1つの母比率の推測

成功数 x、標本の大きさ n、主張された比率 p₀ を入力し、対立仮説、信頼水準、有意水準 α を選択してください。上の図は p₀ が真であると仮定したときの p̂ の標本分布で、色づけされた領域がp値を表します。下の図は、同じ尺度で並べた母比率の信頼区間です。

p̂ の標準偏差	$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
信頼区間	$\hat p\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$
検定統計量	$z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

計算例 — 1つの母比率の推測

標本比率 p̂	0.17
検定統計量 z	2.33
p値	0.0196
厳密な二項分布のp値	0.0412
95% の臨界値 z*	1.96
p̂ の標準誤差	0.0376
誤差の限界	0.0736
95%信頼区間	(0.0964, 0.2436)

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レッスン

理論 — 1つの母比率の推測

比率の推測では、標本比率 p̂ = x/n を使って母比率 p を信頼区間によって推定するか、主張された値 p₀ の妥当性を仮説検定によって判断します。

公式の導き方

p̂ の標本分布。無作為抽出を何度も繰り返すとき、p̂ の平均は p、標準偏差は √(p(1 − p)/n) となり、np と n(1 − p) がともに10以上であれば、その分布は正規分布に近似できます。
$\mu_{\hat p}=p,\qquad\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
条件の確認。無作為性：無作為標本であること、または実験における無作為割り付けであること。10%条件：非復元抽出の場合、標本の大きさ n が母集団の10分の1以下であること。大標本条件：信頼区間では成功数と失敗数がともに10以上、検定では n p₀ と n(1 − p₀) がともに10以上であること。
$\begin{aligned}&n\le0.1\,N\\&n\hat p\ge10,\quad n(1-\hat p)\ge10\\&np_0\ge10,\quad n(1-p_0)\ge10\end{aligned}$
信頼区間の構成。p̂ ± z* × 標準誤差で求めます。母比率 p が未知であるため、標準誤差の計算には p̂ を使います。z* は信頼水準によって決まり、90%なら 1.645、95%なら 1.96、99%なら 2.576 です。文脈に応じた解釈も大切です。「母比率は95%の信頼度でこの区間に含まれる」とは、標本抽出を繰り返したときに、構成した区間の95%が真の母比率を捉えるという意味です。
$\hat p\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576$
仮説検定の手順。帰無仮説 H₀: p = p₀ と対立仮説を立てます。H₀ が真であると仮定するため、p̂ の標準偏差には p₀ を用います。統計量 z は p̂ が p₀ から標準偏差の何倍離れているかを表し、p値は H₀ が真であるとした場合に、対立仮説 Hₐ の方向にそれ以上極端な p̂ が得られる確率です。
$H_0:\ p=p_0\ \Rightarrow\ \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}},\qquad z=\frac{\hat p-p_0}{\sigma_{\hat p}}$
文脈に即した結論。p値が α 未満であれば H₀ を棄却し、Hₐ を支持する十分な証拠があると結論づけます。そうでなければ H₀ を棄却しません。証拠が不十分なのであって、H₀ が真であることの証明ではない点に注意してください。真の H₀ を棄却してしまう過ちは「第1種の過誤」と呼ばれ、検定はその生じる確率が α になるよう設計されています。ただし、度数の分布が正規分布に近いだけのときは確率も大まかに α となるにすぎず、n = 100、p₀ = 0.1 の場合、有意水準5%の検定が真の H₀ を棄却する割合は 6.4% に達します。偽の H₀ を棄却し損ねる過ちは「第2種の過誤」です。

前提: 正規分布モデルは二項分布に対する近似にすぎません。大標本条件を満たさない場合、本ツールは正規近似による値と並べて二項分布に基づく厳密なp値を表示します。両側検定では小さい側の片側確率を2倍して計算しています。

全プロセスの詳細解説

p̂ の標本分布 2 ステップ
ある学校の生徒の10%が徒歩通学をしているとします。生徒100人を無作為抽出したときの p̂ の標本分布を説明しなさい。

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1. 中心と散らばりは p と n から定まります。
  
  $\mu_{\hat p}=p=0.1,\qquad\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{0.1\,(0.9)}{100}}=0.03$
2. 期待度数がともに10に達するため、分布の形状はおよそ正規分布に従います。
  
  $np=100\,(0.1)=10\ge10,\qquad n(1-p)=100\,(0.9)=90\ge10$
解答

平均 0.1、標準偏差 0.03 のおおむね正規分布。

$\hat p\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.03)$
10%条件 2 ステップ
全校生徒が400人しかいない学校から、100人の標本が非復元抽出されました。徒歩通学者の比率を推測するための各条件を確認しなさい。

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1. 問1と同様に大標本条件は満たされますが、10%条件は満たされません。
  
  $n=100>0.1\times400=40$
2. 小さな母集団から非復元抽出を行うと、p̂ のばらつきは公式が示す値よりも小さくなります。有限母集団修正はその縮小度合いを測るものです。
  
  $\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{300}{399}}\approx0.867,\qquad0.03\times0.867\approx0.026$
解答

10%条件を満たしていません（100 > 40）。公式による 0.03 は p̂ のばらつきを過大に見積もっており、有限母集団の修正を行うと約 0.026 になります。

$100>40,\qquad\sigma_{\hat p}\approx0.026<0.03$
信頼区間の構成 2 ステップ
有権者300,000人の都市で1,000人を無作為抽出したところ、520人が特定候補を支持していました。この都市の全有権者における支持率について95%信頼区間を求め、その結果を解釈しなさい。

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1. 条件の確認：無作為標本であること。1,000 は 300,000 の10分の1未満であること。成功数520、失敗数480であること。標本比率とその標準誤差を計算します。
  
  $\hat p=\frac{520}{1000}=0.52,\qquad SE=\sqrt{\frac{0.52\,(0.48)}{1000}}\approx0.0158$
2. z* = 1.96 を掛け、加減します。
  
  $0.52\pm1.96\,(0.0158)=0.52\pm0.031$
解答

(0.489, 0.551)。この都市の全有権者のうち、その候補者を支持する割合は 48.9% から 55.1% の間にあると95%の信頼度で推定されます。

$(0.489,\ 0.551)$
信頼区間を用いた主張の検証 2 ステップ
生徒100人を無作為抽出したところ、10人が徒歩通学でした。ある新聞が、この学校の生徒の17%が徒歩通学だと報じています。95%信頼区間を用いて、この主張の妥当性を評価しなさい。

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1. 成功数10、失敗数90に基づく信頼区間を求めます。
  
  $\hat p=\frac{10}{100}=0.1,\qquad0.1\pm1.96\sqrt{\frac{0.1\,(0.9)}{100}}=0.1\pm0.059=(0.041,\ 0.159)$
2. 主張された値と信頼区間を比較します。
  
  $0.17>0.159$
解答

信頼区間 (0.041, 0.159) に 0.17 は含まれていないため、徒歩通学者の割合が 17% であるというのはもっともらしい値とは言えません。

$0.17\notin(0.041,\ 0.159)$
両側検定による仮説検定 2 ステップ
全校生徒1,200人の学校が、徒歩通学者の割合は10%であると主張しています。100人を無作為抽出したところ17人が該当しました。有意水準5%でこの主張を検定しなさい。

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1. 仮説の設定：H₀: p = 0.1、Hₐ: p ≠ 0.1。条件：無作為標本であること、100 は 1,200 の10分の1未満であること、n p₀ = 10 かつ n(1 − p₀) = 90 であること。p₀ から求めた標準偏差を用いて検定統計量を算出します。
  
  $z=\frac{0.17-0.1}{\sqrt{0.1\,(0.9)/100}}=\frac{0.07}{0.03}\approx2.33$
2. 両側p値を求めます。
  
  $P=2\,P(Z\ge2.33)\approx0.020$
解答

p = 0.020 < 0.05 より H₀ を棄却します。徒歩通学者の比率が 10% ではないと判断する十分な証拠があります。

$P\approx0.020<0.05$
棄却されない片側検定 2 ステップ
無作為抽出された有権者1,000人のうち520人が候補者を支持しているとき、市全体の有権者の過半数が支持していると判断する十分な証拠はありますか。有意水準 α = 0.05 で検定しなさい。

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1. 仮説の設定：H₀: p = 0.5、Hₐ: p > 0.5。大標本条件：期待度数はそれぞれ 500 と 500。検定統計量を求めます。
  
  $z=\frac{0.52-0.5}{\sqrt{0.5\,(0.5)/1000}}=\frac{0.02}{0.0158}\approx1.265$
2. 片側p値を求めます。
  
  $P=P(Z\ge1.265)\approx0.103$
解答

p = 0.103 ≥ 0.05 より H₀ を棄却しません。過半数が支持していると判断する十分な証拠はありませんが、過半数を支持していない証拠になるわけでもありません。

$P\approx0.103\ge0.05$
大標本条件の破綻と2種類の過誤 3 ステップ
納入業者は部品の不良品率が2%であると主張しています。100個を無作為抽出したところ5個が不良品でした。z検定を用いるのは適切ですか。対立仮説 Hₐ: p > 0.02 に対する厳密なp値を求め、ここでの第1種の過誤と第2種の過誤が何を意味するか説明しなさい。

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1. 検定の大標本条件が満たされていません。
  
  $np_0=100\,(0.02)=2<10$
2. 二項分布そのものを用いて計算します。p = 0.02 のとき、不良品の個数 X は n = 100 の二項分布に従います。
  
  $P(X\ge5)=1-\sum_{k=0}^{4}\binom{100}{k}(0.02)^k(0.98)^{100-k}\approx0.051$
3. 第1種の過誤は、実際には2%以下であるにもかかわらず不良品率が2%を超えていると誤認することです。第2種の過誤は、実際には2%を超えているのにそれを見落とすことです。
解答

適切ではありません（n p₀ = 2 < 10）。正規曲線による 0.016 に対し、厳密なp値は 0.051 となるため、有意水準5%では判定基準にわずかに届きません。

$P_{\mathrm{exact}}\approx0.051,\qquad P_{\mathrm{normal}}\approx0.016$
標本の大きさの決定 2 ステップ
真の母比率がどのような値であっても、95%信頼区間の誤差の限界を最大でも3%ポイント以内に抑えるには、どれだけの大きさの無作為標本が必要ですか。
解答を表示
1. p̂(1 − p̂) は p̂ = 0.5 で最大となるため、最も安全側となるこの値で設計します。
  
  $n=\left(\frac{z^*}{m}\right)^{2}p^*(1-p^*)=\left(\frac{1.96}{0.03}\right)^{2}(0.5)(0.5)\approx1067.1$
2. 1,067 では誤差が3%ポイントをわずかに超えてしまうため、切り上げます。
  
  $1.96\sqrt{\frac{0.25}{1067}}\approx0.0300016>0.03$
解答

n = 1,068.

$n=1068$

補充問題（答えのみ）

無作為抽出した60個の標本のうち、45個が特定の特性を持っていました。母比率の90%信頼区間を求めなさい。

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(0.658, 0.842)

$0.75\pm1.645\sqrt{\frac{0.75\,(0.25)}{60}}=0.75\pm0.092=(0.658,\ 0.842)$
10,000回の試行で5,067回の表が出たケーリッチの硬貨について、公平な硬貨であるかどうかを有意水準 α = 0.05 で検定しなさい。

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z = 1.34、p = 0.18：H₀ を棄却しない。硬貨に歪みがあるとする十分な証拠はありません。

$z=\frac{0.5067-0.5}{0.005}=1.34,\qquad P=2\,P(Z\ge1.34)\approx0.18$
ケーリッチによる10,000回の試行における表の比率について、95%信頼区間を求めなさい。

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(0.497, 0.516)。この区間には 0.5 が含まれています。

$0.5067\pm1.96\,(0.0050)=(0.497,\ 0.516)$
真の母比率がどのような値であっても、90%信頼区間の誤差の限界を4%ポイント以下にするには、どれだけの大きさの標本が必要ですか。

答えを表示

n = 423

$n=\left(\frac{1.645}{0.04}\right)^{2}(0.25)\approx422.8\ \Rightarrow\ n=423$
硬貨を100回投げて表が40回出ました。H₀: p = 0.5、Hₐ: p < 0.5 として有意水準 α = 0.05 で検定しなさい。

答えを表示

z = −2、p = 0.023：H₀ を棄却する。表が出る確率は半分未満であると判断する十分な証拠があります。

$z=\frac{0.4-0.5}{0.05}=-2,\qquad P=P(Z\le-2)\approx0.023<0.05$
有権者1,000人中520人の世論調査において、「95%の信頼度」とは何を意味していますか。

答えを表示

有権者1,000人の無作為抽出を何度も繰り返し、その都度同様に信頼区間を作ったとすれば、そうして得られた区間の約95%が真の母比率を含んでいるということです。いま求めたこの (0.489, 0.551) という単一の区間が真の値を含む確率という意味ではありません。それは既に含まれているか、含まれていないかのどちらかです。
有意水準 α = 0.01 で検定を行うとき、H₀ が実際には真である場合にそれを誤って棄却する確率はどれくらいですか。また、その過ちは何と呼ばれますか。

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約 0.01 です。標本分布が厳密に正規分布であるときにのみ、ちょうど 0.01 になります。真の H₀ を棄却する過ちは第1種の過誤と呼ばれます。検定で棄却という結論が出た後では、この特定の判定が過誤である確率が 0.01 になるわけではありません。

$P(\mathrm{reject}\ H_0\mid H_0)\approx\alpha=0.01$

100人中17人で10%は棄却されるのに、信頼区間には残る理由

100人中17人（主張10%）を押してみてください。検定では z = 2.33、p = 0.0196 となり、有意水準5%で p = 0.1 が棄却されます。ところが、95%信頼区間である 0.096〜0.244 には 0.1 が含まれています。今度は立場を入れ替えた100人中10人（主張17%）を選んでみましょう。信頼区間の 0.041〜0.159 からは 0.17 が外れますが、検定は p = 0.062 で棄却しません。どちらの計算も正しいですし、厳密な二項分布のp値も両方のケースで検定と同じ結論を出していますから、正規近似の破綻でもありません。理由は使っている「ものさし」の違いです。検定は H₀ が真だと仮定して p₀ から計算した標準偏差で p̂ との距離を測りますが、信頼区間は母比率について何も仮定せず、p̂ から求めた標準誤差を用います。比率が 0.1 のときの標準偏差は 0.03、0.17 のときは 0.0376 です。0.07 という差は、一方の1.96倍より大きく、もう一方の1.96倍より小さい絶妙な位置に落ちています。ある仮説を検証したいなら検定を、その値がもっともらしい範囲を探るなら信頼区間を使ってください。

不良品の期待値2個に対し検出5個：曲線なら1.6%、実数では5.1%

100個中5個の不良品を押してみましょう。納入業者の主張が2%なら期待される不良品数は2個ですが、実際には5個見つかりました。z検定を行うと z = 2.14、片側p値は 0.016 となり、0.05 を余裕で下回るように見えます。しかし、n p₀ = 2 は大標本条件が求める10に遠く及びません。曲線の背後にある棒グラフに目を向けると、何が起きているかが分かります。不良品の個数は0未満にならないため分布が歪み、釣鐘型の正規曲線にはない長い右裾が生じているのです。2%の母比率から5個以上の不良品が出る厳密な確率は 0.051 であり、正規分布による計算値の3倍、0.05 の境界線をわずかに超えています。大標本条件とは、滑らかな曲線が現実の棒グラフを正しく捉えきれなくなる境界線を示しているのです。

ケーリッチの硬貨は表が67回多く出たが、それはごく自然な偏りだ

1941年、デンマークで抑留生活を送っていた数学者ジョン・ケーリッチは、硬貨を10,000回投げて5,067回の表を記録しました。ケーリッチの硬貨を押してみてください。z = 1.34、p = 0.18 となり、歪みのない公平な硬貨であっても、五、六回に一度はこの程度以上の偏りがどちらかの側に生じます。67回多く出た表は、硬貨がこれから返済すべき「借金」ではありません。公平な硬貨において、表の出た回数と試行回数の半分との差は、標準偏差が √n/2 で表されるため、試行を重ねるほど大きくなります。100回で5回、10,000回で50回、100万回なら500回です。縮小していくのは、投擲数全体に占めるその差の「割合」であり、5%から 0.5%、0.05%へと薄まっていくにすぎません。大数の法則とは比率に関する主張であり、回数の差を帳消しにする力は存在しないのです。裏がどれだけ続こうと、そろそろ表が出るはずだという理由にはなりません。

学習の道すじ

統計学：データから比率へ

参考文献 (2)

Insight block 3 and the Kerrich preset: John Kerrich, interned in Denmark in 1941, tossed a coin 10,000 times and it landed heads 5,067 times; his weighted wooden disc, tossed 1,000 times, did show a bias: Gelman, A. & Nolan, D. (2002). You can load a die, but you can't bias a coin. The American Statistician, 56(4), 308–311.
Why the large-counts condition is a rule of thumb rather than a guarantee: the coverage of the standard interval, p̂ ± z* SE, is erratic far more persistently than is usually appreciated, and the textbook prescriptions for when it is safe cannot be trusted; the Wilson, Jeffreys and Agresti–Coull intervals are recommended instead: Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

1つの母比率の推測

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

100人中17人で10%は棄却されるのに、信頼区間には残る理由 🖖

不良品の期待値2個に対し検出5個：曲線なら1.6%、実数では5.1% 🖖

ケーリッチの硬貨は表が67回多く出たが、それはごく自然な偏りだ 🖖

100人中17人で10%は棄却されるのに、信頼区間には残る理由

不良品の期待値2個に対し検出5個：曲線なら1.6%、実数では5.1%

ケーリッチの硬貨は表が67回多く出たが、それはごく自然な偏りだ