滑車の仕組みと機械的利益

組み合わせ滑車を読み込んでください。ロープ四本、荷重は 800 N、効率は 85% です。パネルには、一メートル持ち上げるごとに 235.3 N の力と 4 m のロープが必要だと表示されています。この両方を計算し、15% が正確に何に使われたのかを答えてみましょう。

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1. まずは理想的な機械から考えます。四本のロープで荷重を分担するため、一本あたりの負荷は四分の一になり、そのうちの一本を引く手も四分の一の重さを感じます。これが機械的利益です。公式から導くものではなく、ただ数えればよいのです。

   $$\mathrm{MA}_{\text{ideal}} = n = 4, \qquad E_{\text{ideal}} = \frac{800}{4} = 200\ \mathrm{N}$$

2. 引くためのロープはどこかから持ってこなければなりません。滑車を 1 m 上げると四本のロープがそれぞれ 1 m ずつ短くなるため、4 m のロープを手元に引き込むことになります。機械的利益とロープの長さが同じ数字になるのには、こうした理由があるのです。

   $$\ell = n \times h = 4\ \mathrm{m}\ \text{of rope per } 1\ \mathrm{m}\ \text{of lift}$$

3. 次に、現実の機械を当てはめてみましょう。効率が掛け合わされるのはロープではなく機械的利益です。滑車は軸受の摩擦に逆らって回転し、ロープは滑車に沿って曲がることに抵抗します。そのどちらにも力が奪われます。

   $$\mathrm{MA}_{\text{actual}} = n\,\eta = 4 \times 0.85 = 3.40$$

4. そのため、引く力は大きくなります。二つ目の式に注目してください。理想的な 200 N を 0.85 で割ると同じ答えになりますが、これこそが「効率 85%」の表している意味なのです。

   $$E = \frac{L}{n\eta} = \frac{800}{3.40} = 235.3\ \mathrm{N} = \frac{200}{0.85}$$

5. 両方のジュールを計算してみましょう。手元では 235.3 N の力で 4 m 引き込み、その結果 800 N の荷重が 1 m 上昇します。

   $$W_{\text{in}} = 235.3 \times 4 = 941.2\ \mathrm{J}, \qquad W_{\text{out}} = 800 \times 1 = 800\ \mathrm{J}$$

6. その差が損失であり、効率が示していた割合と完全に一致します。

   $$W_{\text{lost}} = 141.2\ \mathrm{J} = (1-\eta)\,W_{\text{in}}$$

大型クレーン (6×)を読み込んでください。ロープは6本、荷重は1,500 N、効率は80%、引く力は312.5 Nです。このページは三か所で、ロープを増やしてもいずれ効かなくなると述べています。それがどこなのかを求め、そのうえでこのクレーンに七本目を通す価値があるかどうかを判断してください。

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1. まずパネルから。6本で効率80%なら機械的利益は4.80ですから、引く力は1,500をその値で割ったものになり、フックが1 m上がるごとに6 mのロープが手元を通ります。

   $$\mathrm{MA} = n\eta = 6 \times 0.80 = 4.80, \qquad E = \frac{1500}{4.80} = 312.5\ \mathrm{N}, \qquad \ell = 6.0\ \mathrm{m}$$

2. このツールは本数と効率を別々に設定できますが、現実の索具はそうではありません。滑車は一つごとに取り分を取ります。軸受が一つ、ロープの曲がりが一つ。ですから損失は一本ごとに積み重なります。ツール自身のプリセットも、一本あたりの取り分の大きさについては一致しています。6本で80%、4本で85%は、どちらも約96%です。

   $$\eta = \eta_s^{\,n} \;\Longrightarrow\; \eta_s = 0.80^{1/6} = 0.9635; \qquad \text{block and tackle: } 0.85^{1/4} = 0.9602$$

3. これを代入すると、引く力はもう単純な割り算ではなくなります。微分すれば、二つの効果が釣り合う本数が、荷重も索具も残らない形で出てきます。

   $$E(n) = \frac{L}{n\,\eta_s^{\,n}}, \qquad \frac{d}{dn}\ln E = -\frac{1}{n} - \ln\eta_s = 0 \;\Longrightarrow\; n^{*} = \frac{1}{\ln(1/\eta_s)}$$

4. 96.3%の滑車なら、釣り合いは27本のところにあります。ツールの範囲にはそこへ近づくものはありません。10本でも引く力はまだ急に下がり続けています。

   $$\eta_s = 0.9635: \quad n^{*} = 26.9; \qquad E(6) = 312.5,\ E(7) = 278.0,\ E(10) = 217.6\ \mathrm{N}$$

5. 滑車を悪くすると、答えは大きく動きます。1個あたり85%なら6本が下限で、七本目はもう六本目より重くなります。

   $$\eta_s = 0.85: \quad n^{*} = 6.15; \qquad E(5) = 676.1,\ E(6) = 662.9,\ E(7) = 668.4\ \mathrm{N}$$

6. このとき見るべきカードは効率ではありません。このクレーン自身の滑車で10本にすると効率は68.9%、いま表示されている80%をかなり下回りますが、引く力は三分の一軽くなります。

   $$\eta(10) = 0.9635^{10} = 0.689 \;<\; 0.80, \qquad E(10) = \frac{1500}{10 \times 0.689} = 217.6\ \mathrm{N}$$