Visualizador de transformações matriciais

Insira uma matriz 2×2 e veja como ela transforma o plano de coordenadas.

Exemplo resolvido — Visualizador de transformações matriciais

det(A)	1.0000
tr(A)	2.0000
Autovalores	1.000, 1.000
Escala de área	1.0000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um determinante nulo destrói informação

O determinante não é só um fator de escala de áreas — seu valor também diz se a transformação pode ser desfeita. Negativo significa que o plano foi virado, então uma figura traçada no sentido horário sai no anti-horário. Zero significa que o plano inteiro foi esmagado sobre uma única reta, e isso é fatal: inúmeros pontos de partida diferentes passam a ocupar o mesmo destino, então nenhuma regra poderia devolvê-los de onde vieram. É exatamente por isso que uma matriz com determinante 0 não tem inversa. Esmagar é a única coisa que uma aplicação linear pode fazer e que não se pode reverter.

As colunas dizem tudo

Uma matriz 2×2 é, na verdade, apenas uma instrução para duas setas. A primeira coluna mostra para onde vai a seta (1, 0) e a segunda para onde vai (0, 1). Como as retas continuam retas e a grade permanece uniforme, esses dois destinos determinam para onde vai qualquer outro ponto. Para prever uma transformação, basta ler as suas colunas.

As rotações não têm direção favorita

Esticamentos e cisalhamentos mantêm pelo menos uma reta apontando na direção original — um vetor próprio. Já uma rotação pura inclina todas as direções e não tem nenhum vetor próprio real; seus valores próprios são o par complexo cos θ ± i·sin θ. Esse é exatamente o e^iθ que multiplica números complexos: girar o plano e multiplicar por um número complexo de módulo 1 são a mesma operação.

APLICAÇÕES LINEARES — LER UMA MATRIZ 2×2 ANTES DE MULTIPLICAR

O que esta matriz faz com o plano?

Toda matriz 2×2 move o plano inteiro de uma vez, e suas colunas dizem como: a primeira coluna é onde (1, 0) aterrissa, a segunda é onde (0, 1) aterrissa. O determinante então relata o que aconteceu com a área e a orientação, e os autovetores nomeiam as direções que saem apontando como entraram. Cinco padrões cobrem quase tudo o que você vai receber.

Rotação — toda direção gira, nada estica [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Escala — cada eixo esticado pelo seu próprio fator [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Cisalhamento — uma reta fica parada e o resto desliza [1 k; 0 1], det = 1

Reflexão — o plano é virado sobre uma reta espelho det = −1

Singular — o plano é achatado sobre uma reta det = 0

Rotação — toda direção gira, nada estica

O que você sabe: As colunas são vetores unitários perpendiculares, e a segunda é a primeira girada um quarto de volta no sentido anti-horário. det = +1, então área e orientação ficam intactas.

Matriz: [cosθ −sinθ; sinθ cosθ]

Exemplo resolvido: θ = 45° → [0,707 −0,707; 0,707 0,707] → (1, 0) aterrissa em (0,707, 0,707) e todos os comprimentos se mantêm

Abrir este caso: Rotacionar 45°

Rotação — toda direção gira, nada estica. O quadrado unitário mantém tamanho e forma e chega inclinado 45°. As colunas são vetores unitários perpendiculares, e a segunda é a primeira girada um quarto de volta no sentido anti-horário. det = +1, então área e orientação ficam intactas. — O quadrado unitário mantém tamanho e forma e chega inclinado 45°.

Escala — cada eixo esticado pelo seu próprio fator

O que você sabe: A matriz é diagonal: os dois termos fora da diagonal são zero. Cada eixo é multiplicado pelo seu número, e det = k₁·k₂ é o fator de área.

Matriz: [k₁ 0; 0 k₂], det = k₁k₂

Exemplo resolvido: [2 0; 0 0,5] → x dobra e y cai pela metade → det = 2 × 0,5 = 1, então a área não muda embora a forma mude

Abrir este caso: Escala

Escala — cada eixo esticado pelo seu próprio fator. O quadrado vira retângulo: o dobro de largura, metade da altura, mesma área. A matriz é diagonal: os dois termos fora da diagonal são zero. Cada eixo é multiplicado pelo seu número, e det = k₁·k₂ é o fator de área. — O quadrado vira retângulo: o dobro de largura, metade da altura, mesma área.

Cisalhamento — uma reta fica parada e o resto desliza

O que você sabe: Os dois termos da diagonal valem 1 e exatamente um termo fora dela é diferente de zero. det = 1, então a área sobrevive, mas nada aqui é rígido.

Matriz: [1 k; 0 1], det = 1

Exemplo resolvido: [1 1; 0 1] → (1, 0) fica no lugar e (0, 1) desliza para (1, 1) → o quadrado se inclina num paralelogramo de mesma área

Abrir este caso: Cisalhamento

Cisalhamento — uma reta fica parada e o resto desliza. Base fixa, topo deslocado: mesma base, mesma altura, portanto mesma área. Os dois termos da diagonal valem 1 e exatamente um termo fora dela é diferente de zero. det = 1, então a área sobrevive, mas nada aqui é rígido. — Base fixa, topo deslocado: mesma base, mesma altura, portanto mesma área.

Reflexão — o plano é virado sobre uma reta espelho

O que você sabe: det = −1. O tamanho, 1, diz que a área é preservada; o sinal de menos diz que a orientação é invertida.

Matriz: det = −1

Exemplo resolvido: [−1 0; 0 1] → (1, 0) vira (−1, 0) e (0, 1) fica → todo ponto é espelhado em relação ao eixo y

Abrir este caso: Refletir

Reflexão — o plano é virado sobre uma reta espelho. O quadrado cai do outro lado do espelho, com os vértices em ordem invertida. det = −1. O tamanho, 1, diz que a área é preservada; o sinal de menos diz que a orientação é invertida. — O quadrado cai do outro lado do espelho, com os vértices em ordem invertida.

Singular — o plano é achatado sobre uma reta

O que você sabe: det = 0: as duas colunas são múltiplas uma da outra, então apontam ao longo de uma única reta. A matriz não tem inversa.

Matriz: det = 0

Exemplo resolvido: [1 2; 0,5 1] → det = 1·1 − 2·0,5 = 0 → o plano inteiro cai na reta y = x/2, e a direção (2, −1) é esmagada na origem

Abrir este caso: Singular

Singular — o plano é achatado sobre uma reta. Não sobra área ao quadrado: cada ponto está numa reta que passa pela origem. det = 0: as duas colunas são múltiplas uma da outra, então apontam ao longo de uma única reta. A matriz não tem inversa. — Não sobra área ao quadrado: cada ponto está numa reta que passa pela origem.

Problema resolvido na íntegra

A matriz identidade e um cisalhamento com valores próprios idênticos 5 passos
A matriz identidade e um cisalhamento apresentam o mesmo determinante, o mesmo traço e o mesmo par de valores próprios. As quatro linhas acima são idênticas para ambos. Prove que as matrizes são, ainda assim, diferentes — utilizando o mesmo mecanismo de valores próprios que acabou de falhar em separá-las.
1. Ambos têm determinante 1 e traço 2. Para a identidade isso é óbvio. Para o cisalhamento isso diz algo real: deslizar o plano lateralmente em proporção à altura preserva todas as áreas, e é por isso que o paralelogramo na imagem muda de forma sem mudar de tamanho.
  
  $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}:\qquad \det=1,\quad \operatorname{tr}=2$
2. O polinómio característico é construído precisamente a partir desses dois números, pelo que também não os consegue separar. Ambos dão (λ − 1)², uma raiz dupla em 1. Duas matrizes diferentes, um único espetro.
  
  $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2\ \Longrightarrow\ \lambda=1,\,1$
3. Os valores próprios são onde a maioria dos cursos para. Os vetores próprios são onde estes dois se separam. Para a identidade, A − λI é a matriz nula, pelo que a equação é satisfeita por todos os vetores no plano.
  
  $(I-\lambda I)v=0:\quad 0\,v=0\ \text{for every}\ v\ \Longrightarrow\ \ker=\mathbb{R}^2$
4. Para o cisalhamento, A − λI tem apenas uma entrada sobrevivente e força y = 0. Apenas o eixo horizontal é fixo — uma linha, não um plano.
  
  $(S-\lambda I)v=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\0\end{pmatrix}=0\ \Longrightarrow\ y=0$
5. Essa diferença tem um nome e uma consequência. O valor próprio do cisalhamento tem multiplicidade algébrica 2 mas multiplicidade geométrica 1, o que torna a matriz defeituosa: não existe uma base de vetores próprios, pelo que não pode ser diagonalizada. As suas potências crescem linearmente enquanto as da identidade permanecem imóveis.
  
  $\dim\ker(I-\lambda I)=2\ \ne\ \dim\ker(S-\lambda I)=1,\qquad S^{\,n}=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$
Resposta

Todos os valores apresentados pela ferramenta — det = 1,0000, tr = 2,0000, λ = 1,000, 1,000 — são partilhados por ambas as matrizes. Defina b como 1 e observe a leitura recusar-se a mover enquanto a grelha desliza visivelmente. Os invariantes não são incompletos por acidente: o determinante e o traço são dois números e uma matriz 2×2 tem quatro, pelo que dois graus de liberdade têm de desaparecer em algum lugar. O que eles não conseguem ver é a dimensão do espaço próprio, 2 contra 1 — e é exatamente isso que decide se Aⁿ permanece no lugar ou cresce sem limite. É por isso que "encontrar os valores próprios" nunca é a instrução completa.

$\det,\ \operatorname{tr},\ \lambda\ \text{all agree};\quad \dim\ker(A-\lambda I)=2\ \text{vs}\ 1\ \text{does not}$

Percurso de aprendizagem

Matrizes que movem coisas

Referências (1)

The memoir that made a matrix an object with an algebra of its own, rather than a way of writing a system down: A. Cayley, "A memoir on the theory of matrices." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 148, 17–37, 1858.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.