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Explorador de geometria analítica

Dois pontos determinam um segmento e uma reta inteira. Arraste um deles para ligar o triângulo retângulo, a distância exata, o ponto médio, o vetor diretor, a inclinação, as equações da reta e a mediatriz.

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A fórmula da distância é Pitágoras com o triângulo apagado

Costuma ser ensinada como coisa para decorar, e não é: baixe uma horizontal a partir de um ponto e uma vertical a partir do outro, e encontram-se em ângulo reto. Os catetos são Δx e Δy, o segmento é a hipotenusa, e d² = Δx² + Δy² é a² + b² = c² com o triângulo por desenhar. Esta ferramenta desenha-o. Experimente a predefinição 3-4-5 — catetos de 3 e 4, distância exatamente 5 — é o mesmo triângulo que aparece em todas as fichas de exercícios desde Euclides.

Um segmento vertical tem comprimento e não tem declive

Ponha os dois pontos em x = 3 e a ferramenta indica uma distância de 10 e um declive indefinido. As duas coisas estão certas, e é o par delas que interessa. O segmento está visivelmente ali e mede visivelmente 10 unidades, portanto «indefinido» não pode querer dizer que a reta falta ou é estranha — quer dizer que Δy ÷ Δx divide por zero, e a falha pertence à fórmula, não à reta. Uma reta vertical continua a ter equação, x = 3; apenas não é da forma y = mx + c, porque essa forma pressupõe que a cada x corresponde exatamente um y.

O ponto médio é exato onde a distância não é

O ponto médio é uma média: some os dois x, divida por dois, e o mesmo para os y. É aritmética, e cai num número que se pode escrever exatamente. A distância exige uma raiz quadrada, e raízes de somas de quadrados quase nunca são racionais. A diagonal unitária mostra as duas coisas ao mesmo tempo — o ponto médio é exatamente (0,5; 0,5) enquanto a distância é 1,41 e continua para sempre. Os mesmos dois pontos, uma resposta exata e outra aproximada, e a diferença está inteiramente na operação a que foi preciso recorrer.

A mediatriz é uma equação de equidade

Ative a mediatriz. Cada ponto P da reta verde satisfaz PA = PB. Ao elevar as distâncias ao quadrado, x² e y² cancelam-se: uma condição que parecia quadrática torna-se uma reta. No exemplo 3-4-5 é 6x + 8y = 39.

Problemas resolvidos na íntegra

  1. A distância da origem à reta 4x − 3y = 1 7 passos

    A ferramenta apresenta a reta que passa por A e B como 4x − 3y = 1, e o segmento como tendo exatamente 5. Pergunte-lhe a que distância essa reta passa de um ponto que não lhe pertence — a origem, por exemplo —, e não obterá qualquer resposta. Deduza essa distância recorrendo apenas aos dois pontos.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Tudo o que se segue provém de uma única subtração. B − A é o trajeto de A para B: três na horizontal, quatro na vertical, que é exatamente o que as duas linhas dos catetos indicam.

      AB⃗=B−A=(4−1,  5−1)=(3,  4)\vec{AB}=B-A=(4-1,\;5-1)=(3,\;4)

    2. Esses catetos formam os lados de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento, de modo que o seu comprimento é Pitágoras e nada mais. Este é o par onde a raiz dá um número exato. Como 25 é um quadrado perfeito, a linha de valor exato exibe 5 em vez de um radical.

      ∣AB∣=(Δx)2+(Δy)2=32+42=9+16=25=5|AB|=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

    3. A equação não requer qualquer divisão. Todos os pontos da reta mantêm a mesma inclinação com A. Ao eliminar a fração, a expressão transforma-se em Δy·x − Δx·y, igual ao valor dessa combinação no ponto A. Esta é a forma que consta na página, e é a única que se mantém válida num segmento vertical, quando se torna impossível escrever y = mx + c.

      Δy x−Δx y=Δy ax−Δx ay:4x−3y=4(1)−3(1)=1\Delta y\,x-\Delta x\,y=\Delta y\,a_x-\Delta x\,a_y:\qquad 4x-3y=4(1)-3(1)=1

    4. Agora analise os coeficientes que acabou de produzir. O par (4, −3) corresponde a (Δy, −Δx): o segmento rodado num ângulo reto. A rotação de um vetor não altera o seu comprimento, logo, a normal tem 5 de comprimento — o mesmo 5 de AB. Isso não é um mero acaso desta configuração; é uma propriedade válida para qualquer par de pontos e é o que torna o passo seguinte tão simples.

      n=(Δy, −Δx)=(4, −3),∣n∣=42+(−3)2=5=∣AB∣\mathbf{n}=(\Delta y,\,-\Delta x)=(4,\,-3),\qquad |\mathbf{n}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5=|AB|

    5. Avance uma unidade ao longo da normal e o primeiro membro sofrerá uma variação de 5, que é o próprio comprimento da normal. Consequentemente, o valor que a expressão assume em qualquer ponto corresponde à distância até à reta multiplicada por 5. Substitua pela origem: o numerador reduz-se a 1, o denominador é esse mesmo 5, e a reta passa a exatamente um quinto de distância da origem.

      d(P)=∣4px−3py−1∣∣n∣,d(O)=∣0−0−1∣5=15=0.2d(P)=\frac{|4p_x-3p_y-1|}{|\mathbf{n}|},\qquad d(O)=\frac{|0-0-1|}{5}=\frac{1}{5}=0.2

    6. Percorra esse quinto e alcançará a própria reta. O pé da perpendicular encontra-se em (0,16; −0,12), e se substituir esses valores de volta em 4x − 3y, o resultado será 0,64 + 0,36 = 1 — sobre a reta, e a 0,2 do ponto de partida.

      F=O−n⋅O−1∣n∣2 n=125(4, −3)=(0.16, −0.12),4(0.16)−3(−0.12)=0.64+0.36=1F=O-\frac{\mathbf{n}\cdot O-1}{|\mathbf{n}|^{2}}\,\mathbf{n}=\frac{1}{25}(4,\,-3)=(0.16,\,-0.12),\qquad 4(0.16)-3(-0.12)=0.64+0.36=1

    7. Uma consequência surge de forma imediata. Se o denominador da fórmula da distância é |AB|, então |AB| vezes essa distância equivale ao dobro da área do triângulo que tem O, A e B nos seus vértices.

      [OAB]=12 ∣AB∣ d(O)=12⋅5⋅0.2=0.5,12 ∣xAyB−xByA∣=12 ∣1⋅5−4⋅1∣=0.5[OAB]=\tfrac12\,|AB|\,d(O)=\tfrac12\cdot5\cdot0.2=0.5,\qquad \tfrac12\,|x_Ay_B-x_By_A|=\tfrac12\,|1\cdot5-4\cdot1|=0.5

    Resposta

    A reta passa a 0,2 da origem, e o triângulo OAB possui uma área de exatamente ½. Verifique a área através de um percurso que não menciona distâncias em momento algum: a fórmula de Shoelace resulta em ½|xAyB − xByA| = ½|5 − 4| = ½. São duas deduções que não partilham qualquer passo após a primeira subtração, chegando ao mesmo número. A ferramenta acompanha o raciocínio até à terceira linha e depois silencia-se. A distância até um ponto, o pé da perpendicular e a área são elementos que ela não calcula.

    d(P)=∣n⋅P−c∣∣n∣,∣n∣=∣AB∣=5 ⟹ d(O)=15=0.2,[OAB]=12⋅5⋅0.2=0.5d(P)=\frac{|\mathbf{n}\cdot P-c|}{|\mathbf{n}|},\quad |\mathbf{n}|=|AB|=5\ \Longrightarrow\ d(O)=\tfrac15=0.2,\qquad [OAB]=\tfrac12\cdot5\cdot0.2=0.5
  2. O que as leituras dos dois catetos revelam sobre a malha 6 passos

    O painel indica Δx = 10,0 e Δy = −10,0. Calcule por quantos pontos da malha este segmento passa no seu trajeto e decida se os dois catetos, por si só, bastariam para obter a resposta.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. Primeiro o comprimento, pois será dividido mais à frente. √(10² + 10²) = √200 = 10√2. O painel exibe este valor duas vezes: 14,14 arredondado e 10√2 exato.

      AB⃗=(10, −10),∣AB∣=102+102=200=102=14.14\vec{AB} = (10,\,-10), \qquad |AB| = \sqrt{10^{2}+10^{2}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} = 14.14

    2. Vamos escrever o segmento como um percurso. X(t) = A + t(Δx, Δy) = (−5 + 10t, 6 − 10t), com t a variar de 0 a 1.

      X(t)=A+t (Δx, Δy)=(−5+10t,  6−10t),0≤t≤1X(t) = A + t\,(\Delta x,\,\Delta y) = (-5+10t,\;6-10t), \qquad 0 \le t \le 1

    3. X(t) tem coordenadas inteiras quando tΔx e tΔy são ambos inteiros. Isso acontece exatamente quando t é múltiplo de 1/g, sendo g o máximo divisor comum de |Δx| e |Δy|. Aqui g = mdc(10, 10) = 10, logo t avança em décimos.

      X(t)∈Z2  ⟺  t Δx, t Δy∈Z  ⟺  t=mg,g=gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣)=gcd⁡(10,10)=10X(t) \in \mathbb{Z}^{2} \iff t\,\Delta x,\ t\,\Delta y \in \mathbb{Z} \iff t = \frac{m}{g}, \qquad g = \gcd(|\Delta x|,|\Delta y|) = \gcd(10,10) = 10

    4. Cada décimo avança de (Δx/g, Δy/g) = (1, −1), gerando nove pontos estritamente entre as extremidades: (−4, 5), (−3, 4) e assim sucessivamente até (4, −3). Encontram-se uniformemente espaçados, à distância de √2 entre si, porque o comprimento também é dividido por g.

      (Δxg,Δyg)=(1, −1):(−4,5), (−3,4), …, (4,−3)  — g−1=9 points, spaced ∣AB∣g=2\left(\tfrac{\Delta x}{g},\tfrac{\Delta y}{g}\right) = (1,\,-1): \quad (-4,5),\,(-3,4),\,\dots,\,(4,-3) \ \ \text{— } g-1 = 9 \ \text{points, spaced } \tfrac{|AB|}{g} = \sqrt{2}

    5. A mesma divisão indica quando o comprimento resulta num valor inteiro. |AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²), portanto o radical reside inteiramente no par reduzido. Neste caso, esse par é (1, 1) e nada consegue eliminar a √2. Na predefinição 3-4-5, temos g = 1 e o par reduzido é (3, 4), um par de catetos de um terno pitagórico. É por esse motivo que a distância surge exatamente como 5.

      ∣AB∣=g(Δxg)2+(Δyg)2=1012+12;(3,4): g=1, 32+42=5|AB| = g\sqrt{\left(\tfrac{\Delta x}{g}\right)^{2} + \left(\tfrac{\Delta y}{g}\right)^{2}} = 10\sqrt{1^{2}+1^{2}}; \qquad (3,4):\ g = 1,\ \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5

    6. O ponto médio não exige cálculos adicionais. É o ponto onde t = ½, logo incide sobre a malha exatamente quando ½ é múltiplo de 1/g. Ou seja, quando g é par. Aqui, g = 10 e o ponto médio (0, 1) é o quinto dos nove. Na predefinição 3-4-5 temos g = 1, e o ponto (2,5; 3) fica entre as linhas da malha.

      M=(ax+bx2, ay+by2)∈Z2  ⟺  Δx, Δy both even:(0, 1) ✓,(3,4)⇒(2.5, 3) ×M = \left(\tfrac{a_x+b_x}{2},\,\tfrac{a_y+b_y}{2}\right) \in \mathbb{Z}^{2} \iff \Delta x,\ \Delta y \ \text{both even}: \quad (0,\,1)\ \checkmark, \qquad (3,4) \Rightarrow (2.5,\,3)\ \times

    Resposta

    Nove, e sim. O máximo divisor comum dos dois catetos determina tudo e ambos constam do painel: um segmento entre pontos da malha cruza outros g − 1, o seu comprimento só é racional quando o par reduzido é pitagórico, e o seu ponto médio só é um ponto da malha quando g é par. Este último teste tem uma consequência que vale a pena reter. Um ponto da malha enquadra-se numa de quatro classes consoante a paridade das suas duas coordenadas. Assim, entre cinco pontos quaisquer, dois têm de partilhar a mesma classe, e o ponto médio desses dois recai sobre a malha.

    g=gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣):g−1 lattice points between,∣AB∣∈Q  ⟺  (Δxg,Δyg) is a Pythagorean pairg = \gcd(|\Delta x|,|\Delta y|): \quad g-1 \ \text{lattice points between}, \quad |AB| \in \mathbb{Q} \iff \left(\tfrac{\Delta x}{g},\tfrac{\Delta y}{g}\right) \ \text{is a Pythagorean pair}

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Referências (2)
  • the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
  • the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.