Explorador de curvas de Bézier

A cúbica na página tem os pontos de controlo P₀ = (50, 250), P₁ = (150, 50), P₂ = (350, 250), P₃ = (450, 50), num quadro de 500 × 300 com y medido para baixo. O painel apresenta o ponto da curva em t = 0,50. Mostre que este ponto é o único local onde a curva deixa de curvar num sentido e passa a curvar no outro.

1. Em t = 1/2, os quatro pesos de Bernstein são 1/8, 3/8, 3/8, 1/8, pelo que os dois pontos interiores pesam três vezes mais do que as extremidades. Toda a aritmética reduz-se a isto: x = (50 + 450 + 1050 + 450)/8 e y = (250 + 150 + 750 + 50)/8.

   $$\mathbf B(\tfrac12)=\tfrac18\left(P_0+3P_1+3P_2+P_3\right)=(250.0,\ 150.0)$$

2. A curvatura é dada pela segunda derivada, e derivar uma cúbica duas vezes resulta numa expressão linear em t. Cada um dos dois vetores a partir dos quais é construída é uma segunda diferença de três pontos de controlo consecutivos.

   $$\mathbf B''(t)=6\left[(1-t)(P_0-2P_1+P_2)+t(P_1-2P_2+P_3)\right]$$

3. Calcule-os. Revelam-se iguais e opostos — um facto sobre o polígono de controlo, disponível antes de qualquer curva ser desenhada.

   $$P_0-2P_1+P_2=(100,\ 400),\qquad P_1-2P_2+P_3=(-100,\ -400)$$

4. Assim, a segunda derivada tem uma direção fixa, (100, 400), escalada por 1 − 2t. Ambas as suas componentes atingem 0 em t = 1/2, e em nenhum outro t no intervalo.

   $$\mathbf B''(t)=6(1-2t)\,(100,\ 400)\quad\Longrightarrow\quad \mathbf B''(\tfrac12)=(0,\ 0)$$

5. Aceleração nula por si só não origina um ponto de inflexão; uma curva que para subitamente também a apresenta. Por isso, verifique a velocidade. É (450, 0): horizontal e categoricamente não nula, pelo que o ponto se desloca através da zona plana em vez de inverter a marcha nela.

   $$\mathbf B'(t)=\left(300(1+2t-2t^{2}),\ -600(1-2t)^{2}\right)\ \Longrightarrow\ \mathbf B'(\tfrac12)=(450,\ 0)$$

6. A curvatura tem o sinal de x′y″ − y′x″. Desenvolvendo os produtos, o parêntese simplifica-se — os dois termos dependentes de t cancelam-se dando a constante 3 — restando um numerador exatamente proporcional a 1 − 2t. Uma grandeza linear em t cruza o zero uma única vez, pelo que esta cúbica tem exatamente uma inflexão, que ocorre em t = 1/2.

   $$x'y''-y'x''=(1-2t)\left[720000(1+2t-2t^{2})+360000(1-2t)^{2}\right]=1.08\times10^{6}\,(1-2t)$$

O estado de cúspide usa P₀ = (100, 200), P₁ = (400, 50), P₂ = (100, 50), P₃ = (400, 200), e o painel apresenta B(0,50) = (250,0, 87,5). Ambas as coordenadas são polinómios em t, pelo que o movimento é diferenciável tantas vezes quantas se pretender. Mostre que a forma por ele traçada apresenta, ainda assim, um canto nesse ponto.

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1. Os mesmos pesos de qualquer cúbica no parâmetro médio: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. x = (100 + 1200 + 300 + 400)/8 e y = (200 + 150 + 150 + 200)/8.

   $$\mathbf B(\tfrac12)=\tfrac18\left(P_0+3P_1+3P_2+P_3\right)=(250.0,\ 87.5)$$

2. A derivada de uma Bézier cúbica é construída a partir das três arestas do polígono de controlo, ponderadas pela base quadrática de Bernstein. Derivar nunca necessita dos pontos em si, apenas dos passos entre eles.

   $$\mathbf B'(t)=3\left[(1-t)^{2}(P_1-P_0)+2(1-t)t\,(P_2-P_1)+t^{2}(P_3-P_2)\right]$$

3. Aqui, a aresta do meio aponta para trás. P₁ − P₀ e P₃ − P₂ empurram ambas para a direita, enquanto P₂ − P₁ empurra 300 para a esquerda — e a sua parte vertical é 0, pelo que não pode cancelar nada em y.

   $$P_1-P_0=(300,\ -150),\quad P_2-P_1=(-300,\ 0),\quad P_3-P_2=(300,\ 150)$$

4. Agrupando as componentes, ambas se reduzem a um único termo. A velocidade horizontal é um quadrado perfeito, pelo que nunca se torna negativa; a velocidade vertical é linear e muda de sinal. Ambas se anulam em t = 1/2, o que corresponde à paragem completa do ponto traçador.

   $$x'(t)=900(1-2t)^{2},\qquad y'(t)=450(2t-1)\ \Longrightarrow\ \mathbf B'(\tfrac12)=(0,\ 0)$$

5. Uma paragem não é automaticamente um canto — a direção poderia sobreviver à pausa. Calculando a razão, esta tende para 0 por ambos os lados, pelo que a tangente se coloca na vertical à chegada e na vertical à saída, com y′ a inverter o sinal ao passar por ela. A direção inverte-se em 180°.

   $$\frac{x'(t)}{y'(t)}=2(2t-1)\ \xrightarrow[\ t\to\frac12\ ]{}\ 0$$

6. Tal como sucede com a segunda derivada, a paragem é uma afirmação sobre o polígono. B′(1/2) resulta em três quartos de (P₂ + P₃) − (P₀ + P₁), que se anula exatamente quando o ponto médio da primeira aresta e o ponto médio da última aresta coincidem no mesmo ponto. Ambos são (250, 125).

   $$\mathbf B'(\tfrac12)=\tfrac34\left[(P_2+P_3)-(P_0+P_1)\right]=\tfrac34\left[(500,250)-(500,250)\right]$$