Números Negativos

Escolha dois números e uma operação. Observe os movimentos na reta. Não há regras para aceitar cegamente.

Subtrair um número negativo	$a-(-b)=a+b$
Sinais na multiplicação e na divisão	$\begin{gathered}(-a)(-b)=ab,\quad(-a)\,b=-ab\\(-a)\div(-b)=\tfrac{a}{b},\quad(-a)\div b=-\tfrac{a}{b}\end{gathered}$
O sinal de menos inverte a ordem	$a<b\iff-a>-b$

Exemplo resolvido — Números Negativos

Reflexões no zero	0
Distância entre ambos	8
Ordem original e negada	5 > -3 → -5 < 3
é o mesmo movimento que	5 + 3

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Números Negativos355 palavras

Um número negativo é o inverso aditivo de um positivo: −a é o único número que, somado a a, resulta em 0. Tudo o resto sobre os números negativos decorre dessa única frase, em conjunto com as regras comuns da aritmética, e esta secção demonstra o seguinte.

O que significa cada símbolo

a: um número qualquer, positivo ou negativo. A definição não faz distinção, razão pela qual −(−3) = 3 não precisa de uma regra à parte.
−a: o inverso aditivo de a: não um "a com um sinal de menos desenhado", mas sim a resposta a "o que devo somar a a para não obter nada?"
0: o elemento neutro da adição e o eixo central de todo o argumento. É o único número que deixa todos os outros inalterados na soma.

De onde vem a fórmula

Assuma que a propriedade distributiva, a(b + c) = ab + ac, é válida tanto para os negativos como para os positivos. Esta é toda a premissa e trata-se de uma escolha. Exigimos que a extensão da reta numérica não quebre as regras a que os positivos já obedecem.
Aplique-a a (−1)(1 + (−1)). O termo entre parênteses é 0, e qualquer valor multiplicado por 0 é 0, logo toda a expressão é 0.
Agora expanda a mesma expressão da outra forma: (−1)(1) + (−1)(−1), o que nos dá −1 + (−1)(−1).
Ambas as leituras têm de resultar na mesma resposta, portanto −1 + (−1)(−1) = 0. Existe exatamente um número que, somado a −1, resulta em 0, e é +1. Ninguém decidiu isto. É o único valor que mantém intacta a propriedade distributiva.

Pressupõe: Que a aritmética dos negativos obedeça à mesma propriedade distributiva da dos positivos. Abdique disso e poderá definir (−1)(−1) = −1 livremente. Mas nesse cenário (−3)((−3) + 1) será (−3)(−2) = −6, ao passo que (−3)(−3) + (−3)(1) será −9 + (−3) = −12, e as duas formas de interpretar uma expressão deixam de coincidir. Esse é o preço. É por isso que a regra dos sinais não é uma convenção.

Problemas resolvidos na íntegra

A subida de temperatura de um congelador a aquecer de −18 °C para −4 °C 7 passos
Um freezer está a −18 °C. Ele aquece para −4 °C. De quanto foi o aumento da temperatura, e quais são as duas maneiras de errar a conta?

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1. A maioria encontra 14 e acerta, então a parte interessante é observar os caminhos que levam ao erro. Escreva a variação como uma subtração comum: o valor novo menos o antigo.
  
  $(-4) - (-18)$
2. Subtrair −18 significa somar o seu oposto, logo a resposta é −4 + 18.
  
  $(-4) + 18 = 14$
3. 14 graus. A resposta errada comum é 22, resultado de somar os módulos como se ambos fossem distâncias a partir do nada: 18 + 4. A reta dificulta essa confusão, pois você consegue ver que −18 e −4 estão do mesmo lado do zero.
  
  $18 + 4 = 22$
4. A outra resposta errada comum é −22, que vem de tratar os dois sinais como instruções para ir para a esquerda. Trata-se do sinal do número sendo confundido com a operação, e vale a pena separar os dois explicitamente.
  
  $-(18 + 4) = -22$
5. Agora, a mesma pergunta na direção oposta. Resfriar de −4 de volta a −18 é uma variação de −14, e a distância continua sendo 14. Distância e variação são grandezas diferentes, e apenas uma delas carrega um sinal.
  
  $(-18) - (-4) = -14, \qquad |{-18} - ({-4})| = 14$
6. Isso ganha importância no momento de multiplicar. Dobrar uma variação de temperatura de −14 resulta em −28, uma inversão, e a leitura cai ainda mais. Reduzi-la à metade resulta em −7, e isso ainda é uma inversão. O negativo mora na variação, não no multiplicador.
  
  $2 \times (-14) = -28$
7. E aqui a ferramenta deixa de ser suficiente. O dobro de −18 °C não é −36 °C em sentido físico algum, pois o zero Celsius é uma convenção e não uma ausência de calor. Multiplicar uma temperatura por um número não tem sentido; multiplicar uma variação de temperatura por um número está perfeitamente correto. A aritmética não tem como lhe dizer qual das duas você tem em mãos.
  
  $2 \times (-18\,^\circ\mathrm{C}) \neq -36\,^\circ\mathrm{C}$
Resposta

Um aumento de 14 °C. Por extenso, −4 − (−18) = −4 + 18 = 14, e cada etapa é o mesmo movimento que a ferramenta desenha. As duas respostas erradas habituais, 22 e −22, nascem de confundir o sinal de um número com a direção de uma operação.
De −3 a 5, e os dois números que estão a 8 de distância 6 passos
Um mergulhador está 3 m abaixo da superfície e uma gaivota 5 m acima dela. Calcule a distância entre os dois e decida depois se essa distância, por si só, lhe permitiria repor a gaivota no sítio.

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1. O primeiro instinto a afastar é subtrair as grandezas. Cinco e três, portanto dois.
  
  $|5| - |-3| = 5 - 3 = 2$
2. A subtração propriamente dita. A variação é −8, que é o que o cartão do resultado indica, e a distância é a sua grandeza, 8.
  
  $(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8, \qquad \bigl|(-3) - 5\bigr| = 8$
3. Oito porque o percurso atravessa o zero, pelo que as duas profundidades se somam em vez de se anularem. Sempre que os números ficam em lados opostos do zero, a distância é a soma das suas grandezas.
  
  $x < 0 < y \;\Longrightarrow\; |x-y| = |x| + |y| = 3 + 5 = 8$
4. Do mesmo lado, subtraem-se. Um congelador que aquece de −18 para −4 desloca-se 14, que é 18 − 4. Uma regra com duas faces, e o que decide a face que lhe calha é o zero estar ou não entre os números.
  
  $x, y < 0 \;\Longrightarrow\; |x-y| = \bigl||x| - |y|\bigr|: \quad \bigl|-18 - (-4)\bigr| = 18 - 4 = 14$
5. Leia agora o cartão da distância ao contrário. Diz 8, e 8 é tudo o que diz. Há dois números a 8 de distância de −3, e a equação que os encontra tem duas soluções porque tomar a grandeza deitou fora um sinal.
  
  $\bigl|x - (-3)\bigr| = 8 \;\Longrightarrow\; x + 3 = \pm 8 \;\Longrightarrow\; x = 5,\; -11$
6. As duas respostas ficam sempre uma de cada lado do ponto a partir do qual foram medidas: a média delas é exatamente esse ponto. Cada par de números tem uma distância, e cada distância tem dois números por trás.
  
  $\frac{5 + (-11)}{2} = -3$
Resposta

8 m. O mergulhador e a gaivota estão em lados opostos do zero, pelo que as suas profundidades se somam em vez de se anularem. Leia esse mesmo 8 ao contrário e ele não identifica a gaivota: −11 está exatamente à mesma distância de −3 que 5, e o cartão da distância não os consegue distinguir, porque o sinal saiu dele quando se tomou a grandeza.

$|x - a| = d \;\Longrightarrow\; x = a \pm d \qquad (d > 0)$
Multiplicar e dividir números negativos 3 passos
Calcula (−6) × (−4) e (−24) ÷ 3.

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1. Começa pelos valores absolutos e deixa os sinais para depois: 6 × 4 = 24.
  
  $6\times4=24$
2. Ambos os fatores são negativos. Cada sinal negativo corresponde a uma simetria em relação ao zero, e duas simetrias fazem o resultado regressar ao lado positivo.
  
  $(-6)\times(-4)=+24$
3. Aqui só um dos números é negativo, por isso aplica-se uma única simetria: 24 ÷ 3 = 8 passa a −8. A divisão segue a mesma regra, pois dividir por 3 é multiplicar por ⅓.
  
  $(-24)\div3=-8$
Resposta

24 e −8. Conta os sinais negativos: se nenhum dos números for zero, uma quantidade par de sinais negativos dá um resultado positivo; uma quantidade ímpar dá um resultado negativo.

$(-6)\times(-4)=24,\qquad(-24)\div3=-8$
−3² não é o mesmo que (−3)² 3 passos
Calcula −3² e (−3)². Depois, calcula 2 − 3 × (−4).
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1. Calcula-se a potência antes de aplicar o sinal de menos que a precede, por isso −3² significa −(3²), ou seja, −9.
  
  $-3^{2}=-\left(3^{2}\right)=-9$
2. Com os parênteses, é o número −3 que se eleva ao quadrado. Dois fatores negativos dão um resultado positivo.
  
  $(-3)^{2}=(-3)\times(-3)=9$
3. A multiplicação tem prioridade sobre a subtração: 3 × (−4) = −12, e subtrair −12 é o mesmo que somar 12.
  
  $2-3\times(-4)=2+12=14$
Resposta

−9, 9 e 14. A única diferença entre as duas primeiras expressões está nos parênteses.

$\begin{gathered}-3^{2}=-9,\qquad(-3)^{2}=9\\2-3\times(-4)=14\end{gathered}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcula −7 + 12 e −7 − 12.

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5 e −19.

$-7+12=5,\qquad-7-12=-19$
Calcula 6 − (−9).

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15. Subtrair −9 é somar 9.

$6-(-9)=6+9=15$
Calcula (−5) × (−8) e (−36) ÷ (−4).

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40 e 9. Em cada operação há dois sinais negativos, por isso ambos os resultados são positivos.

$(-5)\times(-8)=40,\qquad(-36)\div(-4)=9$
Calcula −2 × 3 − (−4).

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−2. Multiplica primeiro: −6 − (−4) = −6 + 4.

$-2\times3-(-4)=-6+4=-2$
Qual é a distância entre −9 e 3 na reta numérica?

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12, pois |−9 − 3| = |−12|.

$|-9-3|=|-12|=12$

A subtração nunca foi uma segunda operação

Pressione 5 − (−3). A ferramenta reescreve a expressão como 5 + (3) antes de iniciar qualquer movimento, pois a subtração é fundamentalmente isto: a − b significa a + (−b), para qualquer a e qualquer b. A presença de valores negativos não cria um caso especial. Quando b é negativo, altera-se unicamente o sentido para o qual a seta aponta. A seta em si é a mesma. Assim, a regra de que "menos com menos dá mais" é o resultado lógico de escrevermos a subtração por extenso e repararmos que o oposto de −3 é 3. Mude o segundo número para o valor que quiser, positivo ou negativo. A equivalência expressa acima da reta numérica continuará sempre a ser verdadeira.

Multiplicar por um negativo reflete a reta

Pressione (−3) × (−4) e acompanhe três movimentos distintos: um alongamento até ao 12, uma reflexão em torno do zero para o −12 e uma segunda reflexão de regresso ao 12. Cada fator negativo introduz exatamente uma reflexão, que o ecrã contabiliza por si. Duas reflexões devolvem todos os pontos da reta à sua posição inicial. É por este motivo que o resultado é positivo. Isto também clarifica o que é um número negativo: uma direção. Multiplicar por −1 não reduz as grandezas. Apenas inverte a orientação da reta. Pressione agora ÷ mantendo os mesmos dois números. O contador de reflexões não se altera. Dividir por −4 equivale a multiplicar por −¼, e o número −¼ carrega esse mesmo sinal negativo único. A regra dos sinais, muitas vezes ensinada em duas partes, é na verdade uma só regra.

A inversão de sinal altera a ordem, e isso explica as desigualdades

Observe a linha de ordenação: −5 < −3. Inverta ambos os sinais para obter 5 > 3. A relação inverteu-se. Tinha necessariamente de o fazer, pois a mudança de sinal corresponde à reflexão abordada no bloco anterior, e inverter a reta troca a esquerda pela direita. Este comportamento verifica-se com qualquer par de números distintos. Teste com dois valores à sua escolha. É este o princípio que obriga uma inequação a mudar de sentido quando ambos os lados são multiplicados por um valor negativo. A maioria das pessoas depara-se com este facto anos mais tarde, descrito como uma exceção inexplicável. Na realidade, trata-se da mesma reflexão matemática, aplicada a uma comparação em vez de a um ponto.

Percurso de aprendizagem

Isolar o x, a partir do sinal de menos

Referências (1)

A Fields Medallist on why the rule that looks like a convention is not one, and why it took so long to accept: D. Mumford, "What's so Baffling About Negative Numbers? — a Cross-Cultural Comparison." In Studies in the History of Indian Mathematics, Hindustan Book Agency, 2010, pp. 113–143.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.