ジェットコースター・エネルギーシミュレーター

コースに沿って位置スライダーを動かそう。エネルギー保存則が各地点での速度を決めます。

摩擦なし：単位質量あたりのエネルギーが保存される	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}$
摩擦あり：d は進んだ水平距離	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0-\mu g\,d$

計算例 — ジェットコースター・エネルギーシミュレーター

経路距離	0 m
高さ	5 m
開始時エネルギー / 質量	49.05 J/kg
失われたエネルギー（摩擦）	0 J/kg
速度	0 m/s
運動エネルギー	0 J
位置エネルギー	49.05 J
エネルギーチェック	49.05 J

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レッスン

理論 — ジェットコースター・エネルギーシミュレーター

摩擦のないコースでは、力学的エネルギーは保存されます。つまり、運動エネルギーと位置エネルギーの和はどこでも常に一定です。この1文だけで、力や時間経過、坂の形状を一切考慮することなく、最初の高さだけでコース上のあらゆる点における速さが決定されます。

各記号の意味

h: 基準面からの高さ。どの高さを 0 と呼ぶかは答えを変えません。式に入るのは落差 h₀ − h だけなので、基準面を動かせば両方の高さが一緒に動くからです。
v: 速さ。力から計算するのではなく、表示部がエネルギーから導出しています。
KE: 運動エネルギー、½mv²。
PE: 位置エネルギー、mgh — スタート時は 1 × 9.81 × 5 による 49.05 J。
μ: 動摩擦係数。ゼロより大きく設定すると、斜面の傾きにかかわらず、水平方向に 1 メートル進むごとに質量 1 キログラムあたり μg ジュールのエネルギーが消費されます。

公式の導き方

摩擦がなければ、全エネルギーは一定です。コース上のどの地点をとっても、運動エネルギーと位置エネルギーの和はスタート時と変わりません。
$\tfrac12mv^{2}+mgh=\tfrac12mv_0^{2}+mgh_0$
どの項にも質量が含まれているので、両辺を質量で割ります。これで質量は完全に消えました。
$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0$
速さについて解きます。式に残るのは高さの降下分だけです。台車が進めるのは平方根の中身が実数になる範囲に限られ、初めのエネルギーで届く高さを超えて登ることは決してありません。
$v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)},\qquad h\le h_0+\frac{v_0^{2}}{2g}$
傾斜角θの直線区間における摩擦：垂直抗力は mg cos θ、区間の長さは d/cos θ となるため、摩擦の仕事は μmg に水平距離 d を掛けた値になります。速さを求める前に、この損失分をエネルギーから差し引いておきましょう。
$W_f=\mu\,(mg\cos\theta)\,\frac{d}{\cos\theta}=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)-2\mu g\,d}$

前提: レールに拘束されて滑る質点を想定しています。回転や空気抵抗は無視し、レールから落ちない十分な速さがあるものとします。摩擦を考慮するのは直線区間のみで、カーブを高速で抜ける際に垂直抗力が増す効果（窪みで生じる押し付けなど）は省かれています。また、山頂を越えるときに台車が浮き上がらないかどうかの判定は行っていません。
成り立たない場合: ステップ2は、単に信じるより実際に確かめてみる価値があります。この画面ですぐに実験できます。ハーフパイプ を押して位置を中央までドラッグすると、速さは 9.9045 m/s と表示されます。質量を 1 kg から 500 kg に変えても、速さは 9.9045 m/s のまま変わりません。一方で運動エネルギーは 49.05 J から 24,525 J へと跳ね上がります。車体が重くなればエネルギーは大きくなりますが、走る速さはまったく変わりません。摩擦があってもこの関係は崩れません。単位質量あたりのエネルギー損失は μgd であり、ここにも質量は含まれないからです。

全プロセスの詳細解説

軌道上の5 mから静止状態から放たれた1 kgの車両 6 ステップ
軌道 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5 上の 5 m の位置から静止状態で放たれた 1 kg の台車。それが最終的にどこへ到達するかを求めよ――そしてそれは終点ではない。
1. 摩擦がない場合、全エネルギーは解放時の高さによって決定され、変化しない。1 kg と 5 m が、この問題に与えられたすべての入力である。
  
  $E_0=mgh_0=1\times9.81\times5=49.05\ \mathrm{J},\qquad v_0=0$
2. 速度について変形すると、同じ関係式は制約条件となる。すなわち、台車は平方根の中身が実数となる位置にしか存在できない。軌道を描く前に、これが解答のすべてとなる。
  
  $\tfrac{1}{2}mv^{2}=mg(h_0-h)\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{2g(h_0-h)},\quad\text{real only where }h\le h_0$
3. 軌道上の極大値を読み取る。ピークは解放点よりも高い位置にあり、これで決着がつく。その先にある 1 m への落ち込みが議論に入り込むことは決してない点に注意されたい。
  
  $\text{track max}=6\ \mathrm{m}>h_0=5\ \mathrm{m}\quad\Longrightarrow\quad\text{the hill at }x=3\text{ is unreachable}$
4. 折り返し地点を正確に求める。それは (2,3) から (3,6) への登り区間上にあり、直線セグメントが解放時の高さを再び横切る場所である。
  
  $(2,3)\to(3,6):\ y=5\ \text{at}\ x=2+\tfrac{5-3}{6-3}=2.667$
5. 位置スライダーはコースに沿った道のりを測るため、あらかじめ全長を把握しておくと重宝します。区間は六つ、三平方の定理を六回使って求めます。
  
  $s=\sum\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=2.828+3.162+5.385+3.606+2.828+3.162=20.972\ \mathrm{m}$
6. 最後に 2 つの速度を求めて締めくくる。台車がその短い往復運動の中で実際に達する最高速度と、コースの残りを解放するために必要な初速度である。
  
  $v_{\max}=\sqrt{2g(5-3)}=6.26\ \mathrm{m/s};\qquad v_0\ \text{needed}=\sqrt{2g(6-5)}=4.43\ \mathrm{m/s}$
解答

x = 2.667 m で折り返し、コースの先へは進めません。 x = 3 の丘は高さ 6 m、出発点は高さ 5 m ですから、そもそもエネルギーが足りません。その地点より先では、どの位置でも表示が停止となります。これはツールの不具合ではなく、計算と一致している証拠です。この問題にシミュレーションは要りません。エネルギー保存則を使えば、微分方程式が不等式 h ≤ h₀ に帰着し、出発点から障害物までのコース形状は結果に影響しないからです。頂上で台車に 4.43 m/s の速さを与えると、20.972 m のコース全体を走れるようになり、x = 5 の谷では速さが 9.90 m/s に達します。それより遅ければ、その先の区間には到達できません。

$h_{\text{track}}=6>h_0=5\ \Longrightarrow\ \text{it stops at }x=2.667,\ \text{never reaching the drop}$
ハーフパイプ最下点での速さ 4 ステップ
質量 250 kg の台車が、ハーフパイプコースの高さ 5 m の縁から静かに放たれます。摩擦がない場合、平らな底面での速さと運動エネルギーはいくらになるでしょうか。また、反対側の斜面を 2 m 登った地点での速さはいくらですか。

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1. 底面を高さの基準（0 m）としたときの、スタート時と最下点でのエネルギー：
  
  $E_0=mgh_0=250(9{.}81)(5)=12\,262{.}5\ \mathrm{J},\qquad E_{\mathrm{bottom}}=\tfrac12mv^{2}$
2. 質量は両辺で打ち消し合うため、速さは落差だけで決まります：
  
  $\tfrac12mv^{2}=mgh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0}=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
3. 一方、運動エネルギーの計算には質量が必要です：
  
  $E_k=\tfrac12(250)(9{.}9045)^{2}=12\,263\ \mathrm{J}$
4. 反対側の斜面を 2 m 登った地点では、スタートからの落差は 3 m だけになります：
  
  $v=\sqrt{2g(h_0-h)}=\sqrt{2(9{.}81)(5-2)}=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
解答

最下点での速さは 9.9045 m/s、運動エネルギーは 12,263 J。反対側を 2 m 登った地点での速さは 7.672 m/s。底面は平らなので、台車はその区間全体を同じ 9.9045 m/s で走り抜けます。

$v_{\mathrm{bottom}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s},\quad E_k=12\,263\ \mathrm{J},\quad v(2\ \mathrm{m})=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
山を越える最小の初速 3 ステップ
クラシックコースにおいて、台車は高さ 5 m からスタートし、x = 3 にある山の高さは 6 m です。摩擦がないとき、山を越えるのに必要な最小の初速はいくらでしょうか。また、そのとき x = 5 にある深さ 1 m の窪みでの速さはいくらになりますか。

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1. 頂上での速さはちょうどゼロ（余裕なし）で到達すれば十分です。スタートから頂上までのエネルギー：
  
  $\tfrac12v_0^{2}+gh_0=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+gh_{\mathrm{top}},\qquad v_{\mathrm{top}}\ge0$
2. 初速について解きます：
  
  $v_0=\sqrt{2g(h_{\mathrm{top}}-h_0)}=\sqrt{2(9{.}81)(6-5)}=\sqrt{19{.}62}=4{.}4294\ \mathrm{m/s}$
3. スタートから窪み（スタートより 4 m 低い位置）までのエネルギー：
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}=\sqrt{19{.}62+2(9{.}81)(5-1)}=\sqrt{98{.}1}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
解答

初速は 4.4294 m/s、窪みでの速さは 9.9045 m/s。これは静止状態から 5 m 下降したときの速さに一致します。発射時に与えたエネルギーが、山を越えるのに必要だった 1 m 分の高さを過不足なく補ったためです。

$v_0=4{.}4294\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{dip}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
摩擦のあるコース 3 ステップ
質量 1 kg の台車が、摩擦のあるコースの高さ 5 m から静かに放たれます。コースは水平距離で 10 m 先の地上で終わっています。動摩擦係数を 0.05 としたとき、ゴール到達時の速さと、摩擦によって失われたエネルギーはいくらでしょうか。

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1. 各直線区間において摩擦が奪う仕事は μmg に水平距離を掛けたものなので、コース全体では次のようになります：
  
  $W_f=\mu mg\,d=0{.}05(1)(9{.}81)(10)=4{.}905\ \mathrm{J}$
2. スタート時のエネルギーは、ゴール時のエネルギーと摩擦に対してされた仕事の和に等しくなります：
  
  $mgh_0=\tfrac12mv^{2}+W_f\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0-2\mu g\,d}=\sqrt{98{.}1-9{.}81}=9{.}3963\ \mathrm{m/s}$
3. もし摩擦がなければ、同じ落差で得られる速さは次の通りです：
  
  $\mu=0:\quad v=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
解答

到達時の速さは 9.3963 m/s、摩擦によって失われたエネルギーは 4.905 J。途中に二つの窪みや山があっても損失は変わりません。高さ 5 m から同じ 10 m を下る一本の直線斜面でも、到達する速さは同じになります。

$v=9{.}3963\ \mathrm{m/s},\qquad W_f=4{.}905\ \mathrm{J}$
反対側の斜面をどこまで登れるか 3 ステップ
このハーフパイプは、縁の高さが 5 m、下り斜面の水平幅が 2 m、平らな底面が 4 m、反対側の高さ 5 m の縁へ向かう上り斜面の水平幅が 2 m です。動摩擦係数 0.05 のもとで静かに放たれた台車は、反対側の斜面をどこまで登るでしょうか。

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1. 台車が反対側の斜面の高さ h で停止するとします。この斜面は水平距離 2 m に対して 5 m 上昇するため、高さ h に達するまでの水平移動量は 2h/5 となり、スタート地点からの全水平距離は次のようになります：
  
  $d=2+4+\tfrac25h=6+0{.}4h$
2. スタート時のエネルギーは、停止位置での位置エネルギーと摩擦に対してされた仕事の和に等しくなります：
  
  $gh_0=gh+\mu g\,(6+0{.}4h)$
3. h について解きます：
  
  $h=\frac{h_0-6\mu}{1+0{.}4\mu}=\frac{5-0{.}3}{1{.}02}=4{.}6078\ \mathrm{m}$
解答

高さ 4.6078 m（縁の手前およそ 0.39 m）。台車はそこから逆向きに滑り落ち、底面を往復するたびにエネルギーを失っていきます。

$h=4{.}6078\ \mathrm{m}$
垂直ループ：スタートに必要な高さは？ 3 ステップ
台車が摩擦のない斜面を静かに滑り降り、半径 4.0 m の円形垂直ループに突入します。ループの頂点でレールから離れずに回り切るには、どれだけの高さからスタートしなければならないでしょうか。また、最下点でレールが体重 70 kg の乗客を押し上げる力はどれくらいですか。
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1. 頂点ではレールは下向きにしか押せないため、少なくとも重力単独で向心力をまかなう必要があります：
  
  $mg\le\frac{mv_{\mathrm{top}}^{2}}{R}\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{top}}^{2}\ge gR$
2. スタートからループの頂点（高さ 2R）までのエネルギー：
  
  $gh=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+g(2R)\ \ge\ \tfrac12gR+2gR\ \Rightarrow\ h\ge\tfrac52R=10\ \mathrm{m}$
3. 最下点での速さは全体の落差から決まり、レールは重力に向心力を加えた力を支えなければなりません：
  
  $v_{\mathrm{bottom}}^{2}=2gh=5gR,\qquad N=mg+\frac{mv_{\mathrm{bottom}}^{2}}{R}=6mg=6(70)(9{.}81)=4120\ \mathrm{N}$
解答

スタートの高さは少なくとも 10 m（半径の 2.5 倍）。最下点でレールが乗客を押す力は 4,120 N（体重の 6 倍）に達します。この「6倍」という過大な負荷こそ、実際のジェットコースターのループが真円で作られない理由です。クロソイド曲線を用いれば、速度が遅い頂点では半径を小さく、速度が増す最下点では半径を大きく取ることができます。

$h_{\min}=2{.}5R=10\ \mathrm{m},\qquad N_{\mathrm{bottom}}=6mg=4120\ \mathrm{N}$

補充問題（答えのみ）

摩擦のないコースで、落差 30 m の頂上を 2.0 m/s で通過した質量 600 kg の台車が坂を滑り降ります。地上 10 m の高さに達したとき、台車の速さはいくらでしょうか。

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19.91 m/s。

$v=\sqrt{2{.}0^{2}+2(9{.}81)(30-10)}=\sqrt{396{.}4}=19{.}91\ \mathrm{m/s}$
摩擦のない斜面のふもとを 8.0 m/s で滑り始めたそりが、斜面を駆け上がります。最高でどれだけの高さまで登るでしょうか。

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3.262 m。

$h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{8{.}0^{2}}{2(9{.}81)}=3{.}262\ \mathrm{m}$
物体が直線斜面の高さ 3.0 m の位置から静かに放たれ、そのまま水平な床を滑ります。動摩擦係数はすべての場所で 0.15 です。静止するまでに、スタート地点から進む水平距離はいくらになるでしょうか。

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滑り出すだけの傾斜（tan θ > 0.15、8.53° より急）さえあれば、どの斜面でも 20 m です。水平距離 1 m あたり摩擦が奪うのは μg で、3.0/0.15 = 20 となります。これより緩やかな斜面では、ブロックは動きもしません。

$mgh=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ d=\frac{h}{\mu}=\frac{3{.}0}{0{.}15}=20\ \mathrm{m}$
台車が落差 45 m の頂上から静かに発進し、動摩擦係数 0.02 のもとで水平距離 60 m を進みながら下ります。最下点に達したときの速さはいくらでしょうか。

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29.315 m/s。

$v=\sqrt{2g(h-\mu d)}=\sqrt{2(9{.}81)(45-0{.}02\times60)}=29{.}315\ \mathrm{m/s}$
摩擦のない円形ループの最下点から 12 m 高い位置より、台車が静かにスタートします。台車がレールから離れずに回り切ることができるループの最大半径はいくらですか。

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4.8 m。スタート地点は最下点から少なくともループ半径の 2.5 倍の高さになければならないためです。

$h\ge\tfrac52R\ \Rightarrow\ R\le\frac{12}{2{.}5}=4{.}8\ \mathrm{m}$

摩擦が奪うエネルギーは、道のりではなく水平距離で決まる

傾斜角 θ の直線斜面において、垂直抗力は mg cos θ であり、水平距離 d に対して斜面の長さは d/cos θ となります。二つの cos が相殺されるため、傾きが何度であっても摩擦が奪う仕事は μmgd です。同じ水平距離を進むなら、急降下でも緩やかな坂でも失われるエネルギーは等しく、垂直落下なら損失はゼロになります。摩擦あり を選ぶと、水平距離 10 m の間に二つの窪みと一つの山を越えて 5 m 下降し、4.905 J/kg を失って 9.3963 m/s でゴールに達します。これは、同じ 10 m の区間で地上まで 5 m 下る一本の直線斜面を滑り降りた場合と完全に一致します。コースの形状が影響するのは本来カーブにおいてですが、このモデルでは曲線部分を省いています。実際の窪みでは遠心力で台車がレールに強く押し付けられ、公式の計算以上にエネルギーが奪われます。顕著な例が ハーフパイプ です。摩擦がなければスタートと同じ高さまでぎりぎり登り返せますが、ほんのわずかでも摩擦があると反対側の斜面の途中で力尽きてしまいます。μ = 0.05 では、高さ 4.6078 m で停止します。

速さは高さだけで決まる

摩擦のないコースでは、任意の地点における小球の速さはスタートからの落差だけで完全に決まり、途中のコース形状には一切左右されません。同じ深さまで下るなら、垂直に近い急降下であろうと長く緩やかな坂道であろうと、到達する速さはまったく同一です。ボールがスタート地点より高く登れないのもそのためです。持ち合わせていないエネルギーを使うことはできません。そこに摩擦が加わると、水平距離を進むごとに熱としてエネルギーが削り取られていきます。

本物のループは円形ではない

ジェットコースターのループは丸く見えますが、実際にはほとんど円ではなく、頂上に向かって半径が小さくなる涙滴形のクロソイド曲線です。完全な円形ループで頂上でも脱線しない速さを出すと、下では乗客が過酷なG(重力加速度の何倍もの力)に押しつぶされてしまいます。ドイツの技術者ヴェルナー・シュテンゲルは1976年にクロソイド・ループを導入しました——頂上は小さな半径(必要な速さが小さい)、下はゆるやかな半径。同じエネルギー保存でも、より賢い形です。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

ハーフパイプ を選び、平らな底面の中央まで位置をドラッグして速さを読み取ってください。次に、質量を 1 kg から 500 kg に変えてみましょう。変更する前に、速さがどうなるか予想してみてください。

答えを表示

速さは 9.9045 m/s のまま変わりません。エネルギーの式のすべての項に m が含まれているため両辺を m で割ることができ、速さは下落した高さだけで決まるからです。運動エネルギー自体は 49.05 J から 24,525 J へと変化します。車体が重くなるとエネルギーは格段に大きくなりますが、走る速さは変わらないのです。
スタート時の表示は位置エネルギーが 49.05 J、運動エネルギーが 0 J です。このコースで台車の速さが最大になるのはどの地点でしょうか。また、そのときの合計エネルギーはいくらですか。

答えを表示

台車が実際に到達できる最も低い地点です。すなわち高さ 3 m（x = 2）の地点で、速さは 6.2642 m/s に達します。x = 5 にある深さ 1 m の窪みのほうが標高は低いものの、手前にある 6 m の山を台車が越えられないため到達できません。その地点での合計エネルギーは変わらず 49.05 J で、そのうち 19.62 J が運動エネルギーです。
動摩擦係数をゼロより大きくしてみてください。失われるエネルギーの大きさは、台車がコースに沿って移動した道のりで決まるでしょうか、それとも別の要因でしょうか。

答えを表示

進んだ水平距離で決まります。斜面では垂直抗力が cos θ 倍に減る一方で長さが 1/cos θ 倍に伸びるため、表の計算では斜面に沿った道のりではなく水平距離 d を用いて μgd を差し引きます。垂直落下での損失はゼロですが、水平走行ではレール 1 メートルあたりの損失が最大になります。この損失量にも質量は含まれないため、摩擦があっても前の結論は揺らぎません。

学習の道すじ

力ではなくエネルギーで

参考文献 (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。