Reorganizar Fórmulas

Desfaça as operações uma a uma até isolar a letra que procura. Apenas a mais externa pode ser desfeita: dividir por a antes de subtrair u dividiria u também.

Desfaz primeiro a última operação	$v=u+at\iff t=\frac{v-u}{a}$
Desfaz o quadrado com uma raiz quadrada	$A=\pi r^{2}\iff r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}\quad(r>0)$

Exemplo resolvido — Reorganizar Fórmulas

Passos necessários	2
Valores coincidem	4 vs 4 ✓

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Reorganizar Fórmulas375 palavras

Tornar uma letra o sujeito significa produzir uma fórmula equivalente com essa letra sozinha num dos lados. Saber se isso é possível desdobra-se em duas perguntas de aparência idêntica: se este método o consegue fazer e se alguma coisa o consegue.

O que significa cada símbolo

subject: a letra que procuramos isolar. A sua escolha altera por completo a dificuldade. A fórmula é indiferente a isso, mas a álgebra não.
±: o que uma raiz de índice par nos devolve: dois candidatos e nenhuma forma de escolher entre eles baseando-nos apenas na álgebra.

Pressupõe: Que cada operação entre nós e o sujeito pode ser desfeita, uma a uma, de fora para dentro. Isso verifica-se exatamente quando a letra surge uma única vez.
Falha quando: Em dois lugares bem distintos, e o objetivo é saber distingui-los. O método esgota-se quando a letra surge mais de uma vez. A fórmula s = ut + ½at² resiste ao isolamento passo a passo, e a página avisa disso mesmo. Mas essa fórmula é uma equação do segundo grau em t, e um método diferente resolve-a de forma exata. Com u = 3, a = 2 e s = 20 a resposta é t = 3.216991. Voltar a substituir este valor devolve 20,000000. Não existe ali nada de insolúvel. O isolamento passo a passo é, pura e simplesmente, o método errado para este caso. A equação em si oferece resistência na fórmula de Kepler M = E − e sin E. Nela, E surge tanto isolado como no interior de um seno. Nenhuma sequência finita de operações algébricas sobre M e e conseguirá, portanto, isolá-lo. Não se trata de um beco sem saída: Lagrange e Bessel apresentam a resposta sob a forma de uma série, e as funções de Bessel foram inventadas para os coeficientes. O que a série tem, em vez disso, é uma fronteira. Converge apenas para excentricidades abaixo do limite de Laplace, 0.662743419349. O cometa Halley, com e = 0.967, encontra-se fora desse limite. Assim, a resposta honesta a «será que isto pode ser reordenado?» tem três níveis: este método não consegue, outro método sim; nenhum método consegue, mas uma série sim; e a série tem um domínio de validade.

Problemas resolvidos na íntegra

O raio quando a área de um círculo é 78,54 cm² 7 passos
A área de um círculo é 78,54 cm². Calcule o raio e indique com exatidão onde termina a álgebra e começa a sua dedução.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comece pela fórmula original. A área A encontra-se isolada e r está oculto dentro de um quadrado.
  
  $A = \pi r^2$
2. Vamos trabalhar de fora para dentro. A operação mais externa aplicada a r é a multiplicação por π. Logo, comece por dividir ambos os membros da equação por π.
  
  $\frac{A}{\pi} = r^2$
3. Agora resolvemos o quadrado. Desfazê-lo é o momento exato em que uma entrada deixa de produzir uma única saída. É por esse motivo que a linha apresenta um ± em vez de uma simples raiz.
  
  $r = \pm\sqrt{\frac{A}{\pi}}$
4. O sinal ± cumpre uma função essencial: tanto +5 como −5 elevados ao quadrado resultam em 25, logo ambos são soluções corretas da equação r² = 25. A equação não sabe o que r significa.
  
  $(+5)^2 = 25 = (-5)^2$
5. Ao substituir o valor temos r = ±5 cm. A resposta é 5 porque um raio tem de ser um comprimento. Esta afirmação não tem nada de algébrico. Trata-se da única etapa em todo o problema que exigiu conhecer o significado das variáveis.
  
  $r = \pm\sqrt{\frac{78.54}{\pi}} = \pm 5$
6. Verifique os cálculos avançando no sentido normal. Este é o único teste que realmente importa. Volte a inserir o 5 na fórmula original e confirme se obtém a mesma área.
  
  $\pi (5)^2 = 78.54 \;\checkmark$
7. Repare no que mudaria noutro contexto. A mesma equação h² = 25 para uma altura acima ou abaixo de um referencial preserva ambas as respostas. A equação t² = 25 aplicada ao tempo mantém o −5 apenas se o relógio tiver começado a contar noutro instante. A álgebra permanece idêntica nos três cenários. A exclusão de valores é que não.
  
  $h^2 = 25 \;\Rightarrow\; h = \pm 5 \quad (\text{both})$
Resposta

r = 5 cm. A álgebra dá ±5 e fica-se corretamente por aí. Escolher o valor 5 reflete uma propriedade dos raios. Representa o único passo da resolução que a fórmula seria incapaz de fazer no seu lugar.
Fahrenheit como incógnita isolada, e a leitura em que as duas escalas concordam 6 passos
Isole F em C = 5(F − 32)/9 e verifique com a água a ferver. Decida depois se um termómetro pode alguma vez indicar o mesmo número nas duas escalas.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. F está enterrado a três níveis: dentro de um parêntesis, dentro de uma multiplicação por 5, dentro de uma divisão por 9. Descasque de fora para dentro, portanto o 9 sai primeiro.
  
  $C = \frac{5(F-32)}{9}$
2. Multiplique ambos os membros por 9 e divida depois por 5. Dois dos três movimentos, e nenhum deles tocou no parêntesis.
  
  $9C = 5(F-32) \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{9C}{5} = F - 32$
3. Some 32 e F fica sozinho. Três movimentos, que é o que o painel conta, e o cartão de verificação faz passar 100 °C pela fórmula reescrita e obtém 212.
  
  $F = \frac{9C}{5} + 32; \qquad C = 100:\ \ \frac{900}{5} + 32 = 180 + 32 = 212$
4. Agora a pergunta que este método recusa. Perguntar onde as duas escalas indicam o mesmo valor significa fazer F = C, o que coloca a letra dos dois lados. É aqui que a ferramenta para, porque já não há nada para onde descascar.
  
  $F = C: \qquad C = \frac{9C}{5} + 32$
5. Neste caso ambas as ocorrências são lineares, pelo que se juntam numa só e o descasque recomeça. A resposta é −40, e confirma-se: 9(−40)/5 + 32 dá −72 + 32.
  
  $C - \frac{9C}{5} = 32 \;\Longrightarrow\; -\frac{4C}{5} = 32 \;\Longrightarrow\; C = -40$
6. O mesmo agrupamento responde à versão geral. Fahrenheit é o dobro de Celsius a 160 °C, ou seja, 320 °F. Com k = 1,8 o denominador anula-se e não há resposta, porque as duas retas são paralelas e Fahrenheit vai sempre 32 à frente de 1,8 × Celsius.
  
  $F = kC: \qquad C = \frac{32}{k - 1.8}; \qquad k = 2 \;\Longrightarrow\; C = 160,\ F = 320$
Resposta

F = 9C/5 + 32, e as duas escalas concordam em −40. Três movimentos viram a fórmula do avesso, e o painel confirma-o ao levar 100 °C de volta a 212 °F. O ponto fixo exige um quarto movimento que a ferramenta não oferece: juntar os dois C. Isso só funciona porque ambos são lineares, e é nisso que reside toda a diferença entre este caso e a fórmula do deslocamento que a ferramenta recusa.

$F = kC \;\Longrightarrow\; C = \frac{32}{k - 1.8}: \qquad k = 1 \to -40, \quad k = 2 \to 160$
Duas operações: começa pela última 3 passos
Resolve v = u + at em ordem a t.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Para obter u + at, multiplicou-se t por a e somou-se u. Desfaz primeiro a adição: subtrai u a ambos os membros.
  
  $v-u=at$
2. Depois, desfaz a multiplicação: divide ambos os membros por a.
  
  $t=\frac{v-u}{a}$
3. Verifica com números: partindo do repouso (u = 0) e aumentando a velocidade em 10 m/s a cada segundo, são precisos 3 s para atingir 30 m/s.
  
  $t=\frac{30-0}{10}=3$
Resposta

t = (v − u)/a, desde que a ≠ 0.

$t=\frac{v-u}{a}\qquad(a\neq0)$
Uma fórmula com frações 4 passos
A fórmula das lentes é 1/f = 1/u + 1/v. Resolve-a em ordem a v.
Mostrar solução
1. Subtrai 1/u a ambos os membros para isolar 1/v.
  
  $\frac1v=\frac1f-\frac1u$
2. Escreve o segundo membro como uma única fração, com denominador comum uf.
  
  $\frac1v=\frac{u-f}{uf}$
3. Inverte ambos os membros. Dois números iguais e diferentes de zero têm inversos iguais.
  
  $v=\frac{uf}{u-f}$
4. Verifica: com u = 30 e f = 10, a fórmula dá v = 15, e 1/30 + 1/15 é igual a 3/30, ou seja, 1/10.
  
  $\begin{gathered}v=\frac{300}{20}=15\\\frac1{30}+\frac1{15}=\frac{3}{30}=\frac1{10}\end{gathered}$
Resposta

v = uf/(u − f), para u ≠ f. Inverter cada fração separadamente dá v = f − u, que na verificação resulta em −20. Logo, essa expressão não pode estar correta.

$v=\frac{uf}{u-f}\qquad(u\neq f)$

Problemas suplementares, só com a resposta

Resolve P = 2(l + w) em ordem a w.

Mostrar resposta

w = P/2 − l.

$w=\frac{P}{2}-l$
Resolve V = πr²h em ordem a h.

Mostrar resposta

h = V/(πr²).

$h=\frac{V}{\pi r^{2}}$
Resolve E = ½mv² em ordem a v, sabendo que v é positivo.

Mostrar resposta

v = √(2E/m).

$v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$
Resolve y = mx + c em ordem a x.

Mostrar resposta

x = (y − c)/m, para m ≠ 0.

$x=\frac{y-c}{m}$
Resolve s = ut + ½at² em ordem a a.

Mostrar resposta

a = 2(s − ut)/t², para t ≠ 0.

$a=\frac{2(s-ut)}{t^{2}}$

Uma fórmula é uma equação com letras bem comportadas

Isolar t em v = u + at implica subtrair u a ambos os membros e dividir ambos por a. Resolver 3x + 4 = 10 requer subtrair 4 a ambos os membros e dividir ambos por 3. São os mesmos dois passos, na mesma ordem e pelo mesmo motivo. Está a reverter a construção da expressão, começando pela operação mais externa. Este é o único princípio necessário. É por isso que não existem listas de regras exclusivas para fórmulas. A presença das letras cria uma ilusão de diferença, pois nenhum termo se condensa num número durante o processo. Assim, a resposta permanece uma expressão em vez de um valor.

Desfazer um quadrado devolve duas respostas e nenhum critério de escolha

Pressione A = πr² e isole r. A ferramenta exibe ±√(A / π) com significado literal, já que ambos os valores elevados ao quadrado resultam na mesma área. A álgebra fez todo o possível e devolveu duas alternativas. Descartar o resultado negativo é uma constatação puramente geométrica, pois não existem raios negativos, e não uma etapa algébrica. A mesma matemática aplicada num problema de física costuma preservar ambas as raízes. Um projétil a uma dada altura regista dois instantes de passagem, e o primeiro costuma ser aquele que não procurava, embora represente uma ocorrência real. O papel de distinguir as duas situações fica ao seu encargo, visto que a álgebra é cega ao contexto.

Quando a letra surge duas vezes, o método esgota-se

Pressione s = ut + ½at² e tente isolar t. A ferramenta recusa. Desconstruir uma equação exige reverter cada operação sequencialmente a partir do exterior. O processo só isola uma variável quando existe exatamente uma na expressão. Perante duas ocorrências, desaparece o núcleo em direção ao qual convergir. A fórmula em questão ganha o formato de uma quadrática em t e cede à fórmula correspondente. Trata-se de uma técnica diferente que gera um formato de resposta distinto, entregando duas raízes em vez de uma expressão simples. Inúmeras relações matemáticas não possuem um rearranjo analítico direto. A atitude mais honesta que a ferramenta pode ter nesses casos é admitir a complexidade do problema, em vez de exibir um cálculo muito confiante e totalmente incorreto.

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Referências (1)

The series that solves what peeling cannot, and the eccentricity at which it stops: P. Colwell, "Bessel Functions and Kepler's Equation." The American Mathematical Monthly 99:1 (1992), 45–48.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.