Sistemas de Equações

Altere um coeficiente qualquer e observe o movimento das retas. A solução é o ponto onde se cruzam. O determinante abaixo informa, antes mesmo da resolução, se existe uma única interseção.

Uma única solução quando	$D=a_1b_2-a_2b_1\neq0$
A solução	$x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{D},\qquad y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{D}$

Exemplo resolvido — Sistemas de Equações

Solução	2
Determinante	−3
Ângulo entre as retas	71,565°
Variação da resposta	1,41 por unidade de a₁

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Sistemas de Equações267 palavras

Duas equações lineares a duas incógnitas descrevem duas retas. Resolver este sistema consiste em descobrir onde essas retas se cruzam. Saber até que ponto essa interseção está bem determinada é uma questão independente da sua existência, e tem o seu próprio número para o medir.

O que significa cada símbolo

Δ: o determinante a₁b₂ − a₂b₁. Zero significa retas paralelas. Um valor não nulo significa exatamente um cruzamento.
κ: o número de condição. Avalia o quanto a resposta se pode deslocar face a uma perturbação nos coeficientes. Ao contrário do que acontece com o Δ, não se altera se multiplicarmos toda uma equação por dez.

Pressupõe: Que os coeficientes sejam exatos. Se forem obtidos através de medições, o ponto de cruzamento herda essa incerteza e multiplica-a.
Falha quando: O determinante indica se existe uma solução. Não revela até que ponto podemos confiar nela, nem o conseguiria fazer, porque multiplicar uma equação por 10 escala o Δ por 10 sem mudar qualquer aspeto da geometria. O número de condição cumpre a função de que o Δ é incapaz. Na predefinição Quase paralelas desta página, o seu valor é 312, e o significado traduz-se numa permissão: um erro relativo de 0,1% em qualquer um dos quatro coeficientes pode chegar a cerca de 31% no ponto de cruzamento. É uma margem que ninguém aceitaria na construção de uma ponte. Contudo, é totalmente invisível no determinante, na álgebra e na própria resposta. A etapa seguinte volta a cruzar-se com esta mesma grandeza em sistemas com mais linhas, servindo para decidir se sequer vale a pena efetuar a aritmética.

Problemas resolvidos na íntegra

Dois cafés e um bolo a custar 8 quando o café custa mais 1 7 passos
Dois cafés e um bolo custam 8. Um café menos um bolo é 1 (o café custa 1 a mais que o bolo). Qual o preço de cada um, e até que ponto confiaria no resultado se os valores tivessem sido lidos de um recibo apagado?

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1. Escreva as duas premissas usando as mesmas incógnitas. Definir corretamente estas duas retas é a modelagem. Tudo o que vem depois é mecânico.
  
  $2x + y = 8, \qquad x - y = 1$
2. Verifique o determinante antes de resolver. Não é zero. Logo, existe exatamente uma resposta e vale a pena procurá-la.
  
  $D = (2)(-1) - (1)(1) = -3 \neq 0$
3. Elimine y. Multiplique a segunda equação por 1 e some, ou equivalentemente, multiplique a primeira por −1 e subtraia. Os termos em y foram estruturados para se anularem.
  
  $(2x + y) + (x - y) = 8 + 1 \;\Rightarrow\; 3x = 9$
4. Três para o café. Substitua este valor em qualquer uma das equações para descobrir o bolo. Use a OUTRA equação para verificar. Substituir na mesma que acabou de usar não prova nada.
  
  $x = 3 \;\Rightarrow\; y = 2 \;\Rightarrow\; 2(3) + 2 = 8 \;\checkmark$
5. Analisemos agora o recibo. Suponha que a segunda equação foi mal transcrita e o coeficiente do bolo passa de −1 para 0,49. O determinante cai de −3 para −0,02.
  
  $D = (2)(0.49) - (1)(1) = -0.02$
6. A resposta continua a ser única, deslocando-se para (−146, 300): um café a custar −146. A álgebra não reclamou. Nem tinha como fazê-lo.
  
  $(x, y) = (-146, 300)$
7. Aqui a questão deixa de ser álgebra. Um preço negativo é a aritmética a avisar que o modelo está errado, não o café. A ferramenta exibirá o valor sem hesitar. O determinante avisa silenciosamente primeiro. Nada no método sabe que preços não podem ser negativos.
  
  $x < 0 \;\Rightarrow\; x \notin [0, \infty)$
Resposta

Café 3, bolo 2. O determinante é −3, indicando uma interseção, e as equações originais verificam-se. Desvie um coeficiente em direção ao paralelismo e o mesmo método devolve −146 sem pestanejar. Eis a razão pela qual vale a pena ler o determinante antes da resposta, e não depois.
Duas retas paralelas, e quão perto ficam de ter solução 6 passos
2x + y = 8 e 4x + 2y = 10. O determinante é 0, o que não diz qual dos dois veredictos de determinante nulo se aplica. Determine qual deles é e decida depois quão perto o sistema fica de ser resolúvel.

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1. O determinante é zero, portanto não há uma interseção única. Não consegue dizer mais do que isso: paralelas e distintas, ou a mesma reta escrita duas vezes, dão ambas zero.
  
  $D = (2)(2) - (4)(1) = 0$
2. Elimine mesmo assim e a resposta aparece. Multiplique a primeira equação por 2 para a igualar à segunda, subtraia, e o que resta não tem incógnitas nenhumas. Os passos por baixo do gráfico apresentam-no como 0x + 0y = 6, e 0 não é 6.
  
  $4x + 2y = 16, \qquad 4x + 2y = 10 \;\Longrightarrow\; 0x + 0y = 6$
3. As razões dizem o mesmo sem qualquer cálculo. Os dois primeiros membros estão na razão 1 : 2 e as duas constantes não estão, pelo que as retas partilham a direção e diferem na posição.
  
  $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \;\neq\; \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{10}$
4. A que distância? Divida a segunda equação por 2 e ambas as retas passam a ter o mesmo primeiro membro, pelo que o afastamento é uma diferença de constantes a dividir pelo comprimento do par de coeficientes.
  
  $2x + y = 8, \quad 2x + y = 5: \qquad d = \frac{|8-5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt5} = 1.342$
5. O que levanta a questão diante da qual a ferramenta para. Se nenhum ponto satisfaz as duas, qual é o que chega mais perto? Minimize em conjunto os dois resíduos ao quadrado. Escrevendo u para 2x + y, o segundo resíduo é o dobro do primeiro para qualquer u, portanto pesa quatro vezes mais, e o mínimo cai em u = 5,6 e não a meio caminho, em 6,5.
  
  $u = 2x+y: \quad \min_u\ (u-8)^{2} + 4(u-5)^{2} \;\Longrightarrow\; 10u = 56 \;\Longrightarrow\; u = 5.6$
6. Isto é um aviso sobre os mínimos quadrados e não sobre estas duas retas. A resposta deslocou-se porque a segunda equação foi escrita com números maiores, e não por ser melhor evidência. Normalize cada equação para que o seu par de coeficientes tenha comprimento 1 e o ponto mais próximo fica exatamente a meio caminho, a 0,671 de cada reta.
  
  $\frac{2x+y}{\sqrt5} = \frac{8}{\sqrt5},\ \frac{5}{\sqrt5} \;\Longrightarrow\; u = 6.5, \qquad \tfrac{1}{2}(1.342) = 0.671$
Resposta

Sem solução, e as duas retas distam 1,342. O determinante diz que a interseção desapareceu; as constantes dizem por qual dos dois caminhos. O ponto que mais se aproxima de ambas depende de como as equações foram escritas: tal como estão, os mínimos quadrados caem em 2x + y = 5,6, e só depois de ambas serem normalizadas é que assentam a meio caminho, em 6,5.

$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = \frac{3}{\sqrt5} = 1.342$
Substituição 4 passos
Resolve o sistema y = 2x − 1 e 3x + 2y = 12.

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1. Na primeira equação, y já está isolado. Substitui y por 2x − 1 na segunda.
  
  $y=2x-1:\qquad3x+2(2x-1)=12$
2. Desenvolve e resolve: 3x + 4x − 2 = 12, logo 7x = 14.
  
  $7x-2=12\ \Rightarrow\ x=2$
3. Substitui x por 2 em y = 2x − 1.
  
  $y=2(2)-1=3$
4. Verifica o resultado na outra equação.
  
  $3(2)+2(3)=12\ \checkmark$
Resposta

x = 2, y = 3. Na página, a primeira equação aparece na forma 2x − y = 1, que representa a mesma reta.

$x=2,\quad y=3$
Infinitas soluções 3 passos
Resolve o sistema 2x + 4y = 6 e x + 2y = 3.

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1. O determinante é 0, pelo que o sistema não tem solução ou tem uma infinidade de soluções.
  
  $D=(2)(2)-(1)(4)=0$
2. Divide ambos os membros da primeira equação por 2: obténs a segunda equação.
  
  $2x+4y=6\;\Big|\;\div2\quad\Longrightarrow\quad x+2y=3$
3. Assim, qualquer ponto da reta x + 2y = 3 satisfaz ambas as equações. Escolhe um valor qualquer para y e calcula x = 3 − 2y.
  
  $x=3-2y:\qquad(3,0),\ (1,1),\ (-1,2)$
Resposta

Infinitas soluções: todos os pontos da forma (3 − 2t, t). Compara com o problema 2: os primeiros membros eram proporcionais, mas os segundos não, pelo que o sistema não tinha solução.

$(x,y)=(3-2t,\ t),\quad t\in\mathbb{R}$
Do enunciado às equações 4 passos
Uma escola vende 20 bilhetes por um total de 133. Os bilhetes para adultos custam 8 e os bilhetes para crianças custam 5. Quantos bilhetes de cada tipo foram vendidos?

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1. Representa por a o número de bilhetes para adultos e por c o número de bilhetes para crianças. Uma equação traduz o total de bilhetes; a outra, o total recebido.
  
  $a+c=20,\qquad8a+5c=133$
2. Multiplica a primeira equação por 5 para que c tenha o mesmo coeficiente nas duas equações.
  
  $5a+5c=100$
3. Subtrai a equação obtida à segunda: o termo em c elimina-se e fica 3a = 33.
  
  $3a=33\ \Rightarrow\ a=11$
4. Depois, c = 20 − 11 = 9. Confirma que o total recebido está certo.
  
  $c=9,\qquad88+45=133\ \checkmark$
Resposta

11 bilhetes para adultos e 9 bilhetes para crianças.

$a=11,\quad c=9$

Problemas suplementares, só com a resposta

Resolve o sistema x + y = 10 e x − y = 4.

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x = 7, y = 3. Somando as duas equações, obtém-se 2x = 14.

$x=7,\quad y=3$
Resolve o sistema 3x + 2y = 16 e 2x − y = 6.

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x = 4, y = 2.

$x=4,\quad y=2$
Resolve o sistema 4x − 6y = 2 e 2x − 3y = 5.

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Não há solução. Multiplicando ambos os membros da segunda equação por 2, obtém-se 4x − 6y = 10. A mesma expressão teria de ser igual a 2 e a 10.

$4x-6y=2,\quad4x-6y=10\ \Rightarrow\ 0=8$
Resolve o sistema y = 3x − 5 e 2x + y = 15.

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x = 4, y = 7.

$x=4,\quad y=7$
A soma de dois números é 50 e a diferença entre eles é 14. Quais são os números?

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32 e 18.

$32,\quad18$

Um único número decide se sequer existe uma interseção

Antes de tentar resolver, calcule a₁b₂ − a₂b₁. Se não for zero, as retas cruzam-se exatamente uma vez e existe uma solução única. Se for zero, são paralelas. A partir daí, apenas os termos independentes decidem se isso significa nenhuma solução ou todos os pontos da reta. Experimente as três predefinições e observe o determinante: −3, depois 0 e novamente 0, agora com um veredicto diferente. É este o mesmo determinante que rege as ferramentas matriciais mais à frente no site: a mesma questão sobre se duas direções são genuinamente distintas, formulada no cenário mais elementar em que pode ser colocada.

Um determinante pequeno não é um problema pequeno

Selecione Quase paralelas. O determinante é −0,02. Existe uma interseção que a álgebra encontra sem reclamar: (−146, 300). Observe agora o indicador de sensibilidade. Ajustar a₁ em 0,01 arrasta essa interseção cerca de 108, o que equivale a uma taxa de 10.767 por unidade. Não existe nenhum erro na aritmética. O problema é que a resposta depende dos coeficientes muito mais do que eles justificam. Se proviessem de medições, o resultado não significaria quase nada. Duas retas que se encontram num ângulo raso geram um ponto de interseção perfeitamente definido e perfeitamente inútil. Nenhum passo da resolução revela isso. Só o determinante o faz.

A eliminação é um movimento válido aplicado duas vezes

Os passos abaixo do gráfico nunca introduzem nada de novo. Multiplicar toda uma equação por um número preserva todas as soluções, pois é possível reverter a operação dividindo. Subtrair uma equação a outra também preserva as soluções, dado que qualquer par de valores que satisfaça ambas irá satisfazer a diferença. O método resume-se a isto. Aquilo que lhe confere um ar de técnica reside em escolher multiplicadores capazes de anular uma das incógnitas. Essa escolha baseia-se em aritmética pura e não em qualquer intuição: multiplicando a primeira linha por b₂ e a segunda por b₁, os termos em y tornam-se idênticos por construção. Estes mesmos dois movimentos aplicados a três incógnitas constituem a eliminação de Gauss. Quando aplicados a n incógnitas, representam exatamente o que qualquer algoritmo de resolução linear no mundo continua a fazer hoje.

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Referências (1)

The paper that named the quantity, and worked out what it costs you: A. M. Turing, "Rounding-off Errors in Matrix Processes." The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1:1 (1948), 287–308.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.