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Calculadora de números complexos

Introduz z₁ e z₂ e escolhe uma operação. Com partes inteiras de valor moderado, os resultados são apresentados na forma exata: o quociente em frações, o módulo com radicais e o argumento como múltiplo fracionário de π, quando possível.

Multiplicação i2=−1(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}&i^{2}=-1\\&(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
Divisão a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}
Módulo e argumento z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r=a2+b2,tan⁡θ=ba−180∘<θ≤180∘\begin{aligned}&z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad\tan\theta=\frac{b}{a}\\&-180^{\circ}<\theta\le180^{\circ}\end{aligned}
Produtos e quocientes ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\begin{aligned}&|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\\&\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}\end{aligned}
Fórmula de De Moivre [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
Raízes de índice n wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ⇒wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\\&w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}
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Lição

A teoria — Calculadora de números complexos

Um número complexo escreve-se z = a + bi, com a e b reais e i² = −1. A sua parte real é a e a sua parte imaginária é b. No plano de Argand, z representa-se pelo ponto (a, b).

De onde vem a fórmula

  1. Calcula pelas regras da álgebra e substitui i² por −1. Desenvolve os produtos como habitualmente. O termo com i² passa a fazer parte da parte real, com o sinal trocado.
    (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^{2}\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
  2. Usa o conjugado para dividir. O produto de c + di por c − di é c² + d², um número real. Ao multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, obtém-se um denominador real. Depois, divide-se cada parte separadamente.
    (c+di)(c−di)=c2+d2a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\begin{aligned}&(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}\\&\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}\end{aligned}
  3. Determina o módulo e o argumento. O módulo r é a distância a 0. O argumento θ é o ângulo medido a partir do semieixo real positivo, escolhido entre −180° e 180°. Quando a < 0, tan⁻¹(b/a) dá um ângulo do quadrante oposto; é preciso somar ou subtrair 180°.
    r=a2+b2,θ=tan⁡−1ba  (a>0)θ=tan⁡−1ba±180∘  (a<0)\begin{aligned}&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\ \ (a>0)\\&\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\pm180^{\circ}\ \ (a<0)\end{aligned}
  4. Multiplica na forma trigonométrica. Ao desenvolver o produto, surgem as fórmulas trigonométricas da adição: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Para n fatores iguais, obtém-se a fórmula de De Moivre.
    r1(cos⁡α+isin⁡α)⋅r2(cos⁡β+isin⁡β)=r1r2[(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)]=r1r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))⇒ [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=r_{1}r_{2}\big[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&\qquad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\big]\\&=r_{1}r_{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\\&\Rightarrow\ \left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&\qquad=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
  5. Usa a fórmula de De Moivre no sentido inverso para calcular raízes. A equação wⁿ = z determina o módulo de w como a raiz de índice n de r, mas permite acrescentar voltas completas ao argumento de z. Os ângulos θ, θ + 360°, θ + 720°, … representam todos z. Dividindo-os por n, obtêm-se n raízes distintas, separadas por ângulos de 360°/n.
    wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ)⇒ wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&\Rightarrow\ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}

Problemas resolvidos na íntegra

  1. Multiplicação 3 passos

    Escreve (4 − 3i)(2 + 5i) na forma a + bi.

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    1. Desenvolve o produto pela propriedade distributiva.

      (4−3i)(2+5i)=8+20i−6i−15i2(4-3i)(2+5i)=8+20i-6i-15i^{2}

    2. Substitui i² por −1. O último termo muda de sinal e soma-se à parte real.

      =8+15+14i=23+14i=8+15+14i=23+14i

    3. Basta uma linha para verificar: o módulo de um produto é igual ao produto dos módulos, pelo que 23² + 14² tem de ser igual a 5² × 29.

      232+142=529+196=725=52×2923^{2}+14^{2}=529+196=725=5^{2}\times29

    Resposta

    23 + 14i

    23+14i23+14i
  2. Divisão com o conjugado 4 passos

    Escreve (3 + 2i)/(1 + 2i) na forma a + bi.

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    1. Multiplica o numerador e o denominador por 1 − 2i, o conjugado do denominador.

      3+2i1+2i⋅1−2i1−2i\frac{3+2i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}

    2. O denominador fica igual a 1² + 2² = 5, um número real.

      (1+2i)(1−2i)=12+22=5(1+2i)(1-2i)=1^{2}+2^{2}=5

    3. Desenvolve o numerador e substitui i² por −1.

      (3+2i)(1−2i)=3−6i+2i−4i2=7−4i(3+2i)(1-2i)=3-6i+2i-4i^{2}=7-4i

    4. Divide cada parte por 5.

      7−4i5=75−45i\frac{7-4i}{5}=\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i

    Resposta

    7/5 − 4/5 i, ou 1,4 − 0,8i.

    75−45i\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i
  3. Um argumento no terceiro quadrante 4 passos

    Determina o módulo e o argumento de z = −2 − 2i. Usa-os para escrever z² na forma trigonométrica.

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    1. Calcula o módulo pelo teorema de Pitágoras.

      ∣z∣=(−2)2+(−2)2=8=22|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

    2. tan⁻¹ de (−2)/(−2) é 45°, um ângulo do primeiro quadrante. Como z fica abaixo e à esquerda de 0, no terceiro quadrante, subtrai 180°.

      tan⁡−1−2−2=45∘arg⁡z=45∘−180∘=−135∘=−3π4\begin{aligned}&\tan^{-1}\frac{-2}{-2}=45^{\circ}\\&\arg z=45^{\circ}-180^{\circ}=-135^{\circ}=-\frac{3\pi}{4}\end{aligned}

    3. Ao elevar ao quadrado, eleva-se o módulo ao quadrado e duplica-se o argumento. Como −270° está fora do intervalo de −180° a 180°, soma uma volta completa.

      ∣z2∣=(22)2=82arg⁡z=−270∘→−270∘+360∘=90∘\begin{aligned}&|z^{2}|=(2\sqrt2)^{2}=8\\&2\arg z=-270^{\circ}\to-270^{\circ}+360^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}

    4. O número com módulo 8 e argumento 90° é 8i, o que se confirma desenvolvendo (−2 − 2i)².

      z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i(−2−2i)2=4+8i+4i2=8i\begin{aligned}&z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i\\&(-2-2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=8i\end{aligned}

    Resposta

    |z| = 2√2, arg z = −135° = −3π/4; z² = 8(cos 90° + i sen 90°) = 8i.

    ∣z∣=22,arg⁡z=−3π4;z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i|z|=2\sqrt2,\quad\arg z=-\frac{3\pi}{4};\qquad z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i
  4. Multiplicação na forma trigonométrica 3 passos

    Sejam z = 1 + i e w = 2i. Escreve ambos na forma trigonométrica e calcula zw sem desenvolver o produto.

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    1. Determina o módulo e o argumento de cada número.

      z=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=2(cos⁡90∘+isin⁡90∘)\begin{aligned}&z=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})\\&w=2(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\end{aligned}

    2. Multiplica os módulos e soma os argumentos.

      zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)zw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})

    3. Regressa à forma a + bi, usando cos 135° = −√2/2 e sen 135° = √2/2.

      =22(−22+22i)=−2+2i=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=-2+2i

    Resposta

    zw = 2√2(cos 135° + i sen 135°) = −2 + 2i

    zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)=−2+2izw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})=-2+2i
  5. Uma potência de expoente elevado 3 passos

    Calcula (1 + i)⁸.

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    1. Desenvolver um produto com oito fatores seria demorado. Escreve 1 + i na forma trigonométrica.

      1+i=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)1+i=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})

    2. Pela fórmula de De Moivre, eleva o módulo a 8 e multiplica o argumento por 8.

      (1+i)8=(2)8(cos⁡360∘+isin⁡360∘)(1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}(\cos360^{\circ}+i\sin360^{\circ})

    3. (√2)⁸ = 2⁴ = 16, e 360° corresponde a uma volta completa.

      =16(1+0i)=16=16(1+0i)=16

    Resposta

    (1 + i)⁸ = 16

    (1+i)8=16(1+i)^{8}=16
  6. Raízes cúbicas 3 passos

    Resolve z³ = 8i, apresentando as raízes na forma a + bi.

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    1. Escreve 8i na forma trigonométrica.

      8i=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)8i=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})

    2. Calcula a raiz cúbica do módulo. Soma voltas completas ao argumento antes de o dividir por 3.

      zk=2(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=90∘+360∘k3,  k=0,1,2\begin{aligned}&z_{k}=2(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k})\\&\phi_{k}=\frac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{3},\ \ k=0,1,2\end{aligned}

    3. Para k = 0, 1, 2, obtêm-se 30°, 150° e 270°. Com k = 3, obteríamos 390°, equivalente a 30°.

      z0=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)=3+iz1=2(cos⁡150∘+isin⁡150∘)=−3+iz2=2(cos⁡270∘+isin⁡270∘)=−2i\begin{aligned}&z_{0}=2(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ})=\sqrt3+i\\&z_{1}=2(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})=-\sqrt3+i\\&z_{2}=2(\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ})=-2i\end{aligned}

    Resposta

    z = √3 + i, −√3 + i, −2i: três pontos separados por ângulos de 120° numa circunferência de raio 2.

    z=3+i,−3+i,−2iz=\sqrt3+i,\quad-\sqrt3+i,\quad-2i
  7. Raízes quadradas por comparação das partes 3 passos

    Determina as raízes quadradas de 5 + 12i.

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    1. Escreve (a + bi)² = 5 + 12i, com a e b reais, desenvolve o quadrado e iguala as partes reais e as partes imaginárias.

      (a+bi)2=a2−b2+2abia2−b2=5,2ab=12\begin{aligned}&(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi\\&a^{2}-b^{2}=5,\quad2ab=12\end{aligned}

    2. Igualando os módulos, obtém-se uma terceira equação que facilita a resolução do sistema.

      a2+b2=∣5+12i∣=52+122=13a^{2}+b^{2}=|5+12i|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13

    3. Somando e subtraindo as equações, obtêm-se a² = 9 e b² = 4. Como ab = 6 é positivo, a e b têm o mesmo sinal.

      2a2=18,  2b2=8 ⇒ (a,b)=(3,2), (−3,−2)2a^{2}=18,\ \ 2b^{2}=8\ \Rightarrow\ (a,b)=(3,2),\ (-3,-2)

    Resposta

    3 + 2i e −3 − 2i

    ±(3+2i)\pm(3+2i)
  8. Uma equação do segundo grau com raízes complexas 3 passos

    Resolve z² − 4z + 13 = 0 e verifica que a soma das raízes é 4 e o produto é 13.

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    1. O discriminante é negativo e as suas raízes quadradas são imaginárias puras.

      b2−4ac=16−52=−36,−36=6ib^{2}-4ac=16-52=-36,\qquad\sqrt{-36}=6i

    2. Aplica a fórmula resolvente.

      z=4±6i2=2±3iz=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i

    3. Como os coeficientes são reais, as raízes complexas são conjugadas. Na soma, as partes imaginárias anulam-se; o produto é |2 + 3i|².

      (2+3i)+(2−3i)=4,(2+3i)(2−3i)=4+9=13(2+3i)+(2-3i)=4,\qquad(2+3i)(2-3i)=4+9=13

    Resposta

    z = 2 ± 3i

    z=2±3iz=2\pm3i
  9. Multiplicar 3 + 2i pelo seu conjugado para provar um produto 5 passos

    Multiplique 3 + 2i pelo seu conjugado e, em seguida, transforme o resultado numa demonstração de que o produto de duas somas de dois quadrados é também uma soma de dois quadrados. Trata-se de Multiplicar com z₁ = 3 + 2i e z₂ = 3 − 2i.

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    1. Os dois termos cruzados são iguais e opostos, pelo que se anulam. O que resta é o −b²i², que muda de sinal e passa a somar em vez de subtrair — assim, o produto de um par conjugado resulta sempre num número real, e esse número é obtido elevando ao quadrado.

      (a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2⟹(3+2i)(3−2i)=9+4=13(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\Longrightarrow\quad(3+2i)(3-2i)=9+4=13

    2. Esse número real já tem um nome. O módulo é a distância à origem, pelo que |z|² é a² + b² por Pitágoras, e o valor de 3,606 do painel é √13 arredondado por excesso na terceira casa decimal.

      ∣z∣=a2+b2=13=3.605551,zzˉ=∣z∣2=13|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}=3.605551,\qquad z\bar z=|z|^{2}=13

    3. Vejamos agora o produto geral de dois números complexos, onde i² = −1 envia um termo para junto da parte real. Ainda não surgem módulos aqui.

      (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    4. Aplique o passo 1 a esse produto. Um segundo par de termos cruzados, −2abcd e +2abcd, anula-se no desenvolvimento, e os quatro termos que sobrevivem fatorizam-se em dois parêntesis. Qualquer letra pode ser um número inteiro, se assim o desejar, e nada na última linha menciona i.

      (ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(a2+b2)(c2+d2)(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})

    5. Assim, um par de pares de inteiros produz um terceiro. 3 + 2i conduz a 13 e 1 + 2i conduz a 5; o seu produto conduz a 65. Conjugando o segundo fator, este é refletido através do eixo real e fornece um par diferente com a mesma soma.

      (3+2i)(1+2i)=−1+8i: 12+82=65=13×5;(3+2i)(1−2i)=7−4i: 72+42=65(3+2i)(1+2i)=-1+8i:\ 1^{2}+8^{2}=65=13\times5;\qquad(3+2i)(1-2i)=7-4i:\ 7^{2}+4^{2}=65

    Resposta

    O painel apresenta o produto pelo conjugado como 13 e o módulo como 3,606, e 3,606² = 13,003 resulta do arredondamento e não de uma discrepância. O que vale a pena reter é que a identidade subsiste mesmo apagando os números complexos: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² é uma afirmação sobre quatro números inteiros sem qualquer i restante. Diofanto registou este mesmo número no século III — 65 decompõe-se em 1 + 64 e em 16 + 49, notou ele, por ser 13 × 5 e cada fator ser, por sua vez, uma soma de dois quadrados — cerca de treze séculos antes de Cardano ter escrito pela primeira vez a raiz quadrada de um número negativo. Dois fatores primos, duas representações: o 13 sozinho tem apenas 9 + 4, e o 5 sozinho tem apenas 1 + 4. A multiplicação complexa é a máquina que fabrica a segunda representação, e o conjugado é a alavanca que alterna entre elas.

    (a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}

Problemas suplementares, só com a resposta

  1. Escreve (2 − i)(3 + 4i) na forma a + bi.

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    10 + 5i

    10+5i10+5i

  2. Escreve (1 + 3i)/(2 − i) na forma a + bi.

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    −1/5 + 7/5 i

    −15+75i-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i

  3. Determina o módulo e o argumento de −√3 + i.

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    2 e 150° = 5π/6

    2,150∘=5π62,\quad150^{\circ}=\frac{5\pi}{6}

  4. Calcula (√3 + i)⁶.

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    −64

    −64-64

  5. Resolve z³ = −8.

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    z = 1 + √3 i, −2, 1 − √3 i

    1+3 i,−2,1−3 i1+\sqrt3\,i,\quad-2,\quad1-\sqrt3\,i

  6. Determina as raízes quadradas de −3 + 4i.

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    1 + 2i e −1 − 2i

    ±(1+2i)\pm(1+2i)

  7. Resolve z² − 2z + 5 = 0.

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    z = 1 ± 2i

    z=1±2iz=1\pm2i

Imaginários nascidos para achar respostas reais

Os números complexos não foram inventados para resolver x² + 1 = 0 — ninguém perdia o sono com isso. Foram impostos pelas equações cúbicas. A fórmula de Cardano de 1545 para x³ = px + q às vezes passa por raízes quadradas de números negativos, mesmo quando as três soluções são números reais comuns. Em 1572, Bombelli mostrou que essas quantidades "impossíveis" se cancelam e dão as respostas reais corretas. O imaginário foi um desvio até o real.

Percurso de aprendizagem

Para além da quadrática

Referências (1)
  • Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.