輪軸の機械的利益

井戸の巻き上げ機を読み込んでください。ハンドルの半径が 60 cm、軸の半径が 10 cm、バケツの重さが 600 N、効率が 85% です。パネルには理想的な機械的利益が 6.00、加える力が 117.6 N と表示されています。この二つの数値を導き出し、手が移動する距離を計算してみましょう。

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1. 機械的利益は二つの半径の比であり、これはモーメントの性質から直接導かれます。共通の軸を持っているため、理想的にはトルクも等しくなります。したがって、半径が6倍の距離にある場所では、6分の1の力で釣り合いが取れるのです。

   $$\mathrm{MA}_{\text{ideal}} = \frac{R}{r} = \frac{60}{10} = 6.00$$

2. 距離に目を向けると、この比率が真価を発揮します。一回転ごとに、それぞれの半径の円周の長さが移動するからです。

   $$\text{one turn: } s_R = 2\pi R = 3.770\ \mathrm{m}, \qquad s_r = 2\pi r = 0.628\ \mathrm{m}$$

3. 一方を他方で割ると 2π が約分されます。つまり距離の比は半径の比と全く同じになります。モーメントから導き出した力の比率の 6 と同じ値が、ここでは幾何学から導かれるのです。

   $$\frac{s_R}{s_r} = \frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{R}{r} = 6.0000$$

4. 効率によって機械的利益は減少します。85% の場合、6 だった利益は 5.10 になります。

   $$\mathrm{MA}_{\text{actual}} = \frac{R}{r}\,\eta = 6.00 \times 0.85 = 5.10$$

5. そのため、ハンドルは理想的な機械が示す値よりも重く感じられます。効率が15%低下したからといって、重さの増加が15%にとどまるわけではなく、実際には17.6%重くなります。機械的利益を0.85で割るということは、加えるべき力を1/0.85倍にするのと同じだからです。

   $$E = \frac{600}{5.10} = 117.6\ \mathrm{N} \quad (\text{ideal would be } 100.0\ \mathrm{N})$$

6. 仕事量を計算すれば、失われたジュールは自然と明らかになります。入力した 443.5 J のうち 66.5 J が、軸受けを温めるために費やされているのです。

   $$W_{\text{in}} = 117.65 \times 3.7699 = 443.5\ \mathrm{J}, \quad W_{\text{out}} = 600 \times 0.6283 = 377.0\ \mathrm{J}$$

ドライバー (5:1)を読み込んでください。柄の半径15 cm、軸の半径3 cm、荷重50 N、効率90%、輪の外周にかかる力は11.1 Nです。手を離した瞬間に荷重が何をするかを求め、そのうえで、巻き上げ機がバケツを自力で保持するには効率がどれほど悪くなければならないかを判断してください。

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1. パネルの数値。半径の比から5対1、効率90%を掛けて4.50。ですから輪の外周の11ニュートンが、軸の50ニュートンと釣り合います。

   $$\mathrm{MA} = \frac{R}{r}\,\eta = 5.00 \times 0.90 = 4.50, \qquad E = \frac{50}{4.50} = 11.11\ \mathrm{N}$$

2. 一回転あたりのジュールを数えます。輪の外周は0.94 m、軸は0.19 m進み、10.5ジュールのうち1ジュールが軸受へ入ります。

   $$\text{one turn: } W_{\mathrm{in}} = 11.11 \times 0.9425 = 10.472\ \mathrm{J}, \quad W_{\mathrm{out}} = 50 \times 0.1885 = 9.425\ \mathrm{J}, \quad W_{\mathrm{loss}} = 1.047\ \mathrm{J}$$

3. 今度は荷重の側に駆動させます。同じ面が同じ距離を同じ力ですべるので、軸受が取る分も同じ1ジュールです。ただし今回それは、あなたの仕事に上乗せされるのではなく、荷重自身の仕事から差し引かれます。この等式が計算全体の唯一の仮定であり、逆方向の場合を計算可能にしているのはこの仮定です。

   $$\text{driven from the axle, same surfaces and same travel} \;\Longrightarrow\; W'_{\mathrm{loss}} = W_{\mathrm{loss}} = 1.047\ \mathrm{J}$$

4. したがって逆方向の効率は、荷重自身の仕事のうち残った分の割合であり、整理すると順方向の効率だけで書ける式になります。

   $$\eta_{\mathrm{rev}} = \frac{9.425 - 1.047}{9.425} = \frac{8.378}{9.425} = 0.8889 = 2 - \frac{1}{0.90}$$

5. 力に直せば、荷重は輪の外周を8.89 Nで押し返します。持ち上げたときとほとんど同じ強さで、押さえていなければなりません。

   $$F_{\mathrm{hold}} = \frac{L\,r}{R}\,\eta_{\mathrm{rev}} = 50 \times 0.200 \times 0.8889 = 8.89\ \mathrm{N} \qquad (\text{against } 11.11\ \mathrm{N}\ \text{to raise it})$$

6. この式は二分の一で尽きます。それより下では荷重は機械をまったく動かせません。そしてその代償はツールが見せてくれます。効率50%で同じ荷重を持ち上げるには、理想の二倍の力が要るのです。

   $$\eta_{\mathrm{rev}} \le 0 \iff \eta \le 0.50; \qquad \eta = 0.50 \;\Longrightarrow\; E = 20.0\ \mathrm{N} = 2 \times \frac{50}{5.00}$$