Explorador de limites

Introduza uma função e um ponto a. A página aproxima x de a pela esquerda e pela direita, reduzindo a distância a um décimo em cada passo, e acompanha os valores de f: convergem para o mesmo valor, tendem para valores diferentes, crescem em módulo sem limite ou continuam a oscilar.

O limite existe quando os dois limites laterais coincidem num valor finito	$\begin{aligned}&\lim_{x\to a}f(x)=L\\ &\iff\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L\end{aligned}$
Contínua em a	$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
O limite que fundamenta a derivada do seno	$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

Exemplo resolvido — Explorador de limites

Limite à esquerda	1
Limite à direita	1
O limite	1
O valor em a	indefinido

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador de limites

lim f(x) = L quando x → a significa que podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, desde que x esteja suficientemente próximo de a, com x ≠ a. O valor f(a) não intervém: pode não existir ou ser diferente de L.

O que significa cada símbolo

a: o ponto de que x se aproxima
L: o limite
L⁻, L⁺: os limites à esquerda e à direita, com x < a e x > a, respetivamente
h: a distância a a dos pontos onde a página calcula f, de 10⁻¹ até 10⁻⁸

De onde vem a fórmula

Comece por substituir. Onde f é contínua, o limite é o valor da função. Os polinómios, sin, cos e eˣ são contínuos em todo o seu domínio, e um quociente destas funções é contínuo onde o denominador não é 0.
$\lim_{x\to2}\left(x^{2}+1\right)=2^{2}+1=5$
Se obtiver 0/0, é preciso trabalhar a expressão. Pode simplificar um fator (x − a) comum ao numerador e ao denominador, pois o limite não depende do que acontece em x = a. Para eliminar uma raiz, multiplique pela expressão conjugada.
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(x\neq1)\\ &\Rightarrow\ \lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2\end{aligned}$
Examine os dois lados. Se os limites laterais forem diferentes ou infinitos, não há limite finito. O comportamento de cada lado permite identificar o tipo de descontinuidade no guia ao fundo da página.
$\lim_{x\to0^{-}}\frac{|x|}{x}=-1\neq1=\lim_{x\to0^{+}}\frac{|x|}{x}$
Quando não conseguir simplificar, enquadre a função. Se g ≤ f ≤ h numa vizinhança de a, e g e h tiverem o mesmo limite L, então f também tem limite L. A página sobre radianos demonstra assim que sin x / x → 1. É também assim que se mostra que uma oscilação tende para 0 quando fica entre limites que se aproximam de 0.
$\begin{aligned}&-x^{2}\le x^{2}\sin\tfrac1x\le x^{2}\\ &\Rightarrow\ \lim_{x\to0}x^{2}\sin\tfrac1x=0\end{aligned}$

Toda derivada é um 0/0 disfarçado

O declive de uma curva num ponto seria dado por (f(x+h) − f(x)) / h com h igual a 0, o que dá 0/0 em qualquer ponto onde f esteja definida. A divisão não resolve o problema: 0/0 não é um número, e nenhuma manipulação algébrica o transforma num. O limite permite outra abordagem. Procuramos o valor para que tende o quociente quando h se aproxima de 0, sem nunca fazer h igual a 0. É esse valor que dá o declive da reta tangente. Na página seguinte, calcula-se este limite para cada x.

Quando a tabela de valores engana

Selecione Má escolha de pontos. A página calcula f em x = a ± 10⁻ⁿ, com n de 1 a 8. Para sin(π/x) perto de 0, todas as linhas mostram 0, pois sin(10ⁿπ) = 0 quando o expoente é inteiro. A página indica, por isso, um limite de 0. Entre esses pontos, a função oscila entre −1 e +1 indefinidamente, e o limite não existe. A convergência numérica dá uma pista; nunca constitui uma demonstração.

TEORIA DOS LIMITES — O QUE O GRÁFICO FAZ QUANDO x SE APROXIMA DE a

Em que caso de limite você está?

Um limite pergunta para onde f está indo quando x se aproxima de a, nunca o que f faz em a. Leia primeiro os dois limites laterais: se coincidem, o limite existe e resta apenas verificar se f(a) combina. Se divergem, a forma da divergência dá nome ao caso — um degrau, uma explosão ou uma oscilação sem fim.

Buraco removível — os dois lados concordam e f(a) falta L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 que cancela — fatore antes de concluir 0/0 → ÷(x − a)

Salto — os dois lados discordam L⁻ ≠ L⁺

Infinito — os valores saem da escala f → ±∞ at x = a

Oscilação — os valores nunca se assentam ∄L, |f| ≤ 1

Buraco removível — os dois lados concordam e f(a) falta

O que você sabe: Os limites pela esquerda e pela direita são iguais e finitos, mas f(a) não está definida. Substituir a dá 0/0 e nenhum fator se cancela.

Teste: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Exemplo resolvido: f(x) = sin(x)/x em a = 0 → f(0) dá 0/0, mas f(±0,001) = 0,99999983 → limite = 1

Abrir este caso: sinc sin(x)/x

Buraco removível — os dois lados concordam e f(a) falta. Os dois ramos miram a mesma altura; apenas o ponto foi retirado. Os limites pela esquerda e pela direita são iguais e finitos, mas f(a) não está definida. Substituir a dá 0/0 e nenhum fator se cancela. — Os dois ramos miram a mesma altura; apenas o ponto foi retirado.

0/0 que cancela — fatore antes de concluir

O que você sabe: Substituir a dá 0/0, e o numerador e o denominador têm o fator (x − a) em comum.

Teste: 0/0 → ÷(x − a)

Exemplo resolvido: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) em a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → limite = 2

Abrir este caso: 0/0 que se simplifica

0/0 que cancela — fatore antes de concluir. Depois do cancelamento, o gráfico é a reta y = x + 1 com um ponto retirado. Substituir a dá 0/0, e o numerador e o denominador têm o fator (x − a) em comum. — Depois do cancelamento, o gráfico é a reta y = x + 1 com um ponto retirado.

Salto — os dois lados discordam

O que você sabe: Ambos os limites laterais são finitos, mas são números diferentes. O gráfico passa de um nível a outro em a.

Teste: L⁻ ≠ L⁺

Exemplo resolvido: f(x) = |x|/x em a = 0 → limite pela esquerda = −1, pela direita = +1 → o limite não existe

Abrir este caso: Salto |x|/x

Salto — os dois lados discordam. Dois ramos planos em alturas diferentes: os lados discordam, não há limite único. Ambos os limites laterais são finitos, mas são números diferentes. O gráfico passa de um nível a outro em a. — Dois ramos planos em alturas diferentes: os lados discordam, não há limite único.

Infinito — os valores saem da escala

O que você sabe: Pelo menos um lado cresce sem limitação. Substituir a dá um número não nulo dividido por zero, então há uma assíntota vertical em x = a.

Teste: f → ±∞ at x = a

Exemplo resolvido: f(x) = 1/x em a = 0 → pela esquerda → −∞ e pela direita → +∞ → não há limite finito

Abrir este caso: Infinito 1/x

Infinito — os valores saem da escala. Os dois ramos fogem ao longo da assíntota vertical x = a. Pelo menos um lado cresce sem limitação. Substituir a dá um número não nulo dividido por zero, então há uma assíntota vertical em x = a. — Os dois ramos fogem ao longo da assíntota vertical x = a.

Oscilação — os valores nunca se assentam

O que você sabe: A função continua limitada, mas percorre a mesma faixa infinitas vezes, por mais perto de a que você olhe.

Teste: ∄L, |f| ≤ 1

Exemplo resolvido: f(x) = sin(1/x) em a = 0 → entre x = 0,001 e x = 0,002 o gráfico completa cerca de 80 ciclos e atinge todos os valores de [−1, 1]

Abrir este caso: Oscilação sin(1/x)

Oscilação — os valores nunca se assentam. A oscilação fica mais rápida, não menor, quando x se aproxima de 0. A função continua limitada, mas percorre a mesma faixa infinitas vezes, por mais perto de a que você olhe. — A oscilação fica mais rápida, não menor, quando x se aproxima de 0.

Problemas resolvidos na íntegra

0/0: resolver por fatorização 3 passos
Calcule o limite de (x² − 9)/(x − 3) quando x → 3.

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1. Comece por substituir. Obtém-se 0/0, por isso é preciso transformar a expressão:
  
  $\frac{3^{2}-9}{3-3}=\frac{0}{0}$
2. O numerador é uma diferença de quadrados e tem um fator comum com o denominador. Simplifique esse fator; o limite não depende do valor em x = 3:
  
  $\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad(x\neq3)$
3. A expressão obtida é contínua em 3. Agora basta substituir:
  
  $\lim_{x\to3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$
Resposta

O limite é 6. A função não está definida em 3. A página mostra ambas as informações: limite igual a 6 e valor em a não definido.
0/0 com uma raiz quadrada 3 passos
Calcule o limite de (√(x + 4) − 2)/x quando x → 0.

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1. Substituindo, obtém-se novamente 0/0.
  
  $\frac{\sqrt{0+4}-2}{0}=\frac{0}{0}$
2. Não há um fator comum que se possa pôr em evidência. Multiplique o numerador e o denominador pela expressão conjugada √(x + 4) + 2. O numerador passa a ser uma diferença de quadrados, e pode simplificar o fator x:
  
  $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$
3. Agora substitua:
  
  $\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14$
Resposta

O limite é ¼. Na página, os valores da coluna da esquerda aproximam-se de 0,25 por valores superiores, e os da direita por valores inferiores.
sin 3x dividido por x 3 passos
Calcule o limite de sin(3x)/x quando x → 0.

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1. Para aplicar o limite notável, o argumento do seno tem de coincidir com o denominador. Multiplique e divida por 3:
  
  $\frac{\sin3x}{x}=3\cdot\frac{\sin3x}{3x}$
2. Quando x → 0, também u = 3x → 0, pelo que podemos aplicar o limite notável a u:
  
  $u=3x\to0:\qquad\frac{\sin u}{u}\to1$
3. Assim:
  
  $\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\cdot1=3$
Resposta

O limite é 3. Pelo mesmo processo, sin(kx)/x → k para qualquer constante k não nula.
1 − cos x dividido por x² e uma tabela que perde precisão 3 passos
Calcule o limite de (1 − cos x)/x² quando x → 0 e explique por que razão a última linha da tabela mostra 0.

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1. Multiplique o numerador e o denominador por 1 + cos x e use a identidade 1 − cos²x = sin²x:
  
  $\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\left(1+\cos x\right)}=\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{1+\cos x}$
2. Agora conhecemos o limite de cada fator:
  
  $\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\cdot\frac{1}{1+\cos x}=1^{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac12$
3. Em x = 10⁻⁸, cos x difere de 1 por 5 × 10⁻¹⁷. Esta diferença é inferior a metade da distância entre 1 e o maior número inferior a 1 que o computador consegue representar. Por isso, o valor calculado de cos x é exatamente 1, e o numerador é exatamente 0:
  
  $x=10^{-8}:\quad\cos x=1-5\times10^{-17}\ \Rightarrow\ \text{fl}(\cos x)=1,\quad1-\text{fl}(\cos x)=0$
Resposta

O limite é ½. A tabela mantém 0,500000 até x = 10⁻⁵, começa a desviar-se em 10⁻⁶ e 10⁻⁷ e mostra 0 em 10⁻⁸. A página usa as linhas mais estáveis para estimar o limite e apresenta 0,5.
Um salto: limites laterais diferentes 2 passos
Calcule os limites laterais de |x − 2|/(x − 2) em x = 2 e determine se o limite existe.

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1. Elimine o módulo separadamente de cada lado de 2:
  
  $x<2:\ |x-2|=-(x-2)\ \Rightarrow\ \frac{|x-2|}{x-2}=-1;\qquad x>2:\ \frac{|x-2|}{x-2}=1$
2. Obtêm-se valores diferentes de cada lado:
  
  $\lim_{x\to2^{-}}f(x)=-1\neq1=\lim_{x\to2^{+}}f(x)$
Resposta

O limite à esquerda é −1, o limite à direita é 1 e o limite não existe. Nenhuma escolha de f(2) torna a função contínua nesse ponto: há um salto.
Um limite infinito e um limite que nem assim existe 3 passos
Descreva o comportamento de 1/(x − 1)² quando x → 1 e compare-o com o de 1/(x − 1).

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1. Ao substituir, obtém-se um número dividido por 0. Não há limite finito; resta perceber se os valores tendem para +∞ ou para −∞.
  
  $\frac{1}{(1-1)^{2}}=\frac{1}{0}$
2. O quadrado é positivo de ambos os lados e tende para 0, pelo que a fração cresce dos dois lados. À distância de 10⁻³, já vale 1 000 000:
  
  $(x-1)^{2}>0\ (x\neq1),\qquad x=1\pm10^{-3}:\ \frac{1}{10^{-6}}=10^{6}$
3. De ambos os lados, os valores tendem para +∞, e escreve-se que o limite é +∞. Sem o quadrado, x − 1 muda de sinal em 1, e os valores seguem em sentidos opostos:
  
  $\lim_{x\to1}\frac{1}{(x-1)^{2}}=+\infty;\qquad\lim_{x\to1^{\mp}}\frac{1}{x-1}=\mp\infty$
Resposta

1/(x − 1)² → +∞ de ambos os lados; 1/(x − 1) tende para −∞ à esquerda e para +∞ à direita, pelo que não tem limite, mesmo admitindo limites infinitos. Nenhuma das funções está definida em 1, pelo que nenhuma é contínua nesse ponto.
O teorema das funções enquadradas 3 passos
Calcule o limite de x² sin(1/x) quando x → 0.

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1. sin(1/x) oscila indefinidamente perto de 0 e não tem limite, pelo que não podemos calcular o limite do produto como produto dos limites. Sabemos, porém, que é uma função limitada:
  
  $-1\le\sin\frac1x\le1\quad(x\neq0)$
2. Multiplique todos os membros por x², que é sempre não negativo:
  
  $-x^{2}\le x^{2}\sin\frac1x\le x^{2}$
3. As funções que delimitam a expressão tendem ambas para 0. Pelo teorema das funções enquadradas, a função entre elas também tende para 0:
  
  $\lim_{x\to0}\left(-x^{2}\right)=\lim_{x\to0}x^{2}=0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to0}x^{2}\sin\frac1x=0$
Resposta

O limite é 0. A oscilação persiste e torna-se cada vez mais rápida, mas fica contida entre limites que se aproximam de 0.
Escolher uma constante para obter uma função contínua 2 passos
Seja f(x) = kx + 1 para x < 2 e f(x) = x² para x ≥ 2. Determine k de modo que f seja contínua em 2.
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1. Para haver continuidade em 2, ambos os limites laterais têm de ser iguais a f(2). O limite à direita e o valor da função são ambos 4:
  
  $\lim_{x\to2^{-}}(kx+1)=2k+1,\qquad\lim_{x\to2^{+}}x^{2}=4=f(2)$
2. Iguale o limite à esquerda a esse valor:
  
  $2k+1=4\ \Rightarrow\ k=\tfrac32$
Resposta

k = 3/2. Para qualquer outro valor de k, o gráfico apresenta um salto em 2.
Um limite no infinito 2 passos
Calcule o limite de (3x² + 1)/(2x² − x) quando x → ∞.
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1. Divida o numerador e o denominador pela maior potência de x no denominador, x²:
  
  $\frac{3x^{2}+1}{2x^{2}-x}=\frac{3+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}$
2. Todos os termos com x no denominador tendem para 0:
  
  $\frac{1}{x}\to0,\quad\frac{1}{x^{2}}\to0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{2x^{2}-x}=\frac{3}{2}$
Resposta

O limite é 3/2, o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. O gráfico tem a assíntota horizontal y = 3/2.
Demonstrar que sin x / x → 1 com um δ para cada ε 5 passos
Demonstre que sin x / x → 1, determinando um δ para cada ε, e preveja os valores das duas linhas úteis da tabela antes de as consultar. Trata-se da função f(x) = sin(x)/x quando x → 0.

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1. Podemos dividir a série do seno por x para qualquer x ≠ 0, precisamente os pontos que interessam ao limite. A expressão obtida só contém potências pares de x. É por isso que as colunas da esquerda e da direita apresentam os mesmos algarismos em todas as linhas.
  
  $\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots\right)=1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}-\cdots$
2. Bastam dois termos: o termo em x⁴ já é de apenas 8,33 × 10⁻⁷, demasiado pequeno para afetar a sexta casa decimal.
  
  $x=\pm0.1:\quad 1-\frac{10^{-2}}{6}+\frac{10^{-4}}{120}-\cdots=1-1.666667\times10^{-3}+8.33\times10^{-7}=0.998334$
3. Ao dividir a distância por 10, a diferença em relação a 1 divide-se por 100. A aproximação é quadrática em x. Esta afirmação diz muito mais do que “o limite é 1”, e as duas linhas da tabela bastam para a estabelecer.
  
  $x=\pm0.01:\quad 0.999983,\qquad \frac{1-f(0.1)}{1-f(0.01)}=\frac{1.665834\times10^{-3}}{1.666658\times10^{-5}}=99.95$
4. A evidência numérica não constitui uma demonstração. É preciso limitar o resto da série de uma só vez. Para |x| ≤ 1, a série é alternada e os termos decrescem em módulo. Por isso, a soma de todos os termos depois de 1 tem módulo inferior ao do primeiro termo omitido, x²/6. Resolvendo a desigualdade em ordem a |x|, obtemos uma fórmula para δ.
  
  $\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|\le\frac{x^{2}}{6}\quad(|x|\le1)\qquad\Longrightarrow\qquad \delta(\varepsilon)=\sqrt{6\varepsilon}\quad\left(\varepsilon\le\tfrac{1}{6}\right)$
5. Repare no efeito da raiz quadrada: reduzir ε por um fator de 1 000 000 exige reduzir x apenas por um fator de 1 000.
  
  $\varepsilon=10^{-6}\Rightarrow\delta=2.449\times10^{-3};\qquad \varepsilon=10^{-12}\Rightarrow\delta=2.449\times10^{-6}$
Resposta

A tabela mostra 0,998334 em x = 0,1 e 0,999983 em x = 0,01. Ambos os valores foram calculados aqui com quatro termos de uma série, antes de consultar o painel. A escolha δ = √(6ε) dá uma garantia: para qualquer tolerância, basta calcular uma raiz quadrada para saber quão próximo de 0 deve estar x. Podemos continuar a ampliar sem receio de surpresas. Percebe-se também por que razão a tabela deixa de trazer informação nova. De linha para linha, x é dividido por 10 e a diferença em relação a 1 por 100. Na terceira linha, essa diferença já é 1,6667 × 10⁻⁷, menos de meia unidade na sexta casa decimal. Essa linha e as cinco seguintes mostram, por isso, 1,000000, embora o valor em x = 0,001 seja 0,99999983. Vale a pena conservar a diferença: dividindo os 1,665834 × 10⁻³ da primeira linha por 0,01, obtém-se 0,16658, que corresponde a 1/6. Por trás do limite conhecido há outro, que a série já permitia prever.

$\delta(\varepsilon)=\sqrt{6\varepsilon},\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\frac{\sin x}{x}}{x^{2}}=\frac{1}{6}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule lim_x→0 (e^2x − 1)/x.

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2. Este limite representa o declive da tangente ao gráfico de e^2x no ponto de abcissa 0.

$\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2$
Calcule lim_x→∞ (√(x² + 4x) − x).

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2. Multiplicando o numerador e o denominador por √(x² + 4x) + x, obtém-se 4x/(√(x² + 4x) + x), que tende para 4/(1 + 1).

$\lim_{x\to\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}+x}=2$
Calcule os limites de (2x − 1)/√(x² + 1) quando x → ∞ e quando x → −∞.

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2 e −2. Como √(x²) é |x|, e não x, o gráfico tem assíntotas horizontais diferentes nos dois extremos.

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}+1}}=\pm2$
Calcule lim_x→0 (1 + x)^1/x.

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e ≈ 2,7183.

$\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Referências (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.