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ドローダウンとボラティリティ・ドラッグ

50%下げたら、元に戻すには100%上げなければなりません。同じ非対称性は、暴落がなくても毎年働いています。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

ドラッグは暴落ではなく、値動きに乗るための代金です

平均リターンが同じ2つのポートフォリオでも、どちらにも破局が起きないまま、まったく違う場所にたどり着くことがあります。その差は分散の半分に近く、滑らかな8%が荒っぽい8%に勝つ理由もここにあります。このデータで測ると近似はかなり正確で、実際のドラッグと分散の半分の比は、株式比率0から100%まで、どの部分期間を取っても0.90から1.09の間に収まります。逆説に見えることの説明にもなります。系列の算術平均はあなたが口にする数字、複利の率はあなたが受け取る数字であり、何かを買えるのは後者だけです。

最もドローダウンが浅いポートフォリオは株式ゼロのものではない

株式比率を0に設定すると、最大の下落率は21.5%となり、2022年に底を打ちます。株式比率を上げると数値は下がり — 10%で18.8%、14%から28%までは17.9%を維持します — そこから上昇に転じます：30%で18.7%、40%で25.6%、100%で64.8%。底を打った年は28%と29%の間で2022年から1931年へと入れ替わります。2つの異なる災厄が首位を争っており、この記録上で最も浅い配分は、どちらの災厄も勝たない程度に各資産を十分保有している配分です。株式比率の二極だけを見ていてはそれは分からず、その間にある1%刻みの段階をたどって初めて見えてきます。

市場のリターンよりドラッグのほうが大きかった十三年間

株式比率を100%にして失われた十年、2000年をクリックすると、四枚のカードのうち二枚に、見過ごしやすい食い違いが現れます。年平均の複利収益率は1.63%、ボラティリティ・ドラッグは1.78%です。値動きによる損失が、ポートフォリオの収益を上回ったのです。これは十分に起こりえます。ドラッグは分散のおよそ半分であり、複利収益率は平均収益率からドラッグを差し引いた残りだからです。平均に比べて分散が大きい期間では、同じことが起こります。同じ十三年間で株式比率を60%に下げると、ドラッグは0.36%、複利収益率は4.57%になります。リターン全体を上回っていたドラッグが、その約8%まで縮みます。

全プロセスの詳細解説

  1. 1929–1932年の暴落の深さを定める4つの年間リターン 6 ステップ

    4年間の年次リターンによって1929–1932年の暴落の深さが決定される。それを相殺する上昇率はそれとは異なる数値であり、それにかかるはずの時間は3つ目の数値である—これら3つのすべてを導出せよ。本ツールの初期状態は次の通りである：1928年からの全98年間の記録全体にわたり株式100%であり、複利年平均成長率カードには10.02%と表示されている。

    1. 1年経つと資産は1 + r倍になり、それ以外の変化は起こらない。したがって、4年連続の下落は和ではなく積となる。まず何よりも先に、各リターンを乗数に変換する。これらは数値の出典の下に挙げられているデータセットから得られる、該当する各年のS&P 500年間トータルリターンである。

      r1929…1932=−8.30%, −25.12%, −43.84%, −8.64% ⟹ 1+r=0.9170, 0.7488, 0.5616, 0.9136r_{1929\ldots1932}=-8.30\%,\,-25.12\%,\,-43.84\%,\,-8.64\%\ \Longrightarrow\ 1+r=0.9170,\,0.7488,\,0.5616,\,0.9136

    2. それらを掛け合わせる。ここで何が含まれていないかに着目する：1928年のリターンは+43.81%であったが、意図的に除外されている。ドローダウンとは最高値に対する比率であり、その最高値がいくらであったかは約分されて消えるからである。事前にどれほど高く登っていたとしても、落ち込みの穴が浅くなることも深くなることもない。最大ドローダウンカードの表記もこれと一致しており、そのヒント欄にも同じ2つの年が挙げられている。

      V1932V1928=0.9170×0.7488×0.5616×0.9136=0.352305 ⟹ L=1−0.352305=64.8%\frac{V_{1932}}{V_{1928}}=0.9170\times0.7488\times0.5616\times0.9136=0.352305\ \Longrightarrow\ L=1-0.352305=64.8\%

    3. 元の水準まで回復することは、乗じて1に戻すことを意味する。したがって必要な上昇率は、逆数から1を引いた値となる。表示されている64.8%からではなく、0.352305から計算すること。小数点以下1桁は落ち込みの深さを表示するには十分だが、その逆数を求めるには不十分である。四捨五入された数値から計算すると184.1%となり、カードに表示されている数値より1/3ポイント高くなってしまう。

      g=10.352305−1=2.83845−1=+183.8%(11−0.648−1=184.1%)g=\frac{1}{0.352305}-1=2.83845-1=+183.8\%\qquad\left(\frac{1}{1-0.648}-1=184.1\%\right)

    4. これが一般的な非対称性である。半分を失えば2倍にする必要があり、64.77%を失えばほぼ3倍にする必要がある。すべての伸び率はより小さくなった数値を基準にして測定されるため、損失が膨らむほど分母は縮小し、必要とされる率は急速に増大していく。

      g(L)=11−L−1:L=0.5000⇒+100.0%,L=0.6477⇒+183.8%g(L)=\frac{1}{1-L}-1:\quad L=0.5000\Rightarrow+100.0\%,\quad L=0.6477\Rightarrow+183.8\%

    5. 次に、所要時間に目を向ける。複利年平均成長率は全98年間の期間全体を再現する単一の率である。したがって、その率で何年間掛け合わせれば2.83845になるかを考える。

      n=ln⁡2.83845ln⁡1.1002=1.043260.09549=10.9 yrn=\frac{\ln 2.83845}{\ln 1.1002}=\frac{1.04326}{0.09549}=10.9\ \mathrm{yr}

    6. 回復にかかった期間を開いて年を読み取る。1928年の最高値に回復するのは1936年である—1932年の底から11年ではなく、4年後のことである。

      1936−1932=4 yr ≠ 10.9 yr1936-1932=4\ \mathrm{yr}\ \neq\ 10.9\ \mathrm{yr}

    解答

    64.8%の下落、回復には+183.8%が必要であり、年10.02%の率からは10.9年と予測されるところ、実際にかかったのは4年であった。複利成長率は期間全体に適合されるものであり、まさにそのために期間内のいかなる部分についても時期を特定することはできない。1933年は+49.98%、1935年は+46.74%、1936年は+31.94%のリターンであり、1934年は−1.19%とほぼ横ばいであった。これら4つの乗数を掛け合わせると2.869となり、必要とされた2.838を上回り、年率換算で30.15%を意味する。相場の回復は平均的なペースでは訪れない。それらは普通の10年間に囲まれた、2つか3つの突出した大躍進の年によってもたらされるのである—沸点のような集中こそが脆弱な部分である。1933年を除外すると、残る3年間の乗数は掛け合わせると1.913となり、2.838には遠く及ばない。したがって、そうした年が1年欠ければ回復全体が1936年以降へと押しやられる。本ツールはカード上に平均成長率を表示し、折りたたまれたパネル内に暦年を表示する。10.9年という年数もそれらの間の距離も計算しておらず、その距離こそがこれら2つをあわせて読む価値がある理由である。

    L=1−∏k=19291932(1+rk)=64.8%,g=11−L−1=+183.8%,ln⁡(1+g)ln⁡1.1002=10.9 yr ≠ 4 yrL=1-\prod_{k=1929}^{1932}(1+r_k)=64.8\%,\quad g=\frac{1}{1-L}-1=+183.8\%,\quad \frac{\ln(1+g)}{\ln 1.1002}=10.9\ \mathrm{yr}\ \neq\ 4\ \mathrm{yr}

学習の道すじ

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参考文献 (3)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。