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Calculadora de Decaimento Radioativo

Insira a quantidade inicial e a meia-vida para visualizar como uma amostra radioativa decai ao longo do tempo.

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O U-238 leva 14 passos até virar chumbo

Isótopos reais raramente decaem diretamente para algo estável — o U-238 passa por cerca de 14 decaimentos sucessivos (através de tório, rádio, radônio, polônio e outros) até finalmente atingir o Pb-206 estável, com meias-vidas que vão de bilhões de anos a microssegundos. Quando uma etapa intermediária tem vida muito mais curta que a de seu precursor, a cadeia atinge o equilíbrio secular: a atividade de cada isótopo filho se ajusta à taxa de decaimento do pai, razão pela qual uma única exponencial como a representada aqui ainda descreve com precisão o declínio do isótopo pai, mesmo que a cadeia completa tenha mais de uma dezena de etapas.

Átomos ao acaso, multidões previsíveis

Cada núcleo instável decai num instante que ninguém consegue prever — não há contagem regressiva no seu interior, apenas uma probabilidade fixa por segundo. Mas, com trilhões de átomos, esse acaso se equilibra na curva suave que você vê aqui. A meia-vida é simplesmente o tempo que uma amostra leva para perder metade de seus átomos, de modo que após 3 meias-vidas resta apenas (1/2)3 = 1/8, não importa quanto você tinha no início.

A 'constante' que não é bem constante

Os livros dizem que as taxas de decaimento ignoram temperatura, pressão e química — e, para os decaimentos alfa e beta, isso é quase perfeitamente verdadeiro. Mas isótopos que decaem por captura eletrônica, como o berílio-7, tomam emprestado um elétron do próprio átomo, de modo que seu ritmo depende da densidade eletrônica no núcleo. Químicos já alteraram a meia-vida do Be-7 (~53 dias) em cerca de 1% apenas mudando seu composto químico ou comprimindo-o sob pressão.

Problema resolvido na íntegra

  1. Uma amostra de Carbono-14 em repouso durante cinco meias-vidas de 5730 anos 5 passos

    O carbono-14 tem uma meia-vida de 5730 anos; uma amostra esteve guardada durante cinco delas. Determine o que resta e descubra onde esta exponencial suave deixa de descrever algo real.

    1. A constante de decaimento não é a meia-vida — é a probabilidade por ano de um qualquer núcleo decair, e as duas estão relacionadas por ln 2 porque esse é o fator que uma meia-vida remove.

      λ=ln⁡2t1/2=0.6931475730=1.21×10−4 yr−1\lambda=\frac{\ln2}{t_{1/2}}=\frac{0.693147}{5730}=1.21\times10^{-4}\ \mathrm{yr^{-1}}

    2. Cinco meias-vidas são cinco reduções para metade. A fração restante é uma potência de um meio, e a forma exponencial dá o mesmo número.

      NN0=(12)5=0.03125=3.125%\frac{N}{N_0}=\left(\tfrac12\right)^{5}=0.03125=3.125\%

    3. De mil núcleos, restam 31,25. E aí está o problema: um quarto de núcleo não existe, e a curva suave deixou discretamente de descrever a amostra.

      N=1000×0.03125=31.25N=1000\times0.03125=31.25

    4. O que realmente resta é um número aleatório com uma média próxima de 31. O decaimento é um processo de Poisson, pelo que a dispersão é a raiz quadrada da contagem — cerca de ±18% numa única medição, e não há forma de a eliminar por média sem mais amostra.

      σ=31=5.6⟹±18% on a single count\sigma=\sqrt{31}=5.6\quad\Longrightarrow\quad \pm18\%\ \text{on a single count}

    5. O tempo decorrido é de cinco meias-vidas, ou 28 650 anos. Duplicando esse tempo, resta apenas um núcleo em cada mil, razão pela qual a datação por radiocarbono se esgota por volta dos cinquenta mil anos — não porque a física mude, mas porque o sinal desce abaixo do que pode ser distinguido da contaminação.

      t=5×5730=28 650 yr;(12)10=0.098% at 57 300 yrt=5\times5730=28\,650\ \mathrm{yr};\qquad \left(\tfrac12\right)^{10}=0.098\%\ \text{at}\ 57\,300\ \mathrm{yr}

    Resposta

    A ferramenta apresenta λ = 1,21 × 10⁻⁴ por ano, 3,125% restantes, 31,25 núcleos e um tempo decorrido de 28 650 anos. Os passos 3 e 4 são o ponto em que uma resposta da física se transforma numa resposta de laboratório. O decaimento exponencial é uma média sobre uma população, e a sua precisão decorre do facto de a população ser astronomicamente grande — um grama de carbono contém cerca de 5 × 10²² átomos, pelo que as flutuações são invisíveis. Ao aplicar a mesma lei a apenas algumas dezenas de núcleos, o ruído passa a ser a resposta, sendo esta a razão pela qual um laboratório de datação indica uma incerteza em anos em vez de uma data exata.

    N(t)=N0e−λt: a smooth law over a countable populationN(t)=N_0e^{-\lambda t}:\ \text{a smooth law over a countable population}

Percurso de aprendizagem

Relógios na rocha

Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.