放物運動シミュレーター

ライブアニメーションで見る放物線軌道

ひとつの時計で進む二つの運動	$\begin{gathered}x=v_0\cos\theta\,t\\ y=h+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}\end{gathered}$
同じ高さでの投射と着地	$\begin{gathered}t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\\ y_{\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}\end{gathered}$

計算例 — 放物運動シミュレーター

水平速度	14.142 m/s
鉛直速度	14.142 m/s
飛行時間	2.8832 s
到達距離	40.775 m
頂点までの時間	1.4416 s
最大高度	10.194 m
着地時の速さ	20 m/s
水平に対する着地角	45°

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レッスン

理論 — 放物運動シミュレーター

一度放たれた物体は、重力だけを受けて運動します。高さ h から速さ v₀、角度 θ で打ち出されると、横方向へは一定の速さで進みながら、高さは自由落下とまったく同じように変化していきます。

各記号の意味

v₀: 初速
θ: 水平に対する打ち出し角
h: 着地面からの打ち出しの高さ
g: 重力加速度（鉛直下向きに 9.81 m/s²）
R: 水平到達距離（投射点から着地点までの水平距離）

公式の導き方

重力は鉛直下向きにしか働かないため、水平方向の速度は一切変わりません。飛行している間、水平方向の距離はずっと同じ割合で伸び続けます。
$v_x=v_0\cos\theta,\qquad x=v_0\cos\theta\,t$
鉛直方向は等加速度運動であり、前回のレッスンで扱った u = v₀ sin θ、a = −g の運動そのものです。水平と鉛直の運動は、共通の時計 t を共有しています。
$v_y=v_0\sin\theta-gt,\qquad y=h+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}$
両者から t を消去すると、高さは水平距離の二次関数となり、その軌道が放物線であることがわかります。
$y=h+x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}$
高さがゼロに戻った瞬間、飛行は終わります。平地からの場合、二つの解は投射の瞬間と着地時刻 t_f を表し、水平到達距離は v_x に t_f を掛けた値となります。sin 2θ = sin(180° − 2θ) が成り立つため、角度 θ と 90° − θ はまったく同じ到達距離を与えます。
$t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g},\qquad R=v_x\,t_f=\frac{2v_0^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$
最高点では鉛直方向の速度がゼロになります。時間を含まない関係式を用いれば、最高点の高さが直ちに求まります。
$0=(v_0\sin\theta)^{2}-2g\,(y_{\max}-h)\ \Rightarrow\ y_{\max}=h+\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}$

前提: 空気抵抗はなく、飛行経路の全域で g は一定であると仮定しています。空気抵抗が加わると軌道はもはや放物線を描きませんが、その話は次のページに譲りましょう。

二つの運動が重なっている

放たれた物体は、実のところ互いに独立した二つの運動を同時にこなしています。一定の速さで横へ進みつつ、重力に引かれて下へと落ちる。二つの運動は干渉し合いません。水平に撃ち出された銃弾と、同じ高さからその場に自由落下させた銃弾が、寸分違わず同時に地面へ届くのはそのためです。角度を 0° に設定し、高さを与えて初速を変えてみてください。水平到達距離は伸びますが、滞空時間はびくともしません。

高い所からでは45°が最適でなくなる

最大到達距離を与える有名な45°の法則は、発射と着地が同じ高さのときだけ成り立ちます。発射高さ h を加えると最適角度は45°より小さくなり、θ = arctan(v / √(v² + 2gh)) に従います。崖からボールを投げるなら、45°より少し低く狙ったほうが遠くへ飛びます。高さのスライダーを上げて、本当の最適角を探してみてください。

放物運動 — 速さが決めること以外は、すべて角度が決める

あなたが解いているのはどの発射の型か

水平方向と鉛直方向の運動は互いに独立です。横は等速、下向きは等加速度。あとはすべてこの分離から出てきます。同じ高さなら到達距離は R = v²sin(2θ)/g で、45° で最大になり、その両側の角度が対になります。高い位置から投げればこの対称性は崩れ、最適角は 45° より下がります。

水平な地面で 45° — 最大の到達距離 R = v²/g at θ = 45°

余角の組 — 同じ場所に当てる二通りの方法 R = v²sin(2θ)/g

真上へ — 高さだけで距離はゼロ h = v²/2g, R = 0

高い位置から発射 — 対称性が崩れる h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

水平な地面で 45° — 最大の到達距離

わかっていること: 発射点と着地点が同じ高さで、いちばん遠くへ飛ばしたい。sin(2θ) は 2θ = 90° のとき最大。

到達距離: R = v²/g at θ = 45°

計算例: v = 20 m/s、45° → R = v²/g = 400/9.81 = 40.8 m。この速さで届く最も遠い距離

この型を開く: 45°・最大到達距離

水平な地面で 45° — 最大の到達距離. 45° では滞空時間と水平速度が釣り合い、距離が最大になる。発射点と着地点が同じ高さで、いちばん遠くへ飛ばしたい。sin(2θ) は 2θ = 90° のとき最大。 — 45° では滞空時間と水平速度が釣り合い、距離が最大になる。

余角の組 — 同じ場所に当てる二通りの方法

わかっていること: 水平な地面では角度 θ とその余角 90° − θ が同じ距離になる。sin(2θ) = sin(180° − 2θ) だから。

到達距離: R = v²sin(2θ)/g

計算例: v = 20 m/s、30° → 35.3 m。60° → やはり 35.3 m。低い弾道は 2.0 秒、高い弾道は 3.5 秒

この型を開く: 30°

余角の組 — 同じ場所に当てる二通りの方法. 二つの軌道に着地点は一つ：30° と 60° は高さこそ違え距離は同じ。水平な地面では角度 θ とその余角 90° − θ が同じ距離になる。sin(2θ) = sin(180° − 2θ) だから。 — 二つの軌道に着地点は一つ：30° と 60° は高さこそ違え距離は同じ。

真上へ — 高さだけで距離はゼロ

わかっていること: θ = 90° なので水平成分は 0。発射で与えたものはすべて上昇と落下に使われる。

到達距離: h = v²/2g, R = 0

計算例: v = 20 m/s で真上 → 最高点 v²/2g = 20.4 m、距離 0、手元へは 20 m/s で戻る

この型を開く: 90°真上

真上へ — 高さだけで距離はゼロ. 鉛直発射：軌道は線につぶれ、到達距離は消える。 θ = 90° なので水平成分は 0。発射で与えたものはすべて上昇と落下に使われる。 — 鉛直発射：軌道は線につぶれ、到達距離は消える。

高い位置から発射 — 対称性が崩れる

わかっていること: 着地点が発射点より下にあるので飛行は対称でなくなり、45° の規則はもう成り立たない。

到達距離: h > 0 ⇒ θ_opt < 45°

計算例: v = 22 m/s、35°、高さ 18 m から → 空中 3.6 秒、水平距離 65 m。ここでの最適角は 45° ではなく 37.2°

この型を開く: 崖の上から

高い位置から発射 — 対称性が崩れる. 高さの分だけ滞空時間が増えるので、より低い弾道が勝つ。着地点が発射点より下にあるので飛行は対称でなくなり、45° の規則はもう成り立たない。 — 高さの分だけ滞空時間が増えるので、より低い弾道が勝つ。

全プロセスの詳細解説

平地から 20 m/s と 45° で発射されたボール 5 ステップ
水平な地面からボールを20 m/s、45°の角度で打ち出す。滞空時間と到達距離を求めよ。さらに、5°の照準誤差によってどれだけの差が生じるかを求める。これこそが、45°を狙う価値があるかを決定づける問いである。
1. 投射運動を、互いに全く影響し合わない2つの運動に分解する。重力は鉛直下方にのみ作用するため、水平方向の速度は着地時も打ち出し時と同じであり、45°は2つの成分が初めから等しくなる唯一の角度である。
  
  $v_x=v_0\cos\theta=20\cos45^\circ=14.142\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=v_0\sin\theta=14.142\ \mathrm{m/s}$
2. 高さがゼロに戻ったときに飛翔は終了し、それを決定づけるのは鉛直運動のみである。水平な地面からの上昇と下降には同じ時間がかかるため、全滞空時間は最高点に達するまでの時間の2倍となる。
  
  $y(t_f)=0:\quad t_f=\frac{2v_y}{g}=\frac{2(14.142)}{9.81}=2.8832\ \mathrm{s}$
3. 水平距離は、一定の速度でその滞空時間だけ進んだ距離である。各成分を代入すると式は2倍角の形にまとめられ、θを90° − θに置き換えてもsin 2θの値は変わらないため、30°で打ち出しても60°で打ち出しても、ボールはどちらも35.312 m地点に着地する。
  
  $R=v_xt_f=14.142\times2.8832=40.775\ \mathrm{m}=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{400}{9.81}$
4. 最高点の高さは鉛直成分のみによって決まり、重力によって運動が減速されて静止する。45°の場合、最高点の高さは到達距離のちょうど4分の1となり、この「4分の1」という比率は打ち出し速度に関わらず45°であれば常に成り立つ。
  
  $y_{\max}=\frac{v_y^{2}}{2g}=\frac{200}{19.62}=10.194\ \mathrm{m}=\frac{R}{4}$
5. 次に照準誤差について考える。sin 2θは45°において停留するため、5°のズレは2次の誤差となり、40.775 mに対して62 cmの減少にとどまる。これに対し、30°における同様の5°のズレは1次の誤差であり、到達距離を8.5%、およそ3 m変化させる。
  
  $\frac{R(50^\circ)}{R(45^\circ)}=\sin100^\circ=0.9848\ (-0.62\ \mathrm{m}),\qquad\frac{R(35^\circ)}{R(30^\circ)}=\frac{\sin70^\circ}{\sin60^\circ}=1.085$
解答

ツールによる計算結果は、滞空時間 2.8832 s、到達距離 40.775 m、最高点 10.194 m となる。後者の2つの数値の比は正確に4であり、45°であれば速度に関わらずこの比率は保たれる。つまり、45°の弾道は常に高さに対して幅が4倍となり、形状は1つでサイズのみが変化する。心にとどめるべきはステップ5である。極大値付近は平坦であり、これが誰も厳密に検証することなく45°が経験則として残り続けている理由である。ただし、この平坦さは諸刃の剣でもある。ピークが平坦であるということは、最適な角度を見つけにくいことを意味するからだ。試行錯誤で最良の角度を探そうとすると、どれも同じように良好に見える広い角度の範囲が行き当たる。

$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g},\qquad \frac{R}{y_{\max}}=4\ \ (\theta=45^\circ)$
机から転がり落ちる球 4 ステップ
高さ 1.2 m の机から、球が 3.0 m/s で水平に転がり落ちました。床に着くまでに何秒かかるか。机からどれだけ離れた地点に着地し、その瞬間の速さはいくらか。

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1. 運動を水平と鉛直の二つに分けます。机から水平に飛び出すということは θ = 0 ですから、鉛直方向は静止からのスタートとなり、3.0 m/s の初速度はすべて水平成分となります：
  
  $v_x=3{.}0\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=0,\qquad h=1{.}2\ \mathrm{m}$
2. 鉛直方向の落下は、高さ 1.2 m からの自由落下そのものです。水平方向の速さはここには一切関与しません：
  
  $0=h-\tfrac12gt_f^{2}\ \Rightarrow\ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(1{.}2)}{9{.}81}}=0{.}49462\ \mathrm{s}$
3. 水平到達距離は、この一定の速さで落下時間だけ進んだ距離です：
  
  $R=v_x\,t_f=3{.}0\times0{.}49462=1{.}4839\ \mathrm{m}$
4. 床に着いた瞬間も水平成分は 3.0 m/s のまま変わらず、鉛直成分は gt まで加速しています。二つをベクトルとして合成しましょう：
  
  $v_{y,f}=-g\,t_f=-4{.}8522\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}8522^{2}}=5{.}7047\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=\arctan\frac{4{.}8522}{3{.}0}=58{.}273^\circ$
解答

滞空時間は 0.49462 s、机から 1.4839 m 離れた地点に、水平より下向きに 58.273°、速さ 5.7047 m/s で着地します。初速を二倍にしても、同じ 0.49462 s 後に二倍遠くへ着地するだけです。

$t_f=0{.}49462\ \mathrm{s},\qquad R=1{.}4839\ \mathrm{m},\qquad v_f=5{.}7047\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=58{.}273^\circ$
崖からの投射：着地速度 5 ステップ
高さ 25 m の崖の上から、水平より 40° 上方へ 15 m/s で石を投げました。滞空時間、崖のふもとからの到達距離、そして着地時の速度を求めましょう。

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1. まずは速度の各成分から求めます：
  
  $v_x=15\cos40^\circ=11{.}491\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=15\sin40^\circ=9{.}6418\ \mathrm{m/s}$
2. 地上からの高さがゼロに戻ったとき、飛行は終わります。これは t についての二次方程式となり、投射後の時刻を与えるのは正の解です：
  
  $25+9{.}6418\,t-4{.}905\,t^{2}=0\ \Rightarrow\ t_f=\frac{9{.}6418+\sqrt{9{.}6418^{2}+2(9{.}81)(25)}}{9{.}81}=3{.}4451\ \mathrm{s}$
3. 水平到達距離は、その時間だけ v_x で進み続けた距離です：
  
  $R=v_x\,t_f=(15\cos40^\circ)(3{.}4451)=39{.}587\ \mathrm{m}$
4. 着地したときも水平成分は不変で、鉛直成分は v_y − gt_f となります。両者を合成しましょう：
  
  $v_{y,f}=9{.}6418-9{.}81(3{.}4451)=-24{.}155\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=\sqrt{11{.}491^{2}+24{.}155^{2}}=26{.}749\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=\arctan\frac{24{.}155}{11{.}491}=64{.}559^\circ$
5. 時間を介さずに速さを確かめてみます。力学的エネルギー保存則を使えば、初速と落差だけで求まります：
  
  $v_f=\sqrt{v_0^{2}+2gh}=\sqrt{15^{2}+2(9{.}81)(25)}=26{.}749\ \mathrm{m/s}\ \checkmark$
解答

滞空時間は 3.4451 s、崖から 39.587 m 離れた地点に、水平より下向きに 64.559°、速さ 26.749 m/s で着地します。ステップ 5 の検算には角度が登場しません。この崖から 15 m/s で投げれば、どの向きへ放とうと着地時の速さは必ず 26.749 m/s になるのです。角度が決めるのは、どこに着地するか、そしてどちらを向いて突入するかだけです。

$t_f=3{.}4451\ \mathrm{s},\qquad R=39{.}587\ \mathrm{m},\qquad v_f=26{.}749\ \mathrm{m/s},\qquad \varphi_f=64{.}559^\circ$
壁を越えられるか？ 3 ステップ
地上から 40 m 先にある高さ 3.0 m の壁に向かって、水平より 30° 上方へ 25 m/s でボールを蹴り出しました。ボールは壁を越えられるか、またそのときまだ上昇中でしょうか。
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1. 水平方向の等速運動から、ボールが壁に到達する時刻がわかります：
  
  $t=\frac{x}{v_0\cos\theta}=\frac{40}{25\cos30^\circ}=\frac{40}{21{.}651}=1{.}8475\ \mathrm{s}$
2. その瞬間の高さは、鉛直方向の運動から求まります：
  
  $y=v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^{2}=12{.}5(1{.}8475)-4{.}905(1{.}8475)^{2}=23{.}094-16{.}742=6{.}352\ \mathrm{m}$
3. その時点での鉛直方向の速度を見れば、上昇中か下降中かが判明します：
  
  $v_y=v_0\sin\theta-gt=12{.}5-9{.}81(1{.}8475)=-5{.}624\ \mathrm{m/s}$
解答

越えられます。余裕は 3.35 m です。ボールは高さ 6.35 m の位置を通過しますが、すでに 5.62 m/s で下降に転じています。問われているのは軌道上の一点ですから、時間は着地からではなく、壁までの距離から求めました。

$y(40\ \mathrm{m})=6{.}35\ \mathrm{m}>3{.}0\ \mathrm{m},\qquad v_y=-5{.}62\ \mathrm{m/s}$
飛距離に必要な初速 3 ステップ
走り幅跳びの選手が、水平より 20° 上向きに踏み切り、7.5 m 先に着地しました。踏み切りと着地の高さを同じとみなし、空気抵抗を無視すると、踏み切り時の初速はいくらだったでしょうか。

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1. 平地での滞空時間は 2v₀ sin θ/g であり、水平到達距離はこれに v₀ cos θ を掛けたものになります。両者を合わせると、到達距離の公式が導かれます：
  
  $R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}$
2. これを v₀ について解きます：
  
  $v_0=\sqrt{\frac{Rg}{\sin2\theta}}=\sqrt{\frac{7{.}5\times9{.}81}{\sin40^\circ}}=\sqrt{114{.}46}=10{.}699\ \mathrm{m/s}$
3. 求めた速さを代入して確かめてみましょう：
  
  $R=\frac{10{.}699^{2}\sin40^\circ}{9{.}81}=7{.}50\ \mathrm{m}\ \checkmark$
解答

10.699 m/s です。同じ速さでも 45° なら 11.668 m 届く計算になります。それでも幅跳び選手が 20° 前後で踏み切るのは、角度を上げるほど踏み切り板で助走スピードを殺してしまうからです。

$v_0=10{.}699\ \mathrm{m/s};\qquad R(45^\circ)=\frac{v_0^{2}}{g}=11{.}668\ \mathrm{m}$
同じ地点に着地する二つの角度 3 ステップ
水平な地面から 25 m/s で打ち出したボールを、50 m 先に着地させたいとします。どのような角度で放つべきでしょうか。

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1. 数値を到達距離の公式に代入し、sin 2θ について解きます：
  
  $\sin2\theta=\frac{Rg}{v_0^{2}}=\frac{50\times9{.}81}{25^{2}}=0{.}7848$
2. 0° から 180° の間には、この正弦値をとる角度が二つ存在します。したがって 0° から 90° の間にも打ち出し角が二つあり、その和は 90° になります：
  
  $2\theta=51{.}702^\circ,\ \ 128{.}298^\circ\ \Rightarrow\ \theta=25{.}851^\circ,\ \ 64{.}149^\circ$
3. どちらの角度でも 50 m 地点に着地しますが、滞空時間は一致しません。滞空時間を決めるのは鉛直成分だけだからです：
  
  $t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g}:\qquad\frac{2(25)\sin25{.}851^\circ}{9{.}81}=2{.}2224\ \mathrm{s},\qquad\frac{2(25)\sin64{.}149^\circ}{9{.}81}=4{.}5868\ \mathrm{s}$
解答

25.851° または 64.149° です。低い弾道は 2.2224 s で到達しますが、高い弾道は 4.5868 s かかり、途中で 6.0565 m に対して 25.799 m まで上昇します。初速 20 m/s における同じ組み合わせを見るには、30°、続いて 60° を押してみてください。

$\theta=25{.}851^\circ\ \ (t_f=2{.}2224\ \mathrm{s},\ y_{\max}=6{.}0565\ \mathrm{m}),\qquad \theta=64{.}149^\circ\ \ (t_f=4{.}5868\ \mathrm{s},\ y_{\max}=25{.}799\ \mathrm{m})$
高さ18 mから最も遠くまで飛ぶ角度 7 ステップ
パネルは渡された投射をそのまま解きます。18 m の高さから 35° なら 64.764 m。しかし 35° がそもそも良い選択だったかは教えてくれません。この崖から最も遠くへ届く角度を求め、そのうえでその答えに実際どれほどの価値があるのかを問いましょう。

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1. 投射を 2 つに分けます。この行より後はすべて、一定の水平速度と、着地面より 18 m 高いところから始まる鉛直方向の自由落下です。
  
  $v_x=v_0\cos\theta=22\cos35^\circ=18.021\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad v_y=v_0\sin\theta=22\sin35^\circ=12.619\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
2. 飛行は高さが 0 に戻ったときに終わり、それは t の二次方程式です。正の根を取ります。もう一方は、もし下から投げていたら地面を離れていたであろう時刻です。
  
  $h+v_yt-\tfrac12gt^{2}=0\ \Longrightarrow\ t_f=\frac{v_y+\sqrt{v_y^{2}+2gh}}{g}=\frac{12.619+\sqrt{159.24+353.16}}{9.81}=3.5938\ \mathrm{s}$
3. 到達距離は水平速度と全飛行時間の積です。水平方向には何も働かないからです。ここまでの 4 つの数のうち 3 つは上のパネルに出ています。
  
  $R=v_xt_f=18.021\times3.5938=64.764\ \mathrm{m}$
4. 頂点は鉛直速度が尽きる場所で、崖は全体を持ち上げるだけです。18 m の下駄に、地面から投げた場合とまったく同じ上昇分を足したものになります。
  
  $y_{\max}=h+\frac{v_y^{2}}{2g}=18+\frac{159.24}{19.62}=26.116\ \mathrm{m}$
5. ここからがパネルの答えない問いです。v₀ と h を固定し、到達距離を角度だけの関数として書きます。いまや飛行時間も θ に依存します。だからこれは、あの扱いやすい海面高度の公式ではないのです。
  
  $R(\theta)=\frac{v_0\cos\theta}{g}\left(v_0\sin\theta+\sqrt{v_0^{2}\sin^{2}\theta+2gh}\right)$
6. 微分して 0 とおきます。すべては sin θ に関するただ 1 つの条件に collapse し、崖は無次元量 2gh/v₀² を通してのみ効きます。h = 0 とすれば sin θ = 1/√2、おなじみの 45° に戻ります。ここでは 37.248° です。
  
  $\frac{dR}{d\theta}=0\ \Longrightarrow\ \sin\theta^{*}=\frac{1}{\sqrt{2+2gh/v_0^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2.72967}}=0.60526\ \Longrightarrow\ \theta^{*}=37.248^\circ$
7. では 3 つの角度を並べ、順序だけでなく差の大きさを読み取りましょう。
  
  $R(37.248^\circ)=64.887,\qquad R(35^\circ)=64.764,\qquad R(45^\circ)=63.355\ \ \mathrm{(m)}$
解答

この崖からの最適角は 37.248°、そして狙い直しの価値は 65 m の投射に対してわずか 12 cm です。本当の教訓はこちらで、最適値そのものではありません。最大値は平らなので、2.2° 外しても代償はほとんどない。高くつくのは間違ったモデルを持ち込むことです。45° が最適なのは地面からのときだけで、ここでそれを使うと 1.532 m を捨てることになります——狙いのずれの 12 倍です。崖を高くすれば θ* はさらに下がり、非常に高い崖の極限では、最も遠くへ届く投射はほぼ水平になります。

$\sin\theta^{*}=\left(2+\frac{2gh}{v_0^{2}}\right)^{-1/2}\Longrightarrow\theta^{*}=37.248^\circ;\qquad R^{*}-R(35^\circ)=0.123\ \mathrm{m},\qquad R^{*}-R(45^\circ)=1.532\ \mathrm{m}$

補充問題（答えのみ）

高さ 30 m の崖の上から、石を水平に 12 m/s で投げました。着地までに何秒かかり、崖のふもとから何 m の地点に着地するでしょうか。

答えを表示

2.473 s、29.68 m。

$t_f=\sqrt{\frac{2(30)}{9{.}81}}=2{.}473\ \mathrm{s},\qquad R=12\times2{.}473=29{.}68\ \mathrm{m}$
平地から、水平より 60° 上方へ 18 m/s でボールを蹴り出しました。最高点の高さと水平到達距離を求めましょう。

答えを表示

12.39 m、28.60 m。

$y_{\max}=\frac{(18\sin60^\circ)^{2}}{2(9{.}81)}=12{.}39\ \mathrm{m},\qquad R=\frac{18^{2}\sin120^\circ}{9{.}81}=28{.}60\ \mathrm{m}$
水平より 30° 上方へ 20 m/s でボールを打ち出しました。1.0 s 後の速さと向きを求めましょう。

答えを表示

17.32 m/s、水平より 0.63° 上向き。最高点の直前です。

$v_x=17{.}32,\quad v_y=10-9{.}81=0{.}19\ \ (\mathrm{m/s})\ \Rightarrow\ v=17{.}32\ \mathrm{m/s},\ \ 0{.}63^\circ$
平地において 50 m/s で投射された物体の最大水平到達距離と、そのときの滞空時間はいくらでしょうか。

答えを表示

45° で 254.8 m、滞空時間は 7.208 s。

$R_{\max}=\frac{v_0^{2}}{g}=\frac{50^{2}}{9{.}81}=254{.}8\ \mathrm{m},\qquad t_f=\frac{2(50)\sin45^\circ}{9{.}81}=7{.}208\ \mathrm{s}$
2.5 m 先の的を狙って水平に投げたダーツが、狙った点より 0.20 m 下に当たりました。投げた速さはいくらだったでしょうか。

答えを表示

12.38 m/s。0.20 m 落下するのに 0.2019 s かかります。

$t=\sqrt{\frac{2(0{.}20)}{9{.}81}}=0{.}2019\ \mathrm{s},\qquad v_0=\frac{2{.}5}{0{.}2019}=12{.}38\ \mathrm{m/s}$

学習の道すじ

物を投げること

参考文献 (1)

Insight block 2 stacks two motions. Arriving at that decomposition took Galileo most of a career: S. Drake, "Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory", in Essays on Galileo and the History and Philosophy of Science, 160–170. University of Toronto Press, 1999.

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