Calculadora de triângulos: LLL, LAL, ALA, AAL e LLA

Resolva triângulos com lados e ângulos conhecidos. Veja cada etapa, compare soluções LLA e aprenda quando usar as leis dos senos ou dos cossenos.

Exemplo resolvido — Solucionador de Triângulos

Caso	SSS

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Quando um único conjunto de dados divide a realidade

Três medidas nem sempre correspondem a três factos. No caso LLA, os mesmos valores descrevem dois triângulos diferentes, pois o seno não permite distinguir um ângulo do seu suplemento: sin(θ) = sin(180° − θ). Há um só conjunto de dados e dois triângulos, sem que os cálculos favoreçam qualquer deles.

Por que sempre é preciso um lado

Três valores conhecidos costumam determinar um triângulo, mas pelo menos um deve ser um lado. Três ângulos sozinhos (AAA) fixam a forma, mas não o tamanho: um triângulo minúsculo e outro gigante podem ter ângulos idênticos. A ferramenta usa duas regras: a lei dos cossenos quando você conhece os três lados (SSS) ou dois lados e o ângulo entre eles (SAS), e a lei dos senos nos demais casos.

Um círculo oculto define a razão

Na lei dos senos, a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) tem um valor que importa conhecer: é igual a 2R, o diâmetro da única circunferência que passa pelos três vértices (a circunferência circunscrita). Assim, cada triângulo traz consigo uma circunferência, e a lei dos senos mede, na verdade, o seu tamanho. Se o raio da circunferência circunscrita duplicar, todas as razões entre um lado e o seno do ângulo oposto também duplicam.

Teoria dos triângulos — Caso a caso

Qual caso de triângulo você tem?

Comece pelos valores marcados como conhecidos. O padrão deles—não a aparência do triângulo—determina o método. É preciso conhecer pelo menos um lado.

LLL - três lados c² = a² + b² − 2ab cos C

LAL - dois lados e o ângulo incluído c² = a² + b² − 2ab cos C

ALA/AAL - dois ângulos e um lado C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

LLA - caso ambíguo sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

AAA — três ângulos não bastam A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

LLL - três lados

O que você conhece: Os três comprimentos de lado: a, b e c.

Método: c² = a² + b² − 2ab cos C

Exemplo resolvido: a = 3, b = 4, c = 5 produz um triângulo retângulo.

Abrir este caso: LLL

LLL - três lados. LLL: três lados fixos determinam um triângulo quando a desigualdade triangular é satisfeita. Os três comprimentos de lado: a, b e c. — LLL: três lados fixos determinam um triângulo quando a desigualdade triangular é satisfeita.

LAL - dois lados e o ângulo incluído

O que você conhece: Dois lados e o ângulo incluído entre eles.

Método: c² = a² + b² − 2ab cos C

Exemplo resolvido: a = 7, b = 5, C = 60° determina o lado oposto c.

Abrir este caso: LAL

LAL - dois lados e o ângulo incluído. LAL: os lados destacados e o ângulo incluído determinam um único triângulo. Dois lados e o ângulo incluído entre eles. — LAL: os lados destacados e o ângulo incluído determinam um único triângulo.

ALA/AAL - dois ângulos e um lado

O que você conhece: Dois ângulos e qualquer lado (ALA ou AAL).

Método: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

Exemplo resolvido: A = 40°, B = 75°, c = 8 fornece primeiro C = 65°.

Abrir este caso: ALA

ALA/AAL - dois ângulos e um lado. ALA/AAL: dois ângulos fixam a forma e um lado fixa a escala. Dois ângulos e qualquer lado (ALA ou AAL). — ALA/AAL: dois ângulos fixam a forma e um lado fixa a escala.

LLA - caso ambíguo

O que você conhece: Dois lados e um ângulo não incluído, oposto a um deles.

Método: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

Exemplo resolvido: a = 7, b = 9, A = 40° cria dois triângulos válidos.

Abrir este caso: LLA ambíguo

LLA - caso ambíguo. LLA: os mesmos dados podem se cruzar em dois pontos e formar dois triângulos. Dois lados e um ângulo não incluído, oposto a um deles. — LLA: os mesmos dados podem se cruzar em dois pontos e formar dois triângulos.

AAA — três ângulos não bastam

O que você conhece: Os três ângulos, mas nenhum comprimento de lado.

Método: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

Exemplo resolvido: 30°, 60°, 90° descreve infinitos triângulos de tamanhos diferentes.

AAA precisa de um lado — abrir ALA/AAL

AAA — três ângulos não bastam. AAA: os mesmos ângulos descrevem triângulos semelhantes pequenos e grandes. Os três ângulos, mas nenhum comprimento de lado. — AAA: os mesmos ângulos descrevem triângulos semelhantes pequenos e grandes.

Problemas resolvidos na íntegra

Resolução do triângulo 3-4-5 apenas a partir dos três lados 5 passos
O triângulo 3-4-5 tem um ângulo reto e ninguém precisa que lhe digam em que vértice se encontra. Resolva-o apenas a partir dos três lados e, em seguida, encontre os dois círculos nele escondidos. Este é o caso LLL.
1. Com três lados e nenhum ângulo, o único ponto de partida é a lei dos cossenos, rearranjada de modo a dar o cosseno do ângulo oposto ao lado que se deixa no membro esquerdo.
  
  $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{40}=0.8 \quad\Longrightarrow\quad A=36.8699^\circ$
2. Repita para o segundo ângulo. Nada aqui é ainda uma aproximação — 0,8 e 0,6 são exatos, e as casas decimais só surgem quando se calcula o arcosseno.
  
  $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9+25-16}{30}=0.6 \quad\Longrightarrow\quad B=53.1301^\circ$
3. O terceiro ângulo obtém-se de graça, a partir da soma dos ângulos. Aplique-lhe a lei dos cossenos ainda assim e o numerador é 9 + 16 − 25 = 0, pelo que o cosseno é exatamente zero: este triângulo é retângulo porque 3² + 4² é por acaso igual a 5², e por nenhuma outra razão.
  
  $C=180^\circ-A-B=90^\circ,\qquad \cos C=\frac{9+16-25}{24}=0$
4. A fórmula de Heron necessita apenas do perímetro e dos três lados. Devolve 6, que é também ½ × 3 × 4 — as duas fórmulas têm de concordar, e aqui pode vê-las a fazê-lo.
  
  $s=\frac{12}{2}=6,\qquad K=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6=\tfrac12ab$
5. Dois raios que o painel nunca menciona. Num triângulo retângulo, a hipotenusa é um diâmetro do círculo circunscrito, pelo que R = 2,5. O círculo inscrito tem r = (a + b − c)/2 = 1, e a área é igual a r × s, o que volta a dar 6.
  
  $R=\frac{c}{2}=2.5,\qquad r=\frac{a+b-c}{2}=1,\qquad K=rs=1\times6=6$
Resposta

A ferramenta apresenta A = 36,8699°, B = 53,1301°, C = 90° e um perímetro de 12. O passo 3 é o que se deve reter: Pitágoras não é um teorema separado ao lado da lei dos cossenos; é a lei dos cossenos avaliada em 90°, onde o termo −2ab·cos C se anula. Tudo aquilo pelo qual o ângulo reto é famoso resulta desse único termo se anular, razão pela qual a lei dos cossenos funciona em qualquer triângulo e Pitágoras funciona apenas num tipo.

$\cos C=0\ \Longleftrightarrow\ a^2+b^2=c^2:\ \text{Pythagoras is the cosine law at }90^\circ$
Dois lados de 7 e 5 com um ângulo de 60° entre eles 5 passos
Dois lados de 7 e 5 com um ângulo de 60° entre eles. Encontre o terceiro lado e ambos os ângulos restantes — e obtenha o segundo ângulo a partir da lei dos cossenos em vez da lei dos senos, propositadamente. Este é o caso LAL.

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1. O ângulo conhecido situa-se entre os dois lados conhecidos, que é precisamente a disposição para a qual a lei dos cossenos foi concebida: ela devolve o lado oposto a esse ângulo.
  
  $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=49+25-2(35)\left(\tfrac12\right)=39 \quad\Longrightarrow\quad c=6.245$
2. Aos 60°, o cosseno é exatamente ½, pelo que todo o termo −2ab·cos C se reduz a −ab e a expressão passa a a² + b² − ab. Essa é uma forma útil de reconhecer; 60° é o único ângulo em que ela surge.
  
  $\cos 60^\circ=\tfrac12\ \Longrightarrow\ c^2=a^2+b^2-ab$
3. Agora para o ângulo A. A lei dos senos funcionaria e é mais fácil de introduzir, mas o arcosseno devolve um ângulo no primeiro quadrante e o seu suplemento é igualmente válido — pelo que devolveria dois candidatos sem forma de escolher. A lei dos cossenos devolve um cosseno com sinal, e o cosseno é injetivo ao longo de todo o intervalo que um ângulo de um triângulo pode assumir.
  
  $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+39-49}{62.45}=0.2402 \quad\Longrightarrow\quad A=76.1021^\circ$
4. O último ângulo resulta da soma dos ângulos, que não pode ser ambígua.
  
  $B=180^\circ-60^\circ-76.1021^\circ=43.8979^\circ$
5. A área não necessita de nenhum dos ângulos que acabou de encontrar, nem do terceiro lado: dois lados e o ângulo entre eles já são suficientes.
  
  $K=\tfrac12ab\sin C=\tfrac12(7)(5)\sin60^\circ=15.155$
Resposta

A ferramenta apresenta c = 6,245, A = 76,1021° e B = 43,8979°. O passo 3 explica por que razão o caso LAL é um caso seguro e o caso LLA não o é. A lei dos cossenos nunca pode ser ambígua, porque cos θ assume cada valor uma única vez entre 0° e 180°; a lei dos senos pode sê-lo sempre, porque sin θ assume cada valor duas vezes. Quando são dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles, o triângulo já está determinado e a aritmética limita-se a lê-lo. O problema seguinte é o que acontece quando não está.

$\text{SAS is never ambiguous: }\cos\theta\ \text{is one-to-one on }(0^\circ,180^\circ)$
O caso LLA de a = 7, b = 9, A = 40° 5 passos
a = 7, b = 9, A = 40° — e o painel indica duas soluções enquanto apresenta um triângulo. Encontre o outro. Este é o caso LLA.

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1. Trace uma perpendicular a partir do vértice oposto até à reta onde se situa o ângulo conhecido. O seu comprimento é h = b·sin A = 5,7851, e o lado a tem de alcançar essa reta: se for demasiado curto, não há triângulo; se for exatamente h, há um; se for mais longo do que h, há dois — até que a exceda b, altura em que o segundo se fecha. Aqui h < a < b, logo há dois.
  
  $h=b\sin A=9\sin40^\circ=5.7851,\qquad h<a<b$
2. A lei dos senos dá o seno de B, e o arcosseno devolve o ramo agudo.
  
  $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{9\sin40^\circ}{7}=0.826441 \quad\Longrightarrow\quad B_1=55.7349^\circ$
3. O ramo obtuso tem o mesmo seno. Só sobrevive se ainda deixar espaço para um terceiro ângulo, e 40° + 124,2651° é inferior a 180°, pelo que sobrevive.
  
  $B_2=180^\circ-55.7349^\circ=124.2651^\circ,\qquad A+B_2=164.27^\circ<180^\circ$
4. Complete o primeiro triângulo: o terceiro ângulo, depois o terceiro lado pela lei dos senos, e depois a área.
  
  $C_1=84.2651^\circ,\quad c_1=\frac{a\sin C_1}{\sin A}=10.8356,\quad K_1=31.3423$
5. Complete o segundo da mesma forma. O mesmo a, o mesmo b, o mesmo A — e um triângulo com menos de um terço do tamanho.
  
  $C_2=15.7349^\circ,\quad c_2=\frac{a\sin C_2}{\sin A}=2.9532,\quad K_2=8.5424$
Resposta

O painel indica LLA (2 soluções) e apresenta h = 5,7851, B = 55,7349°, c = 10,8356 e uma área de 31,3423 — o primeiro ramo. O segundo, com c = 2,9532 e área 8,5424, fica para si, e esse é o estado honesto do caso: os dados não determinam o triângulo, pelo que nenhuma calculadora lhe pode entregar a resposta. Qualquer grandeza medida desta forma — um rumo e duas distâncias, um alcance de radar com um ângulo fora do eixo — carrega a mesma bifurcação, e a saída nunca passa por mais aritmética. É mais uma medição, ou uma razão física pela qual uma das duas é impossível.

$\sin\theta=\sin(180^\circ-\theta):\ \text{two triangles, and the panel prints one}$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Referências (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.