Calculadora de Cinemática (SUVAT)

resolva as equações do MRUV — informe 3 grandezas quaisquer e encontre as outras 2

A velocidade varia de a a cada segundo	$v=u+at$
Deslocamento: a área sob a reta velocidade–tempo	$\begin{gathered}s=ut+\tfrac12at^{2},\qquad s=vt-\tfrac12at^{2}\\ s=\tfrac12(u+v)\,t\end{gathered}$
Sem o tempo	$v^{2}=u^{2}+2as$

Exemplo resolvido — Calculadora de Cinemática (SUVAT)

Deslocamento (s)	36 m
Velocidade final (v)	13 m/s

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Calculadora de Cinemática (SUVAT)

Sob aceleração constante, cinco grandezas descrevem qualquer trecho de movimento retilíneo: o deslocamento s, a velocidade inicial u, a velocidade final v, a aceleração a e o tempo t. Três delas quase sempre fixam as outras duas. A exceção é calcular t a partir de s, u e a: caímos numa equação do segundo grau, logo uma bola lançada para cima pode passar pela mesma altura duas vezes — ou simplesmente nunca alcançá-la.

O que significa cada símbolo

s: deslocamento sobre a reta a partir da origem, com sinal; não confundir com a distância percorrida
u: velocidade no início do intervalo
v: velocidade no fim do intervalo
a: aceleração, idêntica em cada instante do intervalo
t: duração do intervalo

De onde vem a fórmula

Aceleração constante significa que a velocidade varia exatamente o mesmo valor em cada segundo. Ao fim de t segundos, variou at. No gráfico acima, isso traduz-se numa reta com declive a.
$v=u+at$
O deslocamento é a área sob a reta velocidade–tempo. Essa área é um trapézio de lados paralelos u e v e largura t.
$s=\tfrac12(u+v)\,t$
Substituindo a primeira equação na segunda, a variável v desaparece. O retângulo ut representa a distância à velocidade inicial; o triângulo ½at² é o acréscimo trazido pela aceleração.
$s=\tfrac12\bigl(u+(u+at)\bigr)\,t=ut+\tfrac12at^{2}$
Elimine antes t. O passo 1 fornece t = (v − u)/a e, ao aplicar essa relação no passo 2, o tempo desaparece por completo. Como v surge ao quadrado, esta equação pode fornecer duas velocidades.
$s=\tfrac12(u+v)\cdot\frac{v-u}{a}=\frac{v^{2}-u^{2}}{2a}\ \Rightarrow\ v^{2}=u^{2}+2as$
Escolha um sentido positivo antes de escrever qualquer número. As grandezas s, u, v e a têm sempre um sinal ao longo da reta; t nunca tem. Definindo para cima como positivo, a gravidade fica a = −9,81 m/s².
$\uparrow{+}:\quad a=-g=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}}$

Pressupõe: A aceleração mantém-se a mesma ao longo de todo o intervalo e o movimento não sai de uma única linha reta. Se a aceleração mudar durante o trajeto, este deve ser dividido em etapas, cada qual com as suas cinco grandezas (problema 8).

por que 5 letras e apenas 2 equações?

As cinco grandezas do modelo SUVAT estão longe de ser dados independentes. Qualquer fórmula do conjunto é mero rearranjo de v=u+at e s=ut+½at² — as outras três (s=(u+v)/2·t, v²=u²+2as, s=vt-½at²) decorrem diretamente de substituir uma na outra. Por isso 3 valores conhecidos bastam para fixar os outros 2: resolve-se sempre um sistema de 2 equações com 2 incógnitas. O método só falha numa situação: quando t é a incógnita em s=ut+½at², a equação do segundo grau pode fornecer dois instantes, como mostra bola passa duas vezes, ou nenhum.

A regra dos números ímpares de Galileu

Muito antes do cálculo, Galileu notou que um corpo acelerando a partir do repouso percorre distâncias na proporção 1 : 3 : 5 : 7 em intervalos iguais de tempo — sempre os números ímpares. Ao somar essas parcelas, os totais acumulados revelam 1, 4, 9, 16: os quadrados perfeitos, razão exata pela qual s = ½at². Ele publicou esse resultado em 1638 com esferas rolando por rampas, meio século antes dos Principia de Newton.

TEORIA DA CINEMÁTICA — AS CINCO EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

Escolher a equação SUVAT: que letra está faltando?

A aceleração constante liga cinco grandezas — deslocamento s, velocidade inicial u, velocidade final v, aceleração a e tempo t. Todo problema fornece três delas e pede uma quarta. Cada equação abaixo deixa de fora exatamente uma letra, então a que você quer é a que omite a grandeza que você não conhece nem precisa.

Sem s — usa v, u, a, t v = u + at

Sem v — usa s, u, a, t s = ut + ½at²

Sem a — usa s, u, v, t s = ½(u + v)t

Sem t — usa s, u, v, a v² = u² + 2as

Sem u — usa s, v, a, t s = vt − ½at²

Sem s — usa v, u, a, t

O que você sabe: Três entre velocidade inicial u, velocidade final v, aceleração a e tempo t. O deslocamento não aparece.

Equação: v = u + at

Exemplo resolvido: u = 25 m/s, v = 0, t = 5 s → a = (0 − 25) / 5 = −5 m/s²

Abrir este caso: freando até parar

Sem s — usa v, u, a, t. Gráfico velocidade-tempo: v é a altura da reta após o tempo t. O deslocamento não entra. Três entre velocidade inicial u, velocidade final v, aceleração a e tempo t. O deslocamento não aparece. — Gráfico velocidade-tempo: v é a altura da reta após o tempo t. O deslocamento não entra.

Sem v — usa s, u, a, t

O que você sabe: Velocidade inicial u, aceleração a e tempo t. Você quer a distância percorrida, não a velocidade no fim.

Equação: s = ut + ½at²

Exemplo resolvido: u = 0, a = 9,81 m/s², t = 3 s → s = 0 + ½ · 9,81 · 3² = 44,1 m

Abrir este caso: solto do repouso

Sem v — usa s, u, a, t. A área sob a reta se divide num retângulo ut mais um triângulo ½at². Velocidade inicial u, aceleração a e tempo t. Você quer a distância percorrida, não a velocidade no fim. — A área sob a reta se divide num retângulo ut mais um triângulo ½at².

Sem a — usa s, u, v, t

O que você sabe: Velocidade inicial u, velocidade final v e tempo t. A aceleração é desconhecida, ou simplesmente irrelevante.

Equação: s = ½(u + v)t

Exemplo resolvido: u = v = 12 m/s, t = 6 s → s = ½(12 + 12) · 6 = 72 m

Abrir este caso: velocidade constante

Sem a — usa s, u, v, t. Área do trapézio: a média de u e v, multiplicada por t. Velocidade inicial u, velocidade final v e tempo t. A aceleração é desconhecida, ou simplesmente irrelevante. — Área do trapézio: a média de u e v, multiplicada por t.

Sem t — usa s, u, v, a

O que você sabe: Deslocamento s, uma das duas velocidades e a aceleração. O cronômetro nunca é acionado.

Equação: v² = u² + 2as

Exemplo resolvido: s = 5 m, u = 15 m/s, a = −9,81 m/s² → v² = 225 − 98,1, ou seja v = ±11,3 m/s

Abrir este caso: bola passa duas vezes

Sem t — usa s, u, v, a. Mesma altura, duas velocidades: o ± é a subida e a descida. Deslocamento s, uma das duas velocidades e a aceleração. O cronômetro nunca é acionado. — Mesma altura, duas velocidades: o ± é a subida e a descida.

Sem u — usa s, v, a, t

O que você sabe: Velocidade final v, aceleração a e tempo t. A velocidade inicial é desconhecida e você não precisa dela.

Equação: s = vt − ½at²

Exemplo resolvido: v = 0, a = −3 m/s², t = 25 s → s = 0 − ½(−3)(25²) = 937,5 m

Abrir este caso: corrida de pouso

Sem u — usa s, v, a, t. Calculando de trás para frente: vt menos a fatia que a desaceleração remove. Velocidade final v, aceleração a e tempo t. A velocidade inicial é desconhecida e você não precisa dela. — Calculando de trás para frente: vt menos a fatia que a desaceleração remove.

Referências (1)

Insight block 3 — the odd-number rule, and the ramps it came from: G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden, 1638, Third Day — distances in the ratio 1 : 3 : 5 : 7 over equal times, which sum to the squares.

Problemas resolvidos na íntegra

Um carro a arrancar a 5 m/s e a acelerar a 2 m/s² 5 passos
Um carro começa a 5 m/s e acelera a 2 m/s² durante 4 segundos. Determine a velocidade e a distância — depois determine quando passa pelo ponto médio, que não ocorre a meio do tempo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Primeiro a velocidade, porque é a definição de aceleração reorganizada: a velocidade ganha é a taxa multiplicada pela duração.
  
  $v=u+at=5+2(4)=13\ \mathrm{m/s}$
2. O deslocamento é a velocidade inicial mantida durante quatro segundos, mais o que a aceleração adiciona. Os dois termos são 20 m e 16 m, e nenhum domina ainda.
  
  $s=ut+\tfrac12at^2=5(4)+\tfrac12(2)(16)=20+16=36\ \mathrm{m}$
3. Agora verifique com a equação que não contém o tempo. Esta devolve 169 de ambos os lados, o que não é um facto novo — são as primeiras duas equações com t eliminado, pelo que a concordância é garantida e a discordância significaria um erro de cálculo.
  
  $v^2=u^2+2as:\quad 169=25+2(2)(36)=25+144=169\ \checkmark$
4. A velocidade média é a média dos valores extremos, e apenas porque a aceleração é constante. Multiplique pelo tempo e obtém-se novamente o deslocamento.
  
  $\bar v=\frac{u+v}{2}=\frac{5+13}{2}=9\ \mathrm{m/s},\qquad 9\times4=36\ \mathrm{m}$
5. Agora o ponto médio. Metade da distância é 18 m, e a resolução da equação do segundo grau resulta em 2,424 s — e não 2 s. Para t = 2 s, o carro percorreu apenas 14 m dos 36.
  
  $5t+t^2=18\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{-5+\sqrt{97}}{2}=2.424\ \mathrm{s}$
Resposta

A ferramenta apresenta s = 36 m e v = 13 m/s. O passo 5 é o que vale a pena reter: sob aceleração, metade do tempo e metade da distância correspondem a momentos diferentes, e a segunda metade de qualquer percurso em aceleração é sempre a mais rápida. É por isso que uma ultrapassagem parece errada quando é planeada pela distância — o espaço visível fecha-se no tempo restante, não no espaço. O passo 3 é a outra metade da lição: existem cinco equações SUVAT e dois factos independentes, pelo que uma terceira equação pode confirmar o seu cálculo e nunca pode adicionar informação.

$t=2\ \mathrm{s}\to s=14\ \mathrm{m};\qquad s=18\ \mathrm{m}\to t=2{.}424\ \mathrm{s}$
Paragem numa distância conhecida 4 passos
Um carro a 20 m/s trava uniformemente até parar em 50 m. Determine a sua aceleração e o tempo que demora a parar.

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1. Adotemos o sentido do movimento como positivo e listemos as cinco grandezas. Parar significa v = 0. Como não conhecemos o tempo, o ponto de partida ideal é a equação onde t não entra:
  
  $s=50\ \mathrm{m},\quad u=20\ \mathrm{m/s},\quad v=0,\quad a=?,\quad t=?$
2. Isolando a em v² = u² + 2as:
  
  $a=\frac{v^{2}-u^{2}}{2s}=\frac{0-20^{2}}{2(50)}=-4\ \mathrm{m/s^{2}}$
3. O tempo calcula-se logo a partir da velocidade média, sem precisar sequer da aceleração:
  
  $t=\frac{2s}{u+v}=\frac{2(50)}{20+0}=5\ \mathrm{s}$
4. Confirmação pela definição de aceleração:
  
  $v=u+at=20+(-4)(5)=0\ \checkmark$
Resposta

a = −4 m/s², t = 5 s. O sinal negativo mostra que a aceleração se opõe ao movimento. Travando da mesma forma a 40 m/s, v² = u² + 2as dá 200 m: quatro vezes mais longe, já que a distância de paragem cresce com o quadrado da velocidade.

$a=-4\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad t=5\ \mathrm{s}$
Partida do repouso com distância e tempo conhecidos 3 passos
Um velocista parte do repouso e percorre os primeiros 20 m em 3,2 s com aceleração constante. Determine a aceleração e a velocidade na marca dos 20 m.

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1. Listemos as cinco grandezas. Partir do repouso impõe u = 0; como v ainda não faz falta, usamos a equação que não a contém:
  
  $s=20\ \mathrm{m},\quad u=0,\quad t=3{.}2\ \mathrm{s},\quad a=?,\quad v=?$
2. Isolando a em s = ut + ½at²:
  
  $s=ut+\tfrac12at^{2}\ \Rightarrow\ a=\frac{2(s-ut)}{t^{2}}=\frac{2(20-0)}{3{.}2^{2}}=3{.}906\ \mathrm{m/s^{2}}$
3. Em seguida, a velocidade, pela definição de aceleração:
  
  $v=u+at=0+3{.}906\times3{.}2=12{.}5\ \mathrm{m/s}$
Resposta

a = 3,906 m/s², v = 12,5 m/s. A velocidade final é exatamente o dobro da média, 20/3,2 = 6,25 m/s. Acontece sempre assim quando se parte do repouso: a média entre 0 e v é simplesmente v/2.

$a=3{.}906\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad v=12{.}5\ \mathrm{m/s}$
Lançamento vertical: no ponto mais alto 4 passos
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 14 m/s. Que altura atinge acima do ponto de lançamento e quanto tempo demora a lá chegar? Despreze a resistência do ar.

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1. Tomando o sentido ascendente como positivo, a aceleração da gravidade fica a = −9,81 m/s². No topo, a bola fica momentaneamente parada: temos aí o terceiro dado, v = 0.
  
  $u=14\ \mathrm{m/s},\quad v=0,\quad a=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}},\quad s=?,\quad t=?$
2. O tempo decorre de imediato da definição de aceleração:
  
  $t=\frac{v-u}{a}=\frac{0-14}{-9{.}81}=1{.}427\ \mathrm{s}$
3. A altura é a velocidade média, metade de 14 m/s, multiplicada por esse tempo:
  
  $s=\tfrac12(u+v)\,t=\tfrac12(14+0)(1{.}427)=9{.}99\ \mathrm{m}$
4. Confirmação pela equação independente do tempo:
  
  $v^{2}=u^{2}+2as:\quad 0=14^{2}+2(-9{.}81)\,s\ \Rightarrow\ s=\frac{196}{19{.}62}=9{.}99\ \mathrm{m}\ \checkmark$
Resposta

9,99 m acima do ponto de lançamento, atingidos ao fim de 1,427 s. No ponto mais alto a velocidade é nula, mas a aceleração não. Mantém-se em −9,81 m/s², como em todo o percurso; é por isso mesmo que a bola volta a descer.

$s=9{.}99\ \mathrm{m},\qquad t=1{.}427\ \mathrm{s}$
Uma só altura, duas passagens 3 passos
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 15 m/s. Em que instantes se encontra 5,0 m acima do ponto de lançamento e a que velocidade se desloca em cada passagem?

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1. Sentido para cima positivo: s = 5,0, u = 15, a = −9,81, procurando-se v e t. Começamos pela equação onde t não figura:
  
  $v^{2}=u^{2}+2as=15^{2}+2(-9{.}81)(5{.}0)=126{.}9$
2. A raiz quadrada tem dois sinais e ambos têm significado físico: +11,26 m/s a subir e −11,26 m/s a descer.
  
  $v=\pm\sqrt{126{.}9}=\pm11{.}26\ \mathrm{m/s}$
3. A cada velocidade corresponde o seu próprio instante:
  
  $t=\frac{v-u}{a}:\qquad\frac{11{.}26-15}{-9{.}81}=0{.}3807\ \mathrm{s},\qquad\frac{-11{.}26-15}{-9{.}81}=2{.}677\ \mathrm{s}$
Resposta

Aos 0,3807 s a subir a 11,26 m/s, e aos 2,677 s a descer a 11,26 m/s. Os dois instantes distribuem-se simetricamente em torno do ponto mais alto, aos 15/9,81 = 1,529 s, e os módulos das velocidades coincidem: na descida, a bola passa por cada altura com o mesmo valor de velocidade que levava na subida. Prima bola passa duas vezes para ver as duas linhas no gráfico.

$t=0{.}3807\ \mathrm{s}\ (v=+11{.}26),\qquad t=2{.}677\ \mathrm{s}\ (v=-11{.}26)$
Do alto da falésia: uma raiz a descartar 4 passos
Uma pedra é lançada para cima a 10 m/s da beira de uma falésia com 45 m de altura e cai na base. Quanto tempo permanece no ar e qual é a sua velocidade ao atingir o solo?

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1. Sentido ascendente positivo, medindo-se o deslocamento a partir do lançamento. Como a base da falésia fica abaixo do ponto inicial, s é negativo:
  
  $s=-45\ \mathrm{m},\quad u=10\ \mathrm{m/s},\quad a=-9{.}81\ \mathrm{m/s^{2}},\quad v=?,\quad t=?$
2. Primeiro a velocidade, pela equação sem t. A pedra está a cair quando atinge o chão, pelo que tomamos a raiz negativa:
  
  $v=-\sqrt{u^{2}+2as}=-\sqrt{10^{2}+2(-9{.}81)(-45)}=-\sqrt{982{.}9}=-31{.}35\ \mathrm{m/s}$
3. Calculamos depois o tempo:
  
  $t=\frac{v-u}{a}=\frac{-31{.}35-10}{-9{.}81}=4{.}215\ \mathrm{s}$
4. Resolver s = ut + ½at² diretamente em ordem a t produz uma equação do segundo grau com duas raízes. O valor negativo refere-se a um instante anterior ao lançamento, quando uma pedra na mesma trajetória parabólica estaria a subir do chão. Não faz parte deste problema:
  
  $-45=10t-4{.}905t^{2}\ \Rightarrow\ t=\frac{10\pm\sqrt{982{.}9}}{9{.}81}:\qquad t=4{.}215,\quad t=-2{.}176$
Resposta

4,215 s no ar, atingindo o solo a 31,35 m/s no sentido descendente. Se escrever s = +45 mantendo a convenção para cima, a ferramenta dirá que não há solução real. E com razão: lançada a apenas 10 m/s, a pedra nunca atinge 45 m acima da falésia.

$t=4{.}215\ \mathrm{s},\qquad v=-31{.}35\ \mathrm{m/s}$
Uma perseguição: dois movimentos no mesmo relógio 3 passos
Um carro aguarda num semáforo. Quando a luz passa a verde, arranca com aceleração de 3,0 m/s²; nesse mesmo instante, é ultrapassado por um camião a 15 m/s constantes. Quando e onde é que o carro alcança o camião, e qual é a velocidade do carro nessa altura?

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1. Ambos os movimentos partilham o mesmo relógio e a mesma linha de partida. Escrevemos o deslocamento de cada um decorrido um tempo t:
  
  $s_{\mathrm{car}}=\tfrac12(3{.}0)\,t^{2},\qquad s_{\mathrm{truck}}=15\,t$
2. O encontro dá-se quando ambos têm o mesmo deslocamento no mesmo instante:
  
  $\tfrac12(3{.}0)\,t^{2}=15\,t\ \Rightarrow\ t\,(1{.}5\,t-15)=0\ \Rightarrow\ t=0,\quad t=10\ \mathrm{s}$
3. t = 0 assinala o início, quando já se encontram lado a lado. Em t = 10 s, o estudo do carro isolado é um caso comum, com u = 0, a = 3,0 e t = 10:
  
  $s=ut+\tfrac12at^{2}=0+\tfrac12(3{.}0)(10)^{2}=150\ \mathrm{m},\qquad v=u+at=0+3{.}0(10)=30\ \mathrm{m/s}$
Resposta

Ao fim de 10 s, a 150 m do semáforo, com o carro a 30 m/s. É exatamente o dobro da velocidade do camião, e partindo do repouso será sempre assim: ao longo de toda a perseguição, a velocidade média do carro iguala a velocidade do camião; partindo do repouso, a média é metade da velocidade final.

$t=10\ \mathrm{s},\qquad s=150\ \mathrm{m},\qquad v_{\mathrm{car}}=30\ \mathrm{m/s}=2\,v_{\mathrm{truck}}$
Três etapas lidas como áreas 3 passos
Um comboio parte do repouso e acelera uniformemente a 0,50 m/s² durante 40 s, segue a velocidade constante durante 2,0 minutos e depois trava uniformemente até parar em 25 s. Determine a distância total e a velocidade média de todo o percurso.
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1. Três etapas, cada qual com as suas cinco grandezas. A velocidade no final da primeira etapa é a velocidade da segunda e o início da terceira:
  
  $v_1=u+at=0+0{.}50(40)=20\ \mathrm{m/s}$
2. A distância de cada etapa corresponde à área sob o respetivo troço do gráfico velocidade–tempo: um triângulo, um retângulo e outro triângulo.
  
  $s_1=\tfrac12(20)(40)=400,\qquad s_2=20\times120=2400,\qquad s_3=\tfrac12(20)(25)=250\ \mathrm{m}$
3. A velocidade média é a razão entre a distância total e o tempo total, não a média das velocidades:
  
  $\bar v=\frac{400+2400+250}{40+120+25}=\frac{3050}{185}=16{.}49\ \mathrm{m/s}$
Resposta

3.050 m, com uma média de 16,49 m/s. A desaceleração na travagem, 20/25 = 0,80 m/s², nem sequer fez falta: a área de um triângulo exige apenas a base e a altura.

$s=3050\ \mathrm{m},\qquad\bar v=16{.}49\ \mathrm{m/s}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Um ciclista acelera uniformemente de 4,0 m/s para 10 m/s em 5,0 s. Determine a aceleração e a distância percorrida.

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1,2 m/s² e 35 m.

$a=\frac{10-4{.}0}{5{.}0}=1{.}2\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad s=\tfrac12(4{.}0+10)(5{.}0)=35\ \mathrm{m}$
Um avião precisa de atingir 75 m/s para descolar e acelera a partir do repouso a 2,5 m/s². Qual é o comprimento mínimo de pista necessário e quanto tempo dura a corrida de descolagem?

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1.125 m, demorando 30 s.

$s=\frac{v^{2}}{2a}=\frac{75^{2}}{2(2{.}5)}=1125\ \mathrm{m},\qquad t=\frac{75}{2{.}5}=30\ \mathrm{s}$
Uma pedra largada num poço atinge a água 2,4 s depois. Desprezando o tempo que o som demora a subir, a que distância do topo se encontra a água?

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28,25 m.

$s=\tfrac12(9{.}81)(2{.}4)^{2}=28{.}25\ \mathrm{m}$
Uma bola lançada verticalmente para cima regressa à mão de quem a atirou 3,0 s depois. Determine a velocidade de lançamento e a altura máxima atingida.

Mostrar resposta

14,72 m/s e 11,04 m: por simetria, o ponto mais alto é atingido aos 1,5 s.

$u=9{.}81\times1{.}5=14{.}72\ \mathrm{m/s},\qquad h=\frac{u^{2}}{2g}=11{.}04\ \mathrm{m}$
Um condutor que circula a 30 m/s avista um obstáculo, reage ao fim de 0,80 s e trava a 6,0 m/s². Que distância percorre o carro desde que o obstáculo surge até parar?

Mostrar resposta

99 m: 24 m antes de os travões atuarem e 75 m durante a travagem.

$30(0{.}80)+\frac{30^{2}}{2(6{.}0)}=24+75=99\ \mathrm{m}$
Uma partícula com velocidade de 6,0 m/s tem aceleração constante de −2,0 m/s². Em que instantes se encontra a 5,0 m do seu ponto de partida?

Mostrar resposta

Aos 1,0 s e 5,0 s encontra-se 5,0 m à frente; aos 6,742 s situa-se 5,0 m atrás.

$\pm5{.}0=6{.}0\,t-t^{2}:\qquad t=1{.}0,\ 5{.}0;\qquad t=3+\sqrt{14}=6{.}742\ \mathrm{s}$

Percurso de aprendizagem

O lançamento de objetos

YouTube (1)

Numberphile·Zeno's Paradox

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.