母比率の差の推測

各群の成功数とサンプルサイズを入力し、対立仮説、信頼水準、有意水準 α を選んでください。上段のグラフは p₁ = p₂ と仮定したときの p̂₁ − p̂₂ の標本分布で、p値にあたる部分に影がついています。その下には、同じ尺度で p₁ − p₂ の信頼区間が並びます。

p̂₁ − p̂₂ の標準偏差	$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$
信頼区間	$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}$
検定統計量（プール）	$z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},\quad\hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

計算例 — 母比率の差の推測

標本比率 p̂₁	0.18
標本比率 p̂₂	0.1
差 p̂₁ − p̂₂	0.08
プールされた比率 p̂c	0.116
検定統計量 z	2.23
p値	0.0255
フィッシャーの正確確率検定のp値	0.0464
95% に対する臨界値 z*	1.96

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

レッスン

理論 — 母比率の差の推測

母比率の差の推測では、二つの母集団あるいは二つの処置における成功率 p₁ と p₂ を、その標本比率の差 p̂₁ − p̂₂ を通じて比較します。信頼区間によって p₁ − p₂ を推定し、仮説検定によって H₀: p₁ = p₂ の妥当性を判断します。

公式の導き方

p̂₁ − p̂₂ の標本分布：独立な無作為抽出を繰り返したとき、p̂₁ − p̂₂ の平均は p₁ − p₂ になります。二つの標本は互いに独立なので分散の和をとることができ、標準偏差は単純な足し算ではなく平方根の下で合成されます。n₁p₁、n₁(1 − p₁)、n₂p₂、n₂(1 − p₂) がすべて 10 以上であれば、分布の形は正規分布に近くなります。
$\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad\sigma^2_{\hat p_1-\hat p_2}=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}$
条件の確認：【無作為性】互いに独立な二つの無作為標本であるか、実験における無作為割り付けによって分けられた二群であること。【10%条件】非復元抽出の場合、各標本の大きさはその母集団の10分の1以下であること（無作為割り付けの実験では抽出元の母集団が存在しないため、この条件は適用されません）。【度数の条件】信頼区間では各群の成功数と失敗数がそれぞれ 10 以上であること、検定ではプールした比率から求めた四つの期待度数がすべて 10 以上であること。
$\begin{aligned}&n_1\le0.1\,N_1,\quad n_2\le0.1\,N_2\\&x_i\ge10,\quad n_i-x_i\ge10\\&n_i\hat p_c\ge10,\quad n_i(1-\hat p_c)\ge10\end{aligned}$
信頼区間：(p̂₁ − p̂₂) ± z* × 標準誤差で求めます。信頼区間では p₁ と p₂ について何の仮定も置かないため、標準誤差には各群自身の p̂ をそのまま使います。区間に 0 が含まれていれば「差がない」という判断も妥当な値として残ります。区間全体が 0 より上、あるいは 0 より下にあれば、その方向に差がある確かな証拠になります。
$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\,SE,\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576$
仮説検定：帰無仮説 H₀: p₁ = p₂ と対立仮説を立てます。もし H₀ が正しければ、二つの標本は共通のひとつの比率を推定していることになるため、標本を合算してプールした比率 p̂c を求め、p̂c だけを使って p̂₁ − p̂₂ の標準偏差を計算します。観測された差がその標準偏差の何倍離れているかを表したものが検定統計量 z であり、p値は H₀ が真であるときに Hₐ の方向へそれ以上に極端な差が生じる確率です。
$H_0:\ p_1=p_2\ \Rightarrow\ \hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad\sigma_0=\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}$
結論と研究デザインの適用範囲：単一の母比率のときと同様に、p値を有意水準 α と比較して文脈に即した結論を下します。次に結果の一般化と因果関係について考えましょう。無作為割り付けを行っていれば処置がその差をもたらしたという因果関係を主張でき、無作為抽出を行っていれば抽出元の母集団全体へと結論を一般化できます。観察研究における二つの無作為標本は「二つの母集団が異なっている」ことは示せても、「なぜ異なるのか」という原因までは示せません。

前提: 正規モデルは二つの二項度数を近似したものです。度数の条件を満たさない場合、このページにはフィッシャーの正確確率検定のp値が表示されます。これは成功の総数を固定した上で、n₁ + n₂ 人の対象者を無作為に分けたときに第1群へ x₁ 人以上の成功者が入る確率を計算するものです。両側検定では、小さい方の片側確率を2倍します。

全プロセスの詳細解説

p̂₁ − p̂₂ の標本分布 3 ステップ
ある大都市で、成人の 30% と青少年の 20% が新聞を読むと答えています。成人 100 人と青少年 150 人の独立な無作為標本を抽出しました。p̂₁ − p̂₂ の標本分布を記述し、成人の標本比率が青少年の標本比率より小さくなる確率を求めてください。

この問題をツールで開く
1. その中心と広がりは、二つの母比率と二つのサンプルサイズから求まります。
  
  $\begin{aligned}\mu_{\hat p_1-\hat p_2}&=0.3-0.2=0.1\\\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{100}+\frac{0.2\,(0.8)}{150}}\\&\approx0.0563\end{aligned}$
2. 四つの期待度数はすべて 10 以上になるため、分布の形はほぼ正規分布です。
  
  $\begin{aligned}&100\,(0.3)=30,\quad100\,(0.7)=70\\&150\,(0.2)=30,\quad150\,(0.8)=120\end{aligned}$
3. 成人の比率の方が小さくなるのは、p̂₁ − p̂₂ が 0 を下回るときです。
  
  $\begin{aligned}P(\hat p_1-\hat p_2<0)&=P\!\left(Z<\frac{0-0.1}{0.0563}\right)\\&=P(Z<-1.78)\approx0.038\end{aligned}$
解答

平均 0.1、標準偏差 0.0563 の概ね正規分布になります。成人の標本比率の方が小さくなる確率は約 0.038 です。

$\begin{aligned}&\hat p_1-\hat p_2\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.0563)\\&P(\hat p_1<\hat p_2)\approx0.038\end{aligned}$
信頼区間の構成 3 ステップ
ある都市の成人 300 人の無作為標本では 168 人が都心部への自動車乗り入れ禁止を支持し、別の都市の成人 350 人の無作為標本では 140 人が支持しました。両都市の比率の差に対する 95% 信頼区間を構成し、その結果を解釈してください。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 条件の確認：独立な二つの無作為標本であること。各標本が母集団の10分の1以下となる基準（3,000人および3,500人）を都市の人口は遥かに超えていること。168、132、140、210 はいずれも 10 以上であること。二つの標本比率は次の通りです。
  
  $\hat p_1=\frac{168}{300}=0.56,\qquad\hat p_2=\frac{140}{350}=0.4$
2. 各都市の標本比率を用いた標準誤差は次のようになります。
  
  $\begin{aligned}SE&=\sqrt{\frac{0.56\,(0.44)}{300}+\frac{0.4\,(0.6)}{350}}\\&\approx0.0388\end{aligned}$
3. z* = 1.96 を掛け、足し引きします。
  
  $0.16\pm1.96\,(0.0388)=0.16\pm0.076$
解答

(0.084, 0.236)。禁止を支持する成人の比率は、第1の都市の方が第2の都市よりも 8.4 〜 23.6 パーセントポイント高いと 95% の確信を持って言えます。

$(0.084,\ 0.236)$
信頼区間による主張の検証 2 ステップ
顧客の無作為標本において、店舗Aでは 150 人中 45 人が、店舗Bでは 200 人中 52 人が商品を返品しました。店長は二つの店舗で返品率が異なると主張しています。95% 信頼区間を用いてこの主張を検証してください。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 比率の差とその標準誤差：
  
  $\begin{aligned}\hat p_1-\hat p_2&=0.3-0.26=0.04\\SE&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{150}+\frac{0.26\,(0.74)}{200}}\\&\approx0.0486\end{aligned}$
2. 信頼区間と 0 の位置関係：
  
  $\begin{aligned}0.04\pm1.96\,(0.0486)&=0.04\pm0.095\\&=(-0.055,\ 0.135)\end{aligned}$
解答

信頼区間 (−0.055, 0.135) は 0 を含んでいるため、差がないという可能性も十分に考えられます。したがって、このデータは返品率が異なるという確かな証拠を与えているとは言えません。

$0\in(-0.055,\ 0.135)$
実験における両側検定 3 ステップ
200 人のボランティアが無作為に 100 人ずつの二群に分けられました。一方の群にはテキストでリマインダーが送られ、そのうち 62 人がインフルエンザ予防接種を受けたのに対し、もう一方の群では 45 人でした。リマインダーに効果があるかどうかを有意水準 5% で検定し、得られた結論から何が言えるか、またどの誤りのリスクを負っているかを述べてください。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 仮説：H₀: p₁ = p₂、Hₐ: p₁ ≠ p₂。条件：無作為割り付けがなされていること。各群の期待度数 53.5 と 46.5 はともに 10 以上であること。H₀ が正しければ両群の母比率は等しくなります。
  
  $\begin{aligned}&\hat p_c=\frac{62+45}{100+100}=0.535\\&100\,(0.535)=53.5\\&100\,(0.465)=46.5\end{aligned}$
2. プールした比率による標準偏差を用いた検定統計量：
  
  $\begin{aligned}z&=\frac{0.62-0.45}{\sqrt{0.535\,(0.465)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\right)}}\\&=\frac{0.17}{0.0705}\approx2.41\end{aligned}$
3. 両側検定のp値：
  
  $P=2\,P(Z\ge2.41)\approx0.016$
解答

p = 0.016 < 0.05 であるため H₀ を棄却します。リマインダーによって予防接種を受ける比率が変わるという確かな証拠があります。被験者が無作為に割り付けられているため、リマインダーがこの差をもたらした（因果関係がある）と結論できます。ただしボランティアを対象としているため、結論を一般化できるのは彼らと似た集団に限られます。もし実際にはリマインダーに効果がないとすれば、この結論は第I種の誤りです。

$P\approx0.016<0.05$
観察データに対する片側検定 3 ステップ
ある学区には楽器を演奏する生徒が 2,600 人、演奏しない生徒が 7,400 人います。演奏する生徒 200 人と演奏しない生徒 180 人の無作為標本を抽出したところ、前者の 26 人、後者の 18 人が優等生名簿に載っていました。楽器を演奏する生徒の方が優等生名簿に載る比率が高いという確かな証拠が α = 0.05 で得られるでしょうか。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 仮説：H₀: p₁ = p₂、Hₐ: p₁ > p₂。条件：独立な二つの無作為標本であること。200 は 2,600 の10分の1未満、180 は 7,400 の10分の1未満であること。期待度数は 23.2、176.8、20.8、159.2 であること。プールした比率：
  
  $\hat p_c=\frac{26+18}{200+180}\approx0.1158$
2. 検定統計量：
  
  $\begin{aligned}z&=\frac{0.13-0.1}{\sqrt{0.1158\,(0.8842)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{180}\right)}}\\&=\frac{0.03}{0.0329}\approx0.91\end{aligned}$
3. 片側検定のp値：
  
  $P=P(Z\ge0.91)\approx0.181$
解答

p = 0.181 ≥ 0.05 であるため H₀ を棄却できません。楽器を演奏する生徒の方が優等生名簿に載りやすいという確かな証拠はありません。仮にp値が小さかったとしても、楽器の演奏が成績を上げたとは言えません。これは割り付けを行った実験ではなく、観察された二つの標本に過ぎないからです。

$P\approx0.181\ge0.05$
度数の条件を満たさない場合：フィッシャーの正確確率検定 2 ステップ
予備研究において、20 人の患者が無作為に新薬群 10 人とプラセボ群 10 人に割り付けられました。新薬群では 5 人、プラセボ群では 1 人に症状の改善が見られました。z検定を用いるのは適切でしょうか。対立仮説 Hₐ: p₁ > p₂ に対する正確なp値を求めてください。

この問題をツールで開く
解答を表示
1. 検定に必要な度数の条件を満たしていません。
  
  $\hat p_c=\frac{5+1}{20}=0.3,\qquad10\,(0.3)=3<10$
2. 新薬に何の効果もないとすれば、改善した 6 人の患者はどちらにせよ改善していたはずであり、そのうち何人が新薬群に入るかは無作為割り付けの偶然だけで決まります。新薬群に 5 人または 6 人が入る確率は次の通りです。
  
  $\begin{aligned}P(X_1\ge5)&=\frac{\binom{10}{5}\binom{10}{1}+\binom{10}{6}\binom{10}{0}}{\binom{20}{6}}\\&=\frac{2520+210}{38760}\approx0.070\end{aligned}$
解答

適切ではありません。各群の期待度数は 3 と 7 にとどまります。正規近似によるp値 0.025 に対し、正確なp値は 0.070 であり、5% の有意水準において確かな証拠とは言えません。

$P_{\mathrm{exact}}\approx0.070,\quad P_{\mathrm{normal}}\approx0.025$

補充問題（答えのみ）

二つの都市のデータ（300人中168人と350人中140人）について、比率の差の90%信頼区間を求めてください。

答えを表示

(0.096, 0.224)

$\begin{aligned}0.16\pm1.645\,(0.0388)&=0.16\pm0.064\\&=(0.096,\ 0.224)\end{aligned}$
インフル予防接種の検定（100人中62人対100人中45人）を α = 0.01 でやり直してください。判定はどうなり、どのような誤りを犯す可能性がありますか。

答えを表示

p = 0.016 ≥ 0.01 となり、H₀ は棄却されません。もしリマインダーに本当に効果があるならば、これは第II種の誤りです。

$P\approx0.016\ge0.01$
なぜ検定では二つの標本をプールするのに、信頼区間ではプールしないのでしょうか。

答えを表示

検定は H₀ が真であるという前提のもとで計算されます。H₀ のもとでは両標本が同じ母比率を推定しているため、標本を合算した方がその最良の推定量が得られるからです。一方、信頼区間は二つが等しいとは仮定せずに p₁ − p₂ を推定するため、各群がそれぞれの p̂ を保持します。
z ≈ (a − b)/√(a + b) を用いて、ワクチン試験の発症数 8件対 162件に対する z を概算してください。

答えを表示

z ≈ −11.8

$z\approx\frac{8-162}{\sqrt{170}}\approx-11.8$
p₁ − p₂ の95%信頼区間が (−0.12, −0.03) でした。この結果は二つの母比率について何を物語っていますか。

答えを表示

区間に 0 が含まれていないため、p₁ の方が p₂ より 3 〜 12 パーセントポイント小さいという確かな証拠になります。

$0\notin(-0.12,\ -0.03)$
喫煙者 400 人と非喫煙者 400 人の無作為標本を比べたところ、喫煙者の方が咳をする人の比率がはるかに高く、p < 0.0001 でした。この調査から喫煙が咳を引き起こすと言えるでしょうか。

答えを表示

これだけでは言えません。これは観察研究であるため二つの集団に違いがあることしか示せず、潜伏変数がその差を生んでいる可能性があるからです。因果関係を示すには無作為割り付けが必要ですが、人に喫煙を強制する実験は倫理的に許されません。
100人中40人と100人中27人のデータについて、2 × 2 分割表のカイ二乗統計量は 3.793 です。計算公式を使わずに、母比率の差の検定の z統計量を求めてください。

答えを表示

z = √3.793 ≈ 1.95。p̂₁ = 0.4 の方が大きいため正の値になります。

$z=\sqrt{3.793}\approx1.95$

群のサイズが等しいとき、踏み込めるのは信頼区間だけ

100人中18人と400人中40人を押してみてください。検定では p = 0.0255 で p₁ = p₂ が棄却されるにもかかわらず、p₁ − p₂ の95%信頼区間（−0.0008 から 0.1608）には 0 が含まれます。次に100人中40人と100人中27人を押してみましょう。今度は信頼区間（0.0004 から 0.2596）から 0 が外れているのに、検定は p = 0.0515 で H₀ を棄却しません。フィッシャーの正確確率検定はどちらの例でもz検定と同じ側につきます（それぞれ 0.0464 と 0.0718）。ですから、ここで問題を起こしているのは正規近似の破綻ではありません。二つの手法が、同じ「差」を異なる標準誤差という物差しで測っているのです。検定は H₀ を前提とするため、二つの標本をひとつの比率にプールします（最初の例では 0.116）。対する信頼区間は何の前提も置かず、各群がそれぞれの比率をそのまま使います。最初の例では小さな群の 0.18 がプール前の分散の大半を占めており、プールによって 400人側に強く引き下げられました。一方、二つの群のサイズが等しい場合、プールした分散はプールしない分散を正確に (p̂₁ − p̂₂)²/(2n) だけ上回ります。そのため、検定の物差しが信頼区間より短くなることは決してありません。検定が H₀ を棄却しない一方で信頼区間が 0 を外すことはあっても、その逆が起きるには群のサイズが異なっている必要があるのです。

z² は同じ分割表のカイ二乗統計量に等しい

100人中18人と400人中40人の度数を、成功と失敗からなる 2 × 2 の分割表にまとめてみましょう。18 と 82、40 と 360 です。連続補正を入れずに計算したカイ二乗統計量 ∑(O − E)²/E は 4.993 となり、z²（丸める前の z は 2.2345）と完全に一致します。この関係はあらゆる分割表で成り立ちますが、それも検定が比率をプールしているからに他なりません。カイ二乗検定は、全体の成功率である p̂c をもとに期待度数を計算するからです。信頼区間の標準誤差を使った z、すなわち 0.08/0.0412 = 1.94 を2乗しても 3.76 にしかならず、何とも一致しません。自由度1のカイ二乗変数は標準正規変数の2乗ですから、p値も両者で等しく 0.0255 となります。2乗によって符号が消えてしまうため、2 × 2 分割表のカイ二乗検定は両側検定の問いにしか答えられません。カイ二乗検定のページで 2行2列の表にこの四つの度数を入力すれば、まったく同じ 4.993 という値が表示されます。

ワクチン試験の決め手は、43,448人の人数ではなく170件の発症数

ワクチン臨床試験（2020年）を押してみてください。ファイザー・ビオンテック製ワクチンの治験では、21,720人がワクチンを、21,728人がプラセボの接種を受け、追跡期間中のCOVID-19発症者は第1群で8人、第2群で162人でした（Polackら、2020年）。比率の差は1パーセントポイント未満ですが、z = −11.83 に達します。このように両群の規模がほぼ等しいとき、検定統計量は正確に z = (a − b)/√((a + b)(1 − p̂c)) と書き直せます。ここで a と b はそれぞれの発症者数です。稀な事象であれば最後の因子はほぼ 1 になるため、z ≈ (8 − 162)/√170 = −11.8 と近似できます。全体の人数が式から消えてしまいました。もし被験者が10倍いたとしても、発症数が同じ 8人と 162人なら z はほぼ変わりません。逆に同じ被験者数でも両群で 85人ずつ発症していたら、z = 0 になります（原著論文では既往歴のない参加者に対象を絞っているため人数はこれよりわずかに少ないのですが、同じ理由で z はほとんど動きません）。稀な疾患の試験に何万人もの参加者が必要なのは、十分な発症数を確保するにはそれだけの人数が要るからなのです。

学習の道すじ

統計学：データから比率へ

参考文献 (2)

Insight block 3 and the vaccine preset: 21,720 people received the BNT162b2 vaccine and 21,728 a placebo, and 8 cases of Covid-19 were counted in the first group against 162 in the second, at least 7 days after the second dose: Polack, F. P., Thomas, S. J., Kitchin, N. et al. (2020). Safety and efficacy of the BNT162b2 mRNA Covid-19 vaccine. New England Journal of Medicine, 383(27), 2603–2615.
Fisher's exact test, which the page prints beside the z-test: it conditions on both margins of the 2 × 2 table, so the count in one cell is hypergeometric, and a large-sample approximation is unnecessary when the exact distribution can be computed: Agresti, A. (1992). A survey of exact inference for contingency tables. Statistical Science, 7(1), 131–153.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

母比率の差の推測

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

群のサイズが等しいとき、踏み込めるのは信頼区間だけ 🖖

z² は同じ分割表のカイ二乗統計量に等しい 🖖

ワクチン試験の決め手は、43,448人の人数ではなく170件の発症数 🖖

群のサイズが等しいとき、踏み込めるのは信頼区間だけ

z² は同じ分割表のカイ二乗統計量に等しい

ワクチン試験の決め手は、43,448人の人数ではなく170件の発症数