As derivadas parciais e o gradiente

Arrasta o ponto pelo mapa de curvas de nível. As duas derivadas parciais dão os declives segundo os eixos. Roda o seletor de direção: «Declive nesta direção» mostra o declive que sentirias ao caminhar nesse rumo.

A derivada parcial	$f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
O declive na direção de u	$\begin{aligned}&D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=\|\nabla f\|\cos(\theta-\theta_g)\\ &\|\nabla f\|=\sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}}\end{aligned}$
O plano tangente	$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
O teste das segundas derivadas, num ponto onde ∇f = 0 (D < 0: ponto de sela)	$\begin{aligned}&D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\\ &D>0,\ f_{xx}>0:\ \min\qquad D>0,\ f_{xx}<0:\ \max\end{aligned}$

Exemplo resolvido — As derivadas parciais e o gradiente

Altura	3,5
∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Inclinação máxima \|∇f\|	5,000
Rumo de inclinação máxima	53,1°
Inclinação neste rumo	3,000
Plano tangente	3x + 4y − 3,5

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — As derivadas parciais e o gradiente

Uma derivada parcial de f(x, y) obtém-se derivando em relação a uma variável e mantendo a outra constante: f_x é o declive da superfície ao caminhar na direção de x; f_y, ao caminhar na direção de y.

O que significa cada símbolo

∇f: o gradiente, o vetor (f_x, f_y)
θ: o ângulo da direção, em graus a partir de este
D: o discriminante f_xx f_yy − f_xy²

De onde vem a fórmula

Mantém uma variável constante. Para calcular f_x, considera y constante e deriva como habitualmente; para f_y, faz o inverso.
$f=1.5x^{2}+2y^{2}:\quad f_x=3x,\quad f_y=4y$
O gradiente. As duas derivadas parciais formam um vetor, ∇f. A seta colorida no mapa representa-o: aponta no sentido da subida mais íngreme e a sua norma é o declive máximo.
$\nabla f=(f_x,\ f_y),\qquad|\nabla f|=\sqrt{f_x^{2}+f_y^{2}}$
Qualquer outra direção. O declive numa direção de ângulo θ é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário dessa direção. Equivale ao declive máximo multiplicado pelo cosseno do ângulo entre as duas direções e é 0 na direção tangente à curva de nível.
$\begin{aligned}D_{\mathbf u}f&=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta\\ &=|\nabla f|\cos(\theta-\theta_g)\end{aligned}$
O plano tangente. Perto de um ponto, a superfície aproxima-se de um plano cujos declives são as duas derivadas parciais. É a versão, para duas variáveis, da reta tangente da página sobre derivadas.
$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
Quando as duas derivadas parciais são 0. O ponto é crítico e a classificação depende do discriminante D: se D > 0 e f_xx > 0, há um mínimo; se D > 0 e f_xx < 0, há um máximo; se D < 0, há um ponto de sela. Para D = 0, o teste é inconclusivo.
$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}$

Problemas resolvidos na íntegra

Derivadas parciais de primeira e segunda ordem 4 passos
Para f(x, y) = x³y² − 2xy + y³, calcula f_x, f_y e as três derivadas parciais de segunda ordem em (1, 2), e verifica que as duas derivadas mistas coincidem.

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1. Para calcular f_x, considera y constante; para calcular f_y, considera x constante:
  
  $f_x=3x^{2}y^{2}-2y,\qquad f_y=2x^{3}y-2x+3y^{2}$
2. Em (1, 2):
  
  $f_x(1,2)=12-4=8,\qquad f_y(1,2)=4-2+12=14$
3. Deriva novamente. A derivada parcial mista pode calcular-se por qualquer das ordens de derivação:
  
  $f_{xx}=6xy^{2},\quad f_{yy}=2x^{3}+6y,\quad f_{xy}=(f_x)_y=6x^{2}y-2=(f_y)_x=f_{yx}$
4. Em (1, 2):
  
  $f_{xx}(1,2)=24,\qquad f_{yy}(1,2)=14,\qquad f_{xy}(1,2)=f_{yx}(1,2)=10$
Resposta

f_x = 8, f_y = 14, f_xx = 24, f_yy = 14 e f_xy = f_yx = 10. As duas derivadas mistas coincidem onde são contínuas, pelo teorema de Schwarz, também frequentemente atribuído a Clairaut. Qualquer polinómio satisfaz esta condição.
Declive numa direção e declive máximo 4 passos
Para f(x, y) = x²y + y³, calcula a taxa de variação em (2, 1) na direção do vetor (3, 4), bem como a taxa de variação máxima nesse ponto e a respetiva direção.

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1. Começa pelo gradiente:
  
  $\nabla f=\left(2xy,\ x^{2}+3y^{2}\right)\ \Rightarrow\ \nabla f(2,1)=(4,\ 7)$
2. A direção tem de ser representada por um vetor unitário. Como (3, 4) tem norma 5:
  
  $\mathbf u=\tfrac15(3,\ 4)=(0.6,\ 0.8),\qquad\theta=\operatorname{atan2}(4,3)=53.13^{\circ}$
3. A derivada direcional é o produto escalar:
  
  $D_{\mathbf u}f=4(0.6)+7(0.8)=2.4+5.6=8$
4. A taxa de variação máxima é a norma do gradiente e ocorre na direção e no sentido do próprio gradiente:
  
  $|\nabla f|=\sqrt{4^{2}+7^{2}}=\sqrt{65}=8.062,\qquad\theta_g=\operatorname{atan2}(7,4)=60.3^{\circ}$
Resposta

8 na direção de (3, 4); o máximo é √65 = 8,062, na direção de 60,3°. Esquecer a divisão de (3, 4) pela sua norma dá 40, um resultado cinco vezes maior do que o correto. É o erro mais frequente neste exercício.
Plano tangente e aproximação 3 passos
Determina o plano tangente a z = √(x² + y²) em (3, 4) e usa-o para obter um valor aproximado de √(3,02² + 3,97²).

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1. Em (3, 4), a altura é 5. As derivadas parciais são x/√(x² + y²) e y/√(x² + y²):
  
  $f(3,4)=5,\qquad f_x=\tfrac35=0.6,\qquad f_y=\tfrac45=0.8$
2. O plano tangente constrói-se com a altura e os dois declives:
  
  $z=5+0.6(x-3)+0.8(y-4)=0.6x+0.8y$
3. Em (3,02; 3,97):
  
  $z=0.6(3.02)+0.8(3.97)=1.812+3.176=4.988$
Resposta

O plano tangente é z = 0,6x + 0,8y e dá 4,988, face ao valor real de 4,988116. Perto de (3, 4), a superfície é quase plana e o plano acompanha-a de perto, tal como a reta tangente acompanhava a curva na página sobre derivadas.
Pontos críticos e teste das segundas derivadas 3 passos
Determina e classifica os pontos críticos de f(x, y) = x³ + y³ − 3xy.

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1. Iguala as duas derivadas parciais a 0:
  
  $f_x=3x^{2}-3y=0,\qquad f_y=3y^{2}-3x=0$
2. Da primeira equação obténs y = x². Substituindo na segunda, resulta x⁴ = x, pelo que x = 0 ou x = 1:
  
  $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x^{4}=x\ \Rightarrow\ x(x^{3}-1)=0\ \Rightarrow\ (0,0),\ (1,1)$
3. As derivadas parciais de segunda ordem são f_xx = 6x, f_yy = 6y e f_xy = −3. Aplica o teste a cada ponto:
  
  $D(0,0)=0\cdot0-(-3)^{2}=-9<0,\qquad D(1,1)=6\cdot6-(-3)^{2}=27>0,\ f_{xx}=6>0$
Resposta

(0, 0) é um ponto de sela e (1, 1) é um mínimo local, com f(1, 1) = −1. A superfície atinge valores inferiores: ao longo da reta y = x, temos f = 2x³ − 3x², que decresce sem limite quando x → −∞.
Declive de uma encosta que sobe 3 metros para este e 4 para norte 6 passos
Numa encosta, o terreno sobe 3 metros por cada 100 percorridos para este e 4 metros por cada 100 percorridos para norte. Qual é o declive máximo da encosta, em que direção desce e que direção deve seguir uma estrada para subir com metade desse declive?

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1. As duas medições são as derivadas parciais. É mais fácil lê-las como 3 e 4 por cada cem do que como 0,03 e 0,04, e o cálculo é o mesmo.
  
  $f_x = 3, \qquad f_y = 4$
2. O declive máximo é a norma do gradiente. Para o obter, aplica-se o teorema de Pitágoras aos declives medidos: 3 e 4 dão 5. É esse o maior declive que se sente ao caminhar.
  
  $|\nabla f| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
3. A direção é dada por atan2(4, 3), ou seja, 53,1° a partir de este. A descida faz-se no sentido oposto, a 233,1°. Nenhuma das medições foi feita nestas direções.
  
  $\theta_g = \operatorname{atan2}(4, 3) = 53.13^\circ$
4. Para uma estrada com declive de 2,5 por cada cem, usa a identidade no sentido inverso. Numa direção que faz um ângulo θ com a direção de maior declive, o declive é 5 cos θ. Logo, cos θ = 2,5/5 e θ = 60°.
  
  $D_u f = |\nabla f|\cos\theta \;\Rightarrow\; \cos\theta = \tfrac{2.5}{5}, \quad \theta = 60^\circ$
5. É preciso um desvio de 60°. A 45°, a estrada ainda subiria 3,54 por cada cem, ou seja, 71% do declive máximo, bastante acima de metade.
  
  $5\cos 45^\circ = 3.54 \quad (71\% \text{ of } 5)$
6. O mesmo cosseno determina o comprimento do percurso. Para vencer um dado desnível com metade do declive, é preciso percorrer o dobro da distância horizontal, enquanto o declive se mantiver. É esta relação que explica as curvas em ziguezague das estradas de montanha.
  
  $\text{length} \propto 1/\cos 60^\circ = 2$
Resposta

O declive máximo da encosta é 5 m por cada 100 m, com subida na direção de 53,1° e descida a 233,1°. Uma estrada com declive de 2,5 m por cada 100 m tem de fazer um ângulo de 60° com a direção de maior declive e percorrer o dobro da distância. A ferramenta responde à primeira parte: escolhe uma direção e ela dá-te o declive. A segunda parte coloca o problema inverso, o mesmo que surge ao projetar uma estrada, cumprir uma norma de acessibilidade para rampas ou classificar uma pista de esqui: dado o declive permitido, que direção é preciso seguir?
A direção de declive nulo e até onde se mantém horizontal 6 passos
Em (1, 1), na superfície 1,5x² + 2y², o painel indica um declive de 0,000 na direção de 143,1°. Calcula como varia a altura do terreno se continuares a caminhar nessa direção e decide se podes segui-la para te manteres à mesma altura.

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1. Esta direção fica a um quarto de volta da direção de maior declive, de 53,1°. As duas parcelas do produto escalar são −2,4 e +2,4, pelo que o indicador de declive mostra 0,000.
  
  $D_u f = 3\cos 143.13^\circ + 4\sin 143.13^\circ = 3(-0.8) + 4(0.6) = 0$
2. O declive nulo apenas nos informa sobre a primeira derivada. Calcula agora a segunda derivada na mesma direção. É a forma quadrática construída com as três derivadas parciais de segunda ordem, usando o mesmo cosseno e seno.
  
  $D_u^{2} f = f_{xx}\cos^{2}\theta + 2 f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\sin^{2}\theta$
3. Nesta superfície, f_xx é 3, f_yy é 4 e a derivada parcial mista é 0. A segunda derivada na direção de declive nulo é, portanto, 3,36. Como é positiva, o terreno encurva para cima.
  
  $= 3(0.64) + 0 + 4(0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. A altura ao longo dessa reta descreve, por isso, uma parábola cujo ponto mais baixo é aquele onde estás. Ao avançares meia unidade, o terreno sobe 0,42, de 3,5 para 3,92. O painel do corte mostra precisamente essa curva.
  
  $f(s) \approx 3.5 + \tfrac{1}{2}(3.36)\,s^{2} = 3.5 + 1.68\,s^{2}; \qquad s = 0.5:\ \ 3.92$
5. Podemos usar este resultado para estudar a curva de nível. A curva que mantém a altura afasta-se da tangente com uma curvatura igual à segunda derivada dividida pela norma do gradiente: 0,672, o que corresponde a um raio de curvatura de 1,488.
  
  $\kappa = \frac{D_u^{2} f}{|\nabla f|} = \frac{3.36}{5} = 0.672, \qquad R = \frac{1}{\kappa} = 1.488$
6. A fórmula habitual da curvatura de uma curva de nível dá o mesmo resultado apenas a partir das derivadas parciais, sem ser preciso indicar uma direção. Por ambos os métodos, o valor exato é 84/125.
  
  $\kappa = \frac{f_{xx}f_y^{2} - 2f_{xy}f_xf_y + f_{yy}f_x^{2}}{|\nabla f|^{3}} = \frac{3(16) + 4(9)}{125} = \frac{84}{125}$
Resposta

Não. Nessa direção, o declive só é nulo no instante inicial; depois, começas a subir. Ao percorreres meia unidade, ganhas 0,42 de altura, embora a primeira derivada previsse 0. As duas direções de declive nulo definem a tangente à curva de nível. Para manter a altura, tens de virar continuamente, com um raio de curvatura de 1,488 neste ponto. O painel dá-te a tangente; a curvatura indica até onde ela é uma boa aproximação.

$\kappa = \frac{f_{xx}f_y^{2} - 2f_{xy}f_xf_y + f_{yy}f_x^{2}}{|\nabla f|^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Problemas suplementares, só com a resposta

Para f(x, y) = e^xy, determine f_x, f_y e f_xy.

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f_x = y e^xy, f_y = x e^xy e f_xy = (1 + xy) e^xy.

$\begin{aligned}&f_{x}=ye^{xy},\quad f_{y}=xe^{xy}\\&f_{xy}=(1+xy)e^{xy}\end{aligned}$
Seja z = x²y, com x = cos t e y = sin t. Determine dz/dt em t = π/4.

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−√2/4 ≈ −0,3536, pela regra da cadeia: dz/dt = z_x x′ + z_y y′ = −2xy sin t + x² cos t.

$\frac{dz}{dt}=-\frac{\sqrt2}{4}\approx-0{.}3536$
As medidas do raio e da altura de um cilindro são r = 3 cm e h = 10 cm, com erros máximos de 0,05 cm e 0,1 cm, respetivamente. Estime o erro máximo no volume V = πr²h.

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dV = 2πrh dr + πr² dh = 3π + 0,9π = 3,9π ≈ 12,25 cm³, cerca de 4% de V = 90π.

$dV=3\pi+0{.}9\pi=3{.}9\pi\approx12{.}25\ \mathrm{cm^{3}}$
Determine dy/dx no ponto (1, 2) da curva x² + xy + y² = 7.

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−4/5, pois dy/dx = −F_x/F_y = −(2x + y)/(x + 2y).

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}=-\frac45$

A colina é mais íngreme do que tudo o que mediu

Coloca-te em (1, 1) na superfície 1,5x² + 2y². Caminha para este e o terreno sobe com declive 3. Para norte, o declive é 4. O maior declive neste ponto é 5, na direção de 53,1°, que não seguiste. Uma derivada parcial dá apenas o declive segundo um eixo, e a orientação dos eixos depende de como alguém colocou a folha. Os dois declives combinam-se pelo teorema de Pitágoras. Assim, o maior declive é √(f_x² + f_y²): nunca é inferior ao valor absoluto de qualquer das derivadas parciais e é superior a ambos quando nenhuma é nula. A diferença é maior quando as duas têm o mesmo valor: se medires 1 segundo cada eixo, o maior declive do terreno é 1,414, ou seja, 41% acima do que cada medição indicou.

Todos os rumos em simultâneo, num só cosseno

Dá uma volta completa ao seletor e observa o indicador de declive. Os valores descrevem um cosseno, |∇f| cos(θ − θ_g), em que θ_g é a direção de maior declive. Esta expressão resume todo o comportamento de primeira ordem de uma superfície suave num ponto. Uma das suas consequências vê-se no mapa: onde o gradiente não é nulo, há duas direções de declive nulo, a um quarto de volta para cada lado da direção de maior declive. Ambas são tangentes à curva de nível. É por isso que o caminho de subida mais íngreme cruza as curvas de nível em ângulo reto e que basta olhar para um mapa de curvas de nível para perceber o relevo. O mesmo cosseno desfaz uma ideia tentadora: com um desvio de 45° em relação à direção mais íngreme, ainda sobes com 71% do declive máximo. Desviar o caminho numa encosta reduz o declive bastante menos do que parece.

Plano em ambas as direções não é o topo

Prima Nem topo nem fundo. Na origem de x² − y², ambas as derivadas parciais são nulas, mas o ponto não é máximo nem mínimo: sobre o eixo x, fica no fundo de um vale; sobre o eixo y, no alto de uma crista. Prima agora Ambos os eixos planos, correspondente à superfície xy. Os dois eixos são rigorosamente horizontais: o painel das secções desenha uma linha plana a 0° e outra a 90°. Ainda assim, o ponto é de sela. A subida e a descida encontram-se nas diagonais, precisamente onde ninguém pensou procurar. A distinção é feita pelo discriminante f_xxf_yy − f_xy², que vale −4 na primeira superfície e −1 na segunda. Um valor negativo indica um ponto de sela; um valor positivo indica um máximo ou um mínimo, conforme o sinal de f_xx. Em x³ − 3xy², o discriminante é 0 e o teste nada permite concluir. A partir da origem, a superfície tem três cunhas ascendentes e três descendentes, invisíveis para todas as derivadas de segunda ordem usadas no cálculo.

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.