Regra do produto e regra do quociente

Um retângulo de largura u e altura v. Faça x avançar um passo h: o retângulo ganha uma faixa à direita, outra no topo e um pequeno canto. Reduza h, divida cada parte por h e descubra quais das três sobrevivem.

Regra do produto	$(uv)'=u'v+uv'$
Regra do quociente	$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad v\neq0$

Exemplo resolvido — Regra do produto e regra do quociente

Área em x	6
Faixa à direita	3
Faixa no topo	4
Canto	2
Área ganha, as três juntas	9
u′ vezes v	3
u vezes v′	4
A regra do produto, (uv)′	7

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Regra do produto e regra do quociente

Se u e v são diferenciáveis em x, a derivada do seu produto é u′v + uv′, e a do quociente é (u′v − uv′)/v² sempre que v ≠ 0. Ambas nascem de uma mesma figura: um retângulo de largura u e altura v que cresce à medida que x cresce.

O que significa cada símbolo

u: a largura do retângulo, função diferenciável de x
v: a sua altura, outra função diferenciável
h: o incremento em x; Δu = u(x + h) − u(x), e Δv da mesma forma

De onde vem a fórmula

O retângulo cresce. Avance x em h. A largura passa a u + Δu e a altura a v + Δv, e a nova área menos a antiga divide-se em três partes: uma faixa à direita, uma faixa no topo e o canto. Na figura, são as partes azul, âmbar e carmesim.
$(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=\Delta u\,v+u\,\Delta v+\Delta u\,\Delta v$
Divida por h e deixe h encolher. Δu/h tende a u′ e Δv/h a v′, de modo que as duas faixas produzem u′v + uv′. O canto é (Δu/h)·Δv, uma taxa multiplicada por uma variação, e essa variação Δv tende a 0 porque uma função diferenciável em x é contínua ali. Assim, a linha do canto no segundo painel cai para zero enquanto as faixas se estabilizam, e a resposta tentadora u′v′ é a única parte que desaparece.
$\frac{\Delta A}{h}=\frac{\Delta u}{h}\,v+u\,\frac{\Delta v}{h}+\underbrace{\frac{\Delta u}{h}}_{\to\,u'}\,\underbrace{\Delta v}_{\to\,0}\ \longrightarrow\ u'v+uv'$
O quociente a partir do produto. Seja q = u/v o quociente, de modo que u = q·v. Derive este produto com a regra que acabámos de encontrar e isole q′. O sinal de menos é a faixa superior qv′, passada para o outro membro da equação. Isto assume como garantido que q tem uma derivada que se possa isolar. E tem-na, sempre que v ≠ 0: Δq = (v·Δu − u·Δv)/(v(v + Δv)), e dividindo por h e fazendo h tender para zero chegamos à mesma regra, dado que v + Δv tende para v.
$u=qv\ \Rightarrow\ u'=q'v+qv'\ \Rightarrow\ q'=\frac{u'-qv'}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Pressupõe: A figura requer que os dois lados sejam positivos, mas as regras não dependem disso: valem para quaisquer u e v diferenciáveis em x, com v(x) ≠ 0 para o quociente.

Problemas resolvidos na íntegra

Dois polinómios e a tangente em x = 2 4 passos
Derive f(x) = (x² + 1)(3x − 2), confirme o resultado desenvolvendo primeiro o produto e determine a reta tangente em x = 2.

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1. Identifique os dois fatores e derive cada um. Nada aqui exige mais do que a regra da potência:
  
  $u=x^{2}+1,\quad u'=2x;\qquad v=3x-2,\quad v'=3$
2. Monte u′v + uv′ e agrupe os termos semelhantes:
  
  $f'(x)=2x(3x-2)+3\left(x^{2}+1\right)=9x^{2}-4x+3$
3. Desenvolva primeiro o produto e derive termo a termo. Reencontra-se o mesmo polinómio, a confirmação mais segura da regra:
  
  $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+3x-2\ \Rightarrow\ f'(x)=9x^{2}-4x+3$
4. Em x = 2 a curva vale 20 e sobe a 31; a reta tangente passa por (2, 20) com declive 31:
  
  $f(2)=5\cdot4=20,\quad f'(2)=36-8+3=31,\qquad y-20=31(x-2)$
Resposta

f′(x) = 9x² − 4x + 3 e a tangente em x = 2 é y = 31x − 42. Na página, a regra dá 31 em x = 2: 16 da faixa à direita, u′v = 4 × 4, e 15 da faixa superior, uv′ = 5 × 3.

$f'(x)=9x^{2}-4x+3,\qquad y=31x-42$
Uma potência vezes o seno 3 passos
Derive f(x) = x² sin x e determine o seu declive em x = π/2.

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1. Os fatores e as respetivas derivadas:
  
  $u=x^{2},\quad u'=2x;\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. Aplique a regra. Vale a pena colocar x em evidência, que é a forma ideal de apresentar o resultado:
  
  $f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x=x\left(2\sin x+x\cos x\right)$
3. Em π/2 o seno vale 1 e o cosseno 0; o segundo termo anula-se e resta apenas u′v:
  
  $f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot1+\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\cdot0=\pi$
Resposta

f′(x) = 2x sin x + x² cos x e f′(π/2) = π ≈ 3,1416. Na página, a faixa superior uv′ marca 0 nesse ponto. No seu ponto mais alto, a altura sin x parou de crescer: toda a taxa de variação vem da largura.

$f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x,\qquad f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi\approx3{.}1416$
Onde x·eˣ tem tangente horizontal 4 passos
Determine onde o gráfico de f(x) = x eˣ tem tangente horizontal e decida se se trata de um máximo ou de um mínimo.

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1. Os fatores e as respetivas derivadas. A função eˣ é a sua própria derivada:
  
  $u=x,\quad u'=1;\qquad v=e^{x},\quad v'=e^{x}$
2. Aplique a regra e coloque o fator comum eˣ em evidência. Em qualquer prova espera-se a forma fatorizada, porque um produto só se anula se um dos seus fatores for nulo:
  
  $f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$
3. Como eˣ nunca se anula, o declive só é zero onde a expressão entre parênteses for zero:
  
  $e^{x}>0\ \Rightarrow\ f'(x)=0\iff x=-1,\qquad f(-1)=-e^{-1}\approx-0{.}3679$
4. Teste em ambos os lados. O declive é negativo em −2 e positivo em 0; logo, a curva desce e depois sobe:
  
  $f'(-2)=-e^{-2}<0,\qquad f'(0)=1>0$
Resposta

Mínimo em (−1, −1/e) ≈ (−1, −0,3679). Em x = −1 a página dá 0 para a regra, a partir de duas faixas que se cancelam exatamente: 0,3679 e −0,3679. Não é possível desenhar o retângulo ali porque um dos lados, u = −1, é negativo; à regra, pouco importa.

$f_{\min}=f(-1)=-\tfrac{1}{e}\approx-0{.}3679$
Uma potência vezes um logaritmo 3 passos
Derive f(x) = x³ ln x para x > 0 e determine onde ela deixa de decrescer.

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1. Os fatores e as suas derivadas:
  
  $u=x^{3},\quad u'=3x^{2};\qquad v=\ln x,\quad v'=\tfrac{1}{x}$
2. Junte os termos. O segundo simplifica-se, x³ · 1/x = x², e x² é comum a ambos:
  
  $f'(x)=3x^{2}\ln x+x^{3}\cdot\tfrac{1}{x}=3x^{2}\ln x+x^{2}=x^{2}\left(3\ln x+1\right)$
3. Para x > 0, x² é positivo; logo, só o parêntese se pode anular:
  
  $3\ln x+1=0\ \Rightarrow\ \ln x=-\tfrac13\ \Rightarrow\ x=e^{-1/3}\approx0{.}7165$
Resposta

f′(x) = x²(3 ln x + 1), que se anula em x = e^(−1/3) ≈ 0,7165. À esquerda desse valor, o parêntese é negativo e f decresce; à direita, f cresce. Em x = 1, a página apresenta u′v = 0, porque ln 1 = 0, e toda a taxa de 1 vem da segunda faixa. Deslize x de 0,71 para 0,72 e veja o valor mudar de sinal, de −0,0138 para 0,0075.

$f'(x)=x^{2}\left(3\ln x+1\right),\qquad f'\!\left(e^{-1/3}\right)=0,\quad e^{-1/3}\approx0{.}7165$
Uma raiz quadrada vezes um polinómio 4 passos
Derive f(x) = √x (x² − 4) e escreva a resposta numa única fração.

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1. Escreva primeiro √x como potência; a regra da potência aplica-se a seguir como de costume:
  
  $u=x^{1/2},\quad u'=\tfrac12x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}};\qquad v=x^{2}-4,\quad v'=2x$
2. Reunindo os termos:
  
  $f'(x)=\dfrac{x^{2}-4}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}$
3. Coloque ambos os termos sobre 2√x. Como √x · √x = x, o segundo termo fica 4x²/(2√x):
  
  $2x\sqrt{x}=\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-4+4x^{2}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
4. Uma verificação em x = 4, onde √x = 2:
  
  $f'(4)=\dfrac{80-4}{2\cdot2}=\dfrac{76}{4}=19$
Resposta

f′(x) = (5x² − 4)/(2√x). Em x = 4, a página apresenta 19: 3 da faixa da direita e 16 da faixa superior.

$f'(x)=\dfrac{5x^{2}-4}{2\sqrt{x}}$
eˣ sin x, derivada duas vezes 3 passos
Determine f′(x) e f″(x) para f(x) = eˣ sin x.

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1. Os fatores e as suas derivadas:
  
  $u=e^{x},\quad u'=e^{x};\qquad v=\sin x,\quad v'=\cos x$
2. Junte os termos e coloque eˣ em evidência:
  
  $f'(x)=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)$
3. A própria f′ é um produto, eˣ vezes (sin x + cos x), pelo que aplicamos a regra uma segunda vez. Os senos anulam-se:
  
  $f''(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right)+e^{x}\left(\cos x-\sin x\right)=2e^{x}\cos x$
Resposta

f′(x) = eˣ(sin x + cos x) e f″(x) = 2eˣ cos x. Em x = 0, a página indica f′ = 1, vindo inteiramente da faixa superior: e⁰ cos 0. A segunda derivada está um passo além da página, mas é possível fazê-la calcular esse valor: escreva u = e^x e v = sin(x) + cos(x), e a regra que ela mostra em 0 é f″(0) = 2.

$f'(x)=e^{x}\left(\sin x+\cos x\right),\qquad f''(x)=2e^{x}\cos x$
tan x como quociente 3 passos
Escreva tan x como sin x / cos x e derive-a pela regra do quociente. Qual é o seu declive em x = π/4?

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1. O numerador, o denominador e as respetivas derivadas:
  
  $\begin{aligned}u&=\sin x,&u'&=\cos x\\v&=\cos x,&v'&=-\sin x\end{aligned}$
2. Juntando tudo: no numerador surge cos²x + sin²x, que vale 1:
  
  $\begin{aligned}(\tan x)'&=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x\,(-\sin x)}{\cos^{2}x}\\&=\dfrac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\end{aligned}$
3. Em π/4, o cosseno vale √2/2, pelo que o seu quadrado é um meio:
  
  $\begin{aligned}&\cos^{2}\tfrac{\pi}{4}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac12\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
Resposta

(tan x)′ = 1/cos²x = sec²x e o declive em π/4 é 2. Na página, u′v indica 0,5 e uv′ indica −0,5. Como a regra subtrai a segunda parcela, o numerador fica 1 e não 0. Como cos²x nunca ultrapassa 1, o declive nunca é inferior a 1: onde quer que esteja definida, a curva de tan x sobe pelo menos com a inclinação de y = x.

$\begin{aligned}&(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x\\&(\tan x)'\big|_{x=\pi/4}=2\end{aligned}$
Onde x/(x² + 1) muda de sentido 3 passos
Determine os pontos estacionários de f(x) = x/(x² + 1) e identifique qual deles é um máximo e qual é um mínimo.

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1. O numerador, o denominador e as respetivas derivadas:
  
  $\begin{aligned}u&=x,&u'&=1\\v&=x^{2}+1,&v'&=2x\end{aligned}$
2. Juntando tudo e simplificando o numerador:
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-x\cdot2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\\&=\dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}$
3. O denominador, (x² + 1)², é positivo para todo o x, pelo que f′ tem o sinal de 1 − x²: anula-se em ±1, é positiva entre eles e negativa fora.
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=0\iff x=\pm1\\&f'(0)=1>0,\qquad f'(\pm2)=-\tfrac{3}{25}<0\end{aligned}$
Resposta

Um máximo f(1) = 1/2 e um mínimo f(−1) = −1/2. Em x = 1, a página apresenta u′v e uv′ ambos com o valor 2, pelo que a sua diferença, e com ela o declive, é 0.

$f_{\max}=f(1)=\tfrac12,\qquad f_{\min}=f(-1)=-\tfrac12$
Dividir primeiro 3 passos
Derive f(x) = (x³ − 2)/x² de duas maneiras, pela regra do quociente e dividindo primeiro, e determine o declive em x = 1.

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1. Pela regra do quociente, com u = x³ − 2 e v = x²:
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{3x^{2}\cdot x^{2}-\left(x^{3}-2\right)\cdot2x}{x^{4}}\\&=\dfrac{x^{4}+4x}{x^{4}}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
2. Dividir primeiro transforma o quociente em duas potências, derivando-se cada uma por si:
  
  $\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{2}{x^{2}}=x-2x^{-2}\\f'(x)&=1+4x^{-3}=1+\dfrac{4}{x^{3}}\end{aligned}$
3. Ambos os métodos conduzem à mesma derivada e, em x = 1:
  
  $f'(1)=1+4=5$
Resposta

f′(x) = 1 + 4/x³ e f′(1) = 5. Quando o denominador é uma única potência de x, basta dividir cada termo do numerador por ela e dispensa-se a regra do quociente. A página recorre sempre à regra: em x = 1, apresenta u′v = 3 e uv′ = −2, pelo que o numerador da fração é 3 − (−2) = 5, sobre v² = 1.

$f'(x)=1+\dfrac{4}{x^{3}},\qquad f'(1)=5$
Uma caixa cujas três dimensões variam 4 passos
Acrescente ao retângulo uma profundidade w = 3 − x, de modo que a caixa tenha lados x + 1, 2x + 1 e 3 − x. Determine a taxa de variação do seu volume em x = 1 e, de seguida, o valor exato de ΔV/h para um passo h. Prima Problema resolvido: em x = 1 a página indica (uv)′ = 7, e ΔA/h = 8 quando h = ½.

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1. Encare a caixa como o retângulo uv multiplicado pela profundidade w e aplique a regra do produto duas vezes. A página já calculou a regra interior:
  
  $(uvw)'=(uv)'\,w+uv\,w'=7\cdot2+6\cdot(-1)=8$
2. Confirme em percentagem. As dimensões variam a 1 em 2, 2 em 3 e −1 em 2 do seu próprio valor e, num produto, as taxas somam-se:
  
  $\frac{V'}{V}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3},\qquad V'=12\cdot\frac{2}{3}=8$
3. Vejamos agora o passo exato. Com lados retos, temos Δu = h, Δv = 2h e Δw = −h; ao expandir a expressão, sobram três placas, três arestas e um cubo no canto:
  
  $\Delta V=(2+h)(3+2h)(2-h)-12=8h-3h^{2}-2h^{3}$
4. Divida por h. As placas fornecem a derivada; as arestas e o cubo carregam as potências de h que se anulam:
  
  $\frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2},\qquad h=1:\ 3,\qquad h=\tfrac{1}{2}:\ 6$
Resposta

V′(1) = 8, com ΔV/h = 8 − 3h − 2h² exatamente. As três placas u′vw, uv′w e uvw′ (6, 8 e −6) sobrevivem ao limite; as três arestas, totalizando −3, surgem multiplicadas por h, e o cubo u′v′w′ = −2 por h². Um passo de uma unidade inteira altera o volume em 3, de 12 para 15, o que fica longe de 8: em h = 1, as arestas e o cubo pesam tanto como qualquer outro termo.

$V'(1)=8,\qquad \frac{\Delta V}{h}=8-3h-2h^{2}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Derive (2x + 1)(x² − 3).

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6x² + 2x − 6

$f'(x)=6x^{2}+2x-6$
Derive x³eˣ e escreva a resposta na forma fatorizada.

Mostrar resposta

x²eˣ(x + 3)

$f'(x)=x^{2}e^{x}(x+3)$
Derive (x + 1)/(x − 1).

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−2/(x − 1)², negativa onde quer que esteja definida

$f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}}$
Determine onde ln x / x é estacionária e o respetivo valor.

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f′(x) = (1 − ln x)/x², nula em x = e, onde f = 1/e ≈ 0,3679

$\begin{aligned}&f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\\&x=e,\quad f(e)=\tfrac1e\approx0{.}3679\end{aligned}$
Derive sen x / x.

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(x cos x − sen x)/x²

$f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}$
Determine a reta tangente a y = x/(x + 1) em x = 1.

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y′ = 1/(x + 1)², pelo que o declive é 1/4 e a reta tangente é y = x/4 + 1/4

$y=\tfrac14x+\tfrac14$

A regra errada é o canto

Clique em O canto e observe um passo completo. O retângulo ganha uma faixa à direita, outra no topo e um pequeno canto que vale exatamente u′v′. Reduza agora h a metade, e torne a reduzi-lo. Divididas por h, as duas faixas mantêm o seu tamanho; já o canto encolhe com h até desaparecer no limite. A hipótese (uv)′ = u′v′ preserva assim a única parcela que o limite descarta, e deita fora as duas que sobrevivem. Leibniz cometeu este engano num manuscrito de 11 de novembro de 1675, refutando-o ele próprio duas páginas adiante ao testar x vezes x.

Em percentagem, as taxas somam-se no produto e subtraem-se no quociente

Clique em Percentagem. Um dos lados cresce 3% do seu valor por unidade de x, o outro cresce 2%, e a área aumenta 5%. Divida a regra do produto por uv e verá esta relação cumprir-se para qualquer x e qualquer par de funções: as taxas relativas somam-se. Continuam a somar-se mesmo quando uma delas é negativa — daí que aumentar preços em 3% perante uma quebra de vendas de 2% ainda eleve as receitas em cerca de 1%. Clique em Razão: com estes mesmos dois lados, o quociente cresce 1%, porque no quociente as taxas se subtraem. O sinal de menos na regra do quociente traduz precisamente essa subtração.

Duas faixas que se anulam no produto somam-se no quociente

Clique em Equilíbrio: os lados medem sin x e cos x, em x = π/4. A largura cresce ao mesmo ritmo a que a altura diminui; por serem iguais e opostas, as duas faixas compensam-se e a área deixa de variar. É a maior dimensão que este retângulo alguma vez alcança. Clique em tan x e acompanhe as mesmas duas faixas na regra do quociente, onde o sinal de menos transforma a anulação numa soma. Com a diminuição de v, o quociente aumenta, de modo que a faixa subtraída no produto passa a somar no quociente.

Percurso de aprendizagem

Derivação: como se combinam as taxas

Referências (2)

Leibniz's guess that d(xy) is dx·dy, its apparent agreement with one example, and its refutation with x times x (“becomes 2βx, which is quite a different thing from” the product of the increments), in a manuscript dated 11 November 1675; and the later derivation d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy with dx dy omitted as infinitely small: J. M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt, with critical and historical notes. Chicago and London: Open Court, 1920. Pp. 100–102 (manuscript dated 11 November 1675) and p. 143 (Elementa calculi novi, undated).
The product rule (Theorem 3.5) and quotient rule (Theorem 3.6) as the page states them; the warning that the derivative of a product is not the product of the derivatives, with x² as the example (2x, not 1·1); the proof of the product rule from the limit definition, which uses the continuity of the second factor (the lesson's `assumes`): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.3, “Differentiation Rules”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.