Taxas Relacionadas

Sempre que duas grandezas estão vinculadas por uma equação ao longo do tempo, as respetivas taxas de variação ficam ligadas pela sua derivada. Escolha um cenário, defina o instante e percorra os cinco passos: a página coloca a resposta da regra da cadeia lado a lado com a taxa medida apenas pelo movimento, desenhando essa taxa ao longo de todo o intervalo.

Taxas relacionadas	$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$

Altura do topo, y (m)	4
Taxa de variação do topo, y′ (m/s)	−0,375
Velocidade do topo em múltiplos da base	0,75
Ângulo com o chão, θ (graus)	53,1
Tempo até o topo atingir o chão (s)	4
Altura em que essa força se anula (m)	0,752

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

Chamam-se taxas relacionadas às derivadas temporais de grandezas ligadas entre si por uma equação. Quando uma relação como x² + y² = L² se mantém válida em qualquer instante, derivar ambos os membros em ordem a t, mediante a regra da cadeia, conduz a uma equação entre as taxas x′ e y′; deste modo, o conhecimento de uma taxa determina a outra em todo o ponto onde x e y sejam conhecidos. A ordem dos passos é crucial: primeiro deriva-se, só depois se introduzem os valores numéricos do instante.

O que significa cada símbolo

x′: dx/dt, a taxa de variação de x no tempo
y*: a altura em que o topo de uma escada uniforme perde o contacto com a parede, (2a²L²/(3g))^⅓

Pressupõe: Assume-se que a escada é rígida, que a sua base se move a velocidade constante e que o topo se mantém encostado à parede; o cone é geometricamente perfeito e a sombra resulta de uma fonte pontual de luz. A força exercida pela parede corresponde ao caso de uma escada homogénea sobre superfícies sem atrito, com g = 9,81 m/s². As taxas propriamente ditas decorrem unicamente da geometria.

A escada 3-4-5 3 passos
Uma escada de 5 m apoia-se numa parede com o pé a 3 m desta, afastando-se a 0,5 m/s. Com que velocidade desce o topo e quanto tempo falta até o pé atingir 5 m?

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1. A relação é válida a cada instante. Neste, fornece a altura do topo:
  
  $x^{2}+y^{2}=5^{2},\qquad x=3\ \Rightarrow\ y=\sqrt{25-9}=4$
2. Derive em relação a t e substitua os valores deste instante:
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{3}{4}\times0{.}5=-0{.}375\ \mathrm{m/s}$
3. Restam 2 m para o pé percorrer, a uns constantes 0,5 m/s:
  
  $t=\frac{L-x}{x'}=\frac{5-3}{0{.}5}=4\ \mathrm{s}$
Resposta

O topo desce a 0,375 m/s e o pé atinge 5 m ao fim de 4 s. O sinal negativo indica que a altura diminui. Trata-se de uma taxa num único instante: um segundo depois, o pé já estará a 3,5 m e o topo descerá mais depressa.

$y'=-0{.}375\ \mathrm{m/s},\qquad t=4\ \mathrm{s}$
Um cone a encher a meia altura 3 passos
Entra água a 2 m³/min num cone com 4 m de profundidade e 2 m de raio no bordo, com o vértice para baixo. Com que rapidez sobe o nível aos 2 m de profundidade, e como se compara essa velocidade com a do bordo?

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1. A semelhança de triângulos relaciona o raio da superfície com a profundidade, reduzindo o volume a uma única variável:
  
  $\frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{2}{4}\ \Rightarrow\ r=\frac{h}{2},\qquad V=\frac{\pi}{3}r^{2}h=\frac{\pi}{12}h^{3}$
2. Derive. O fator que multiplica h′ é a área da superfície:
  
  $V'=\frac{\pi}{4}h^{2}\,h'=\pi r^{2}\,h'\ \Rightarrow\ h'=\frac{Q}{\pi r^{2}}=\frac{2}{\pi\cdot1^{2}}=0{.}6366\ \mathrm{m/min}$
3. No bordo, a superfície tem o dobro do raio:
  
  $h=4,\ r=2:\qquad h'=\frac{2}{\pi\cdot2^{2}}=0{.}1592\ \mathrm{m/min}$
Resposta

O nível sobe a 2/π ≈ 0,6366 m/min, quatro vezes os 0,1592 m/min registados no bordo. Elimine r antes de derivar. Derivar V = πr²h/3 com a variável r ainda presente introduz r′ como uma segunda taxa desconhecida.

$h'=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366\ \mathrm{m/min},\qquad \frac{0{.}6366}{0{.}1592}=4$
A ponta da sombra 3 passos
Um candeeiro situa-se a 6 m de altura num poste. Uma pessoa com 1,8 m de altura afasta-se dele a 1,5 m/s. Quando se encontra a 4 m do poste, qual é o comprimento da sua sombra, a que velocidade esta cresce e com que rapidez se move a sua ponta?

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1. O raio de luz que passa pela cabeça cria dois triângulos semelhantes. Isole o comprimento s da sombra:
  
  $\frac{s}{1{.}8}=\frac{d+s}{6}\ \Rightarrow\ 4{.}2\,s=1{.}8\,d\ \Rightarrow\ s=\frac{1{.}8\times4}{4{.}2}=1{.}714\ \mathrm{m}$
2. Derive. Como s é um múltiplo fixo de d, a sua taxa de variação é esse mesmo múltiplo de d′:
  
  $s'=\frac{1{.}8}{4{.}2}\,d'=\frac{1{.}8\times1{.}5}{4{.}2}=0{.}643\ \mathrm{m/s}$
3. A ponta da sombra dista d + s do poste:
  
  $(d+s)'=d'+s'=1{.}5+0{.}643=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
Resposta

A sombra mede 1,714 m, cresce a 0,643 m/s e a sua ponta desloca-se a 2,143 m/s. Nenhuma das taxas depende de d: faça a mesma pergunta aos 16 m e os resultados serão exatamente os mesmos.

$s'=0{.}643\ \mathrm{m/s},\qquad (d+s)'=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
A rapidez com que o ângulo se fecha 4 passos
Uma escada de 6,5 m está apoiada numa parede e a sua base desliza a 0,4 m/s. Quando a base se encontra a 2,5 m da parede, com que rapidez o topo desce? Em que posição da base ambas as extremidades se movem à mesma velocidade? E a que ritmo diminui o ângulo entre a escada e o chão quando a base está a 2,5 m? Prima Exercício resolvido para obter as duas primeiras respostas; a página não apresenta a terceira.

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1. A relação geométrica e a altura do topo no instante considerado:
  
  $x^{2}+y^{2}=6{.}5^{2},\qquad x=2{.}5\ \Rightarrow\ y=\sqrt{42{.}25-6{.}25}=6$
2. Derive em ordem a t e isole y′:
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{2{.}5}{6}\times0{.}4=-0{.}1667\ \mathrm{m/s}$
3. As extremidades deslocam-se à mesma velocidade quando x/y = 1, ou seja, quando x = y:
  
  $\frac{x}{y}=1\ \Rightarrow\ x=y=\frac{6{.}5}{\sqrt2}=4{.}596\ \mathrm{m}$
4. Para determinar a variação do ângulo, derive antes x = L cos θ e repare que L sen θ é y:
  
  $x=L\cos\theta\ \Rightarrow\ x'=-L\sin\theta\,\theta'=-y\,\theta'\ \Rightarrow\ \theta'=-\frac{x'}{y}=-\frac{0{.}4}{6}=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}$
Resposta

O topo desce a 0,1667 m/s, as velocidades igualam-se quando a base está a 4,596 m e o ângulo fecha-se a 0,0667 rad/s, cerca de 3,82° por segundo. A expressão θ′ = −x′/y partilha o denominador y com a velocidade do topo, pelo que também ela cresce sem limite à medida que a escada se aproxima do chão.

$y'=-0{.}1667\ \mathrm{m/s},\qquad x=4{.}596\ \mathrm{m},\qquad \theta'=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}\approx-3{.}82^{\circ}/\mathrm{s}$
O enchimento de um balão 3 passos
Insufla-se ar num balão esférico a 100 cm³/s. A que ritmo cresce o raio quando atinge 10 cm e com que rapidez varia a área da superfície nesse instante?
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1. A relação válida a cada instante e a respetiva derivada em ordem a t:
  
  $V=\tfrac43\pi r^{3}\ \Rightarrow\ V'=4\pi r^{2}\,r'$
2. Agora, o instante r = 10:
  
  $\begin{aligned}r'&=\dfrac{V'}{4\pi r^{2}}=\dfrac{100}{400\pi}\\&=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\end{aligned}$
3. A área da superfície dá-nos outra relação em r, derivada pelo mesmo processo:
  
  $\begin{aligned}S&=4\pi r^{2}\ \Rightarrow\ S'=8\pi r\,r'\\S'&=8\pi\cdot10\cdot\dfrac{1}{4\pi}=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Resposta

O raio cresce a 1/(4π) ≈ 0,0796 cm/s e a superfície a 20 cm²/s. Um fluxo constante de ar faz o raio crescer cada vez mais devagar: r′ decresce com 1/r², pois cada novo cm³ se distribui por uma superfície maior.

$\begin{aligned}&r'=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\\&S'=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Dois carros e um cruzamento 3 passos
O carro A está 0,6 km a norte de um cruzamento e aproxima-se a 50 km/h. O carro B encontra-se 0,8 km a leste e afasta-se a 60 km/h. A que velocidade varia a distância entre eles?
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1. Identifiquemos as distâncias: y é a distância de A ao cruzamento e x a de B. Como A se aproxima, a respetiva taxa de variação é negativa:
  
  $y'=-50,\quad x'=60,\quad s^{2}=x^{2}+y^{2}$
2. Derivamos a relação em ordem a t antes de substituir os valores:
  
  $\begin{aligned}2s\,s'&=2x\,x'+2y\,y'\\s'&=\dfrac{x\,x'+y\,y'}{s}\end{aligned}$
3. Neste instante, os carros distam 1 km entre si:
  
  $\begin{aligned}s&=\sqrt{0{.}8^{2}+0{.}6^{2}}=1\\s'&=0{.}8\cdot60+0{.}6\cdot(-50)\\&=48-30=18\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
Resposta

A distância aumenta a 18 km/h. A resposta não é nenhuma das velocidades, nem a soma de ambas. Cada carro conta apenas pela sua fração ao longo da linha que os une, x/s para B e y/s para A; assim, B acrescenta 48 km/h e A, ao aproximar-se, retira 30.

$s'=18\ \mathrm{km/h}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Uma pedra atirada a um lago gera uma onda circular cujo raio cresce a 3 cm/s. A que ritmo cresce a área no seu interior quando o raio atinge 10 cm?

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60π ≈ 188,5 cm²/s

$A'=60\pi\approx188{.}5\ \mathrm{cm^{2}/s}$
A aresta de um cubo cresce a 2 mm/s. Com que rapidez aumenta o seu volume quando a aresta mede 5 mm?

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150 mm³/s

$V'=150\ \mathrm{mm^{3}/s}$
Uma escada de 10 m desliza encostada a uma parede, afastando-se a base a 1 m/s. A que velocidade desce o topo quando a base está a 6 m da parede?

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0,75 m/s

$y'=-0{.}75\ \mathrm{m/s}$
Um balão sobe na vertical a 5 m/s a partir de um ponto a 100 m de um observador. A que ritmo aumenta o ângulo de elevação quando o balão se encontra a 100 m de altura?

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0,025 rad/s, cerca de 1,43°/s

$\theta'=0{.}025\ \mathrm{rad/s}\approx1{.}43^{\circ}/\mathrm{s}$
Uma bola de neve mantém a forma esférica ao derreter, perdendo 10 cm³/min. A que velocidade diminui o raio quando este mede 5 cm?

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1/(10π) ≈ 0,0318 cm/min

$r'=-\dfrac{1}{10\pi}\approx-0{.}0318\ \mathrm{cm/min}$
Um reservatório cónico, com o vértice para baixo, tem 6 m de profundidade e uma abertura com 3 m de raio. A água entra a 1 m³/min. A que velocidade sobe o nível quando a água atinge 2 m de profundidade?

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1/π ≈ 0,318 m/min

$h'=\dfrac{1}{\pi}\approx0{.}318\ \mathrm{m/min}$

A fórmula faz o topo da escada desabar no chão a velocidade infinita

A relação y′ = −(x/y)·x′ indica que o topo se move x/y vezes mais depressa do que a base. A razão é inferior a 1 enquanto a inclinação superar os 45°; abaixo desse valor, deixa de haver teto. À medida que o topo se aproxima do chão, y tende para zero e o resultado da fórmula dispara para o infinito. Prima Os últimos 10 cm para ver acontecer. O cálculo supõe que o topo nunca larga a parede, mas a hipótese falha: o topo precisa de ser empurrado por ela e, para uma escada homogénea puxada a velocidade constante, esse empurrão anula-se em y* = (2a²L²/(3g))^⅓ — 0,752 m nesta escada. Mais abaixo, a parede teria de puxar, pelo que o topo se descola. À direita da linha âmbar, a curva azul limita-se a prolongar a fórmula para além do ponto em que uma escada real abandona a parede.

A ponta da sombra mantém a mesma velocidade, independentemente da distância

Pela semelhança de triângulos, o comprimento da sombra é uma fração fixa da distância ao poste, s = pd/(P − p). Como uma fração constante de d cresce à mesma fração de d′, a posição em que se encontra não afeta a taxa. Prima Sombra a 4 m e depois Sombra a 16 m: a sombra fica quatro vezes mais comprida, mas ambas as taxas permanecem inalteradas, traçando retas horizontais no gráfico. No problema da escada, a velocidade disparava porque x² + y² = L² define uma curva. Aqui a relação é uma reta — e uma reta liga duas taxas através de uma constante.

Um cone atinge metade da profundidade num oitavo do tempo

O caudal de entrada espalha-se pela superfície da água, pelo que o nível sobe a h′ = Q/(πr²): depressa enquanto a superfície é pequena, lentamente assim que ela alarga. A meia profundidade, a superfície tem um quarto da área do bordo; por isso, o nível sobe quatro vezes mais depressa do que subirá no topo. E como o volume varia com o cubo da profundidade, metade da altura retém apenas um oitavo da água, sendo atingida num oitavo do tempo total de enchimento. Nenhuma destas razões depende das dimensões do cone ou do caudal. Mude-os à vontade: a meia profundidade, a página continuará a apresentar 4 e 12,5%. Prima Reiniciar e Executar para ver a subida disparar de início e avançar depois a passo de caracol.

Percurso de aprendizagem

Referências (1)

The five-step strategy the page's stepper follows (assign symbols, state what is given and what is wanted, find an equation relating the variables, differentiate both sides with respect to time by the chain rule, then substitute the known values and solve), with worked examples on a balloon, an aeroplane, a rocket launch and water draining from a cone-shaped funnel, and the ladder and lamppost-shadow problems among the exercises: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.1, “Related Rates”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

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O que significa cada símbolo

Problemas suplementares, só com a resposta

A fórmula faz o topo da escada desabar no chão a velocidade infinita 🖖

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Um cone atinge metade da profundidade num oitavo do tempo