Teorema do Valor Médio

Indique f e o intervalo. A corda a tracejado une as duas extremidades; arraste c ao longo da curva, ou através do cursor, até a tangente ficar paralela a ela. O painel inferior representa f′ em confronto com o declive m da corda, pelo que cada c surge precisamente onde ambas se cruzam.

Teorema do valor médio	$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<c<b$
Teorema de Rolle	$f(a)=f(b)\ \Rightarrow\ f'(c)=0,\qquad a<c<b$

Exemplo resolvido — Teorema do Valor Médio

f na extremidade esquerda	1
f na extremidade direita	9
Declive da corda, m	4
Contínua em [a, b], diferenciável em (a, b)	Ambas se verificam
O seu c	1,6
Declive da tangente no seu c	3,2

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Teorema do Valor Médio

O teorema do valor médio: se f for contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), então existe pelo menos um valor c estritamente entre a e b no qual a reta tangente é paralela à corda, f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). O teorema de Rolle é o caso particular em que f(a) = f(b), no qual f′(c) = 0.

De onde vem a fórmula

Verifique as hipóteses. A função f não pode ter qualquer descontinuidade em [a, b], extremidades incluídas, e deve admitir derivada em todos os pontos do interior. Polinómios, eˣ, sen e cos cumprem as condições em qualquer intervalo; desconfie de divisões por zero, raízes de números negativos ou pontos angulosos como |x|.
$\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\quad(a\le x_0\le b)\\&f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(a<x<b)\end{aligned}$
Calcule o declive da corda. O valor m é a variação vertical de f(a) a f(b) a dividir pela variação horizontal de a a b, representada pelo segmento tracejado na figura.
$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Por que motivo existe um c. A distância vertical g entre a curva e a corda anula-se em ambas as extremidades. Toda a função contínua num intervalo fechado atinge um máximo e um mínimo; caso g não seja identicamente nula, um desses extremos ocorre no interior, onde a curva mais se afasta da corda, e aí temos g′ = 0. Isso traduz-se em f′(c) = m. Na figura, é o ponto onde a tangente corre paralela à corda.
$\begin{aligned}&g(x)=f(x)-f(a)-m\,(x-a)\\&g(a)=g(b)=0\\&\Rightarrow\ g'(c)=f'(c)-m=0\end{aligned}$
Resolva f′(c) = m e conserve apenas as soluções estritamente entre a e b. Qualquer solução exterior ao intervalo ou situada numa extremidade é descartada.
$f'(c)=m,\qquad a<c<b$

Problemas resolvidos na íntegra

Determinar c e rejeitar a raiz exterior 2 passos
Mostre que f(x) = x³ satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio em [0, 3] e determine todos os valores de c garantidos pelo teorema.

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1. Como f é uma função polinomial, é contínua e diferenciável em toda a reta. O declive da corda:
  
  $m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9$
2. Resolvemos f′(c) = m:
  
  $3c^{2}=9\ \Rightarrow\ c=\pm\sqrt{3}$
Resposta

c = √3 ≈ 1,7321. A raiz −√3 também satisfaz 3c² = 9, mas situa-se fora de (0, 3).

$c=\sqrt{3}\approx1{.}7321$
Teorema de Rolle: extremidades iguais 2 passos
Verifique o teorema de Rolle para f(x) = sen x + cos x em [0, π/2].

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1. As funções seno e cosseno são contínuas e diferenciáveis em toda a parte. Nas extremidades:
  
  $\begin{aligned}&f(0)=0+1=1\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1\end{aligned}$
2. A corda é horizontal e existe um c com f′(c) = 0:
  
  $\begin{aligned}&\cos c-\sin c=0\\&\Rightarrow\ \tan c=1\ \Rightarrow\ c=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$
Resposta

c = π/4 ≈ 0,7854, no vértice do arco.

$c=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
Dois valores para c 2 passos
Determine todos os valores de c garantidos pelo teorema do valor médio para f(x) = x³ − 3x em [−2, 2].

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1. Sendo um polinómio, ambas as hipóteses se verificam. O declive da corda:
  
  $m=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1$
2. Resolvemos f′(c) = m:
  
  $3c^{2}-3=1\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$
Resposta

c = −2/√3 ≈ −1,1547 e c = 2/√3 ≈ 1,1547. Ambos pertencem a (−2, 2); o «pelo menos um» do teorema concretiza-se aqui em dois.

$c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1{.}1547$
Exponencial: c através de um logaritmo 2 passos
Determine o valor de c fornecido pelo teorema do valor médio para f(x) = eˣ em [0, 1].

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1. A função eˣ é contínua e diferenciável em toda a parte. O declive da corda:
  
  $m=\frac{e^{1}-e^{0}}{1-0}=e-1$
2. Resolvemos f′(c) = eᶜ = m aplicando logaritmos:
  
  $e^{c}=e-1\ \Rightarrow\ c=\ln(e-1)$
Resposta

c = ln(e − 1) ≈ 0,5413, situado em (0, 1).

$c=\ln(e-1)\approx0{.}5413$
Ponto anguloso no interior: nenhum c 2 passos
Mostre que não existe nenhum c em (−1, 2) com f′(c) = (f(2) − f(−1))/3 para f(x) = |x|. Por que razão isto não contradiz o teorema do valor médio?

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1. O declive da corda:
  
  $m=\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$
2. Fora do 0, o declive de |x| é sempre −1 ou 1, nunca 1/3:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=-1\quad(x<0)\\&f'(x)=1\quad(x>0)\end{aligned}$
Resposta

Não existe nenhum c. A função |x| não admite derivada em 0, que se situa no interior de (−1, 2); a hipótese de diferenciabilidade falha e o teorema nada garante.

$f'(c)\neq\tfrac{1}{3}\ \ \forall c\in(-1,2)$
Descontinuidade no interior: a conclusão de Rolle falha 2 passos
A função f(x) = 1/x² cumpre f(−1) = f(1). Existirá algum c em (−1, 1) com f′(c) = 0? Justifique.

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1. Os valores nas extremidades coincidem, pelo que a corda é horizontal:
  
  $f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1=f(1),\qquad m=0$
2. No entanto, f′ nunca se anula:
  
  $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\neq0\ \ (x\neq0)$
Resposta

Não. Como f não está definida em 0, não é contínua em [−1, 1]; o teorema de Rolle não se aplica e a sua conclusão falha.

$f'(c)\neq0\ \ \forall c\in(-1,1)$
Sem derivada na extremidade: o teorema aplica-se na mesma 2 passos
O teorema do valor médio é aplicável a f(x) = √x em [0, 4]? Em caso afirmativo, determine c.

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1. A função √x é contínua em [0, 4] e diferenciável em (0, 4); f′(0) não existe, mas as extremidades não necessitam de derivada. O declive da corda:
  
  $m=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}$
2. Resolvemos f′(c) = m:
  
  $\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sqrt{c}=1\ \Rightarrow\ c=1$
Resposta

Sim; c = 1.

$c=1$
Velocidade média entre dois radares 2 passos
Um automóvel passa por um radar e, 6 minutos mais tarde, por um segundo radar situado 12 km adiante. O limite é de 100 km/h. Mostre que, num determinado instante entre ambos, o veículo circulava exatamente a 120 km/h.
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1. Seja s(t) a distância percorrida em km ao fim de t horas. O automóvel desloca-se sem saltos e possui velocidade definida em cada instante, pelo que s é contínua e diferenciável. A velocidade média ao longo de 0,1 h é o declive da corda:
  
  $\frac{s(0{.}1)-s(0)}{0{.}1-0}=\frac{12}{0{.}1}=120\ \mathrm{km/h}$
2. Pelo teorema do valor médio, existe um instante c entre os radares em que s′(c) coincide com ela:
  
  $s'(c)=120\ \mathrm{km/h},\qquad 0<c<0{.}1$
Resposta

Em determinado instante, a velocidade foi exatamente de 120 km/h, pelo que o limite foi violado mesmo que nenhum radar isolado tenha registado essa infração.

$s'(c)=120\ \mathrm{km/h}>100\ \mathrm{km/h}$
Uma limitação a partir da derivada 2 passos
Sendo f diferenciável, f(1) = 10 e f′(x) ≤ 3 para qualquer x, quão grande pode ser f(5)?
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1. Em [1, 5], o teorema do valor médio garante um c tal que:
  
  $\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c),\qquad 1<c<5$
2. Como f′(c) ≤ 3:
  
  $f(5)=f(1)+4f'(c)\le10+4\cdot3=22$
Resposta

f(5) ≤ 22, atingido por f(x) = 3x + 7.

$f(5)\le22$

Problemas suplementares, só com a resposta

Determine c para f(x) = x² − 4x + 1 em [0, 5].

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c = 2,5

$c=\frac{5}{2}$
Verifique o teorema de Rolle para f(x) = x³ − 4x em [0, 2] e determine c.

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c = 2/√3 ≈ 1,1547

$c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1{.}1547$
Determine c para f(x) = ln x em [1, e].

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c = e − 1 ≈ 1,7183

$c=e-1\approx1{.}7183$
Determine c para f(x) = 1/x em [1, 3].

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c = √3 ≈ 1,7321

$c=\sqrt{3}\approx1{.}7321$
O teorema do valor médio aplica-se a f(x) = |x − 2| em [0, 3]? Existe algum c?

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Não: existe um ponto anguloso em x = 2; o declive da corda é −1/3 e f′ vale apenas ±1, pelo que não existe nenhum c

$f'(x)=\pm1\neq-\frac{1}{3}$
Sendo f(0) = 5 e f′(x) ≥ −2 para todo o x, qual é o menor valor possível de f(6)?

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−7

$f(6)\ge-7$

As extremidades podem falhar; o interior não

Selecione √x em [0, 4]. Em 0, a curva parte na vertical e f′(0) não existe; contudo, c = 1 está lá, com uma tangente de declive 1/2 perfeitamente paralela à corda. Escolha agora |x| em [−1, 2]. A corda tem declive 1/3, mas qualquer tangente tem declive −1 ou 1, pelo que não existe nenhum c. A diferença está no lugar onde o problema acontece. O teorema só garante um c estritamente entre a e b, pelo que apenas aí exige derivada; uma extremidade pode perfeitamente não a ter. O que a extremidade não pode fazer é soltar-se da curva, sob pena de a corda unir o ponto errado. Exige-se continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto: reside aqui toda a razão de ser dos dois tipos de parênteses no enunciado.

O teorema por trás de cada + C

Raros exames pedem para determinar c. O teorema conquista o seu lugar por aquilo que permite demonstrar. Se f′(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo, qualquer corda terá o declive de alguma tangente, que é 0; logo, f toma o mesmo valor em quaisquer dois pontos, o que a torna constante. Duas primitivas da mesma função têm como diferença uma função com derivada nula, pelo que num intervalo diferem por uma constante. É daqui que vem o + C — e trata-se de um teorema, não de uma simples convenção. A condição de estarmos num intervalo é essencial: a função que vale ln|x| + 1 para x < 0 e ln|x| − 3 para x > 0 também é uma primitiva de 1/x, porque nenhum intervalo consegue atravessar o 0. O mesmo argumento com f′ > 0 dita que todas as cordas sobem, o que significa que f é crescente, sendo este o teste sobre o qual a próxima página foi construída.

Numa parábola, c é sempre o ponto médio

Escolha x² em [1, 3]: encontramos c = 2, exatamente a meio. Não é mero acaso dos números. Para f(x) = px² + qx + r, o declive da corda resulta em p(a + b) + q, o que corresponde com precisão a f′ em (a + b)/2, em qualquer intervalo. Interpretado como movimento, isto diz-nos que, com aceleração constante, a velocidade média ao longo de um percurso iguala a velocidade instantânea no instante médio. William Heytesbury enunciou esta regra em Oxford na década de 1330, e Galileu apoiou-se nela três séculos mais tarde para descrever a queda dos corpos. Uma cúbica quebra a regra logo à partida: clique em x³ em [0, 3] e verá c = √3 ≈ 1,7321, em vez de 1,5.

Percurso de aprendizagem

O que f′ e f″ dizem sobre um gráfico

Referências (2)

Rolle's theorem (Theorem 4.4) and the mean value theorem (Theorem 4.5) with their hypotheses, continuity on [a, b] and differentiability on (a, b); and the corollaries insight block 2 is about: a zero derivative on an interval means a constant (4.6), equal derivatives differ by a constant (4.7), and f′ > 0 means increasing (4.8): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.4, “The Mean Value Theorem”.
Insight block 3: William Heytesbury formulated the middle degree theorem (the mean speed theorem) for uniformly accelerated motion in his Regulae solvendi sophismata; his extant writings date from the 1330s, and the theorem was later developed by Galileo: M. Hanke and E. Jung, “William Heytesbury”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, first published 19 January 2018, revised 19 June 2026.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Teorema do Valor Médio

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

As extremidades podem falhar; o interior não 🖖

O teorema por trás de cada + C 🖖

Numa parábola, c é sempre o ponto médio 🖖

As extremidades podem falhar; o interior não

O teorema por trás de cada + C

Numa parábola, c é sempre o ponto médio