{dz}{dt}=-\frac{\sqrt2}{4}\approx-0{.}3536$
円柱の半径の測定値は r = 3 cm、高さの測定値は h = 10 cm で、測定誤差はそれぞれ 0.05 cm、0.1 cm 以内です。体積 V = πr²h の誤差の最大値を見積もってください。

答えを表示

dV = 2πrh dr + πr² dh = 3π + 0.9π = 3.9π ≈ 12.25 cm³。これは V = 90π の約4%です。

$dV=3\pi+0{.}9\pi=3{.}9\pi\approx12{.}25\ \mathrm{cm^{3}}$
曲線 x² + xy + y² = 7 上の点 (1, 2) における dy/dx の値を求めてください。

答えを表示

dy/dx = −F_x/F_y = −(2x + y)/(x + 2y) より、−4/5。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}=-\frac45$

実際の傾斜は測定値よりも急である

曲面1.5x² + 2y²上の(1, 1)に立ってみよう。真東への傾きは3、真北への傾きは4です。最も急なのは、まだ歩いていない53.1°の方向で、傾きは5あります。偏微分係数が表すのは、あくまで軸に沿った傾き。軸の向き自体は、座標をどう置くかで決まります。両方向の傾きを合わせるときに使うのは三平方の定理です。最も急な傾きは√(f_x² + f_y²)となり、どちらの偏微分係数の絶対値も下回りません。片方が0でない限り、どちらよりも大きくなります。この差が最も際立つのは、両者の絶対値が等しいとき。各軸に沿って1と測れても、実際に最も急な傾きは1.414で、測った値を41%上回ります。

すべての方向を統べる一つのコサイン

ダイヤルを一周させ、傾きの表示を追ってみよう。値は余弦関数|∇f| cos(θ − θ_g)に沿って変わります。θ_gは最も急な方向です。滑らかな曲面のある点での一次の変化は、これですべて表せます。等高線図にも、その性質が現れています。勾配ベクトルが0でない点では、最も急な方向から左右に直角だけ回した両方向で、傾きが0になります。それが等高線に沿う向きです。山を最も急に上る道が等高線を直角に横切るのも、等高線図から地形をすぐに読み取れるのも、このためです。この余弦関数を使うと、斜めに進む効果も見積もれます。最も急な方向から45°ずれても、傾きは最大の71%あり、半分にはなりません。斜面を斜めに進んでも、見た目ほど傾きは緩くならないのです。

両方向で平坦だからといって頂上とは限らない

頂上でも谷底でもないを押してください。x² − y² は原点で二つの偏導関数がともにゼロになりますが、極大でも極小でもありません。x軸に沿って見れば谷底、y軸に沿って見れば尾根の頂です。次に両軸方向とも水平を押します。曲面は xy です。ここでは両方の軸方向が厳密に水平で、断面パネルには0°でも90°でも水平な直線が描かれます。それでも原点は鞍点です。上昇と下降は、見落としやすい対角線方向に現れます。この違いを判定するのが判別式 f_xxf_yy − f_xy² です。最初の曲面では−4、次の曲面では−1になります。負なら鞍点、正なら極大か極小で、そのどちらかは f_xx の符号で決まります。x³ − 3xy² では判別式が0となり、この判定法では何も結論できません。この曲面では原点から三つの領域がせり上がり、三つが沈み込みますが、計算に現れる二階導関数ではその形を捉えられないのです。

学習の道すじ

なぜ、近づけばすべてはまっすぐに見えるのか

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。