A Lei de Malus e os Polarizadores Cruzados

Ajuste o eixo de cada filtro e veja o que resta do feixe. Adicionar um filtro costuma custar luz. Às vezes, permite recuperá-la.

Exemplo resolvido — A Lei de Malus e os Polarizadores Cruzados

Após o filtro 1 (0,0°)	50,000%
Após o filtro 2 (45,0°)	25,000%
Através da pilha	12,500%
Sem o filtro 2	0%
Melhor ângulo, filtro 2	45,0°
Leitura nesse ângulo	12,500%
Melhor com 3 filtros em 90,0°	12,500%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Lei de Malus e os Polarizadores Cruzados

A lei de Malus dita o que um filtro polarizador deixa da luz que já está polarizada: I = I₀cos²θ, em que θ é o ângulo entre o plano da luz e o eixo de transmissão do filtro. A luz não polarizada é o outro caso e não possui qualquer θ. Ela chega com todas as direções representadas por igual. Assim, o primeiro filtro que encontra recolhe exatamente metade dessa luz e transmite um feixe polarizado ao longo do seu próprio eixo. Cada filtro após o primeiro está, portanto, no caso de Malus, porque aquele que o antecede encarregou-se de o polarizar.

O que significa cada símbolo

I₀: a intensidade que chega ao filtro, não a intensidade inicial
θ: o ângulo entre o plano da luz e o eixo do filtro. Apenas esta diferença importa, razão pela qual rodar toda a pilha em conjunto não altera nenhuma leitura na página
φ: o plano de um feixe já polarizado, quando este existe. A luz natural não possui um φ. É por este motivo que o primeiro filtro custa sempre metade, em vez de um cosseno
cos²θ: a fração sobrevivente: metade a 45°, um quarto a 60°, nada a 90°

Pressupõe: Filtros ideais, que transmitem perfeitamente ao longo do eixo e bloqueiam de forma perfeita na direção perpendicular. Uma película real não faz nem uma coisa nem outra. A Polaroid deu o nome ao seu material precisamente devido a esta falha: uma película HN-38 deixa passar 38% da luz natural, enquanto a aritmética aqui prevê 50%. Os doze pontos percentuais em falta são absorvidos, e não polarizados.
Falha quando: Numa pilha alta de películas reais. É aí que reside a afirmação mais surpreendente desta página. Cada filtro real multiplica a sua própria absorção pelo respetivo cos². A subida em direção aos 50% inverte-se após algumas películas e depois decai. Noventa e um filtros ideais registam 48,648%. Uma pilha de noventa e um filtros reais é opaca.

Dois filtros bloqueiam tudo. Três deixam passar um oitavo.

Ajuste o primeiro eixo para 0° e o segundo para 90°. O cos²(90°) é exatamente zero, o medidor indica 0%, e nada do que fizer à lâmpada mudará isso.

Agora deslize um terceiro filtro entre eles, a 45°. A leitura é 12,500%.

O novo filtro absorve luz como os outros dois. O que ele também faz é redirecioná-la, para que a luz atravesse dois intervalos de 45° em vez de um de 90°, e o cos²(45°) é metade. Metade da metade da metade que o primeiro filtro deixou é um oitavo.

A linha Sem o filtro 2 situa-se imediatamente abaixo de Através da pilha, para que ambos os números continuem visíveis enquanto desloca o eixo central.

Dez filtros são mais brilhantes do que três, e 50% é o limite

Mantenha o primeiro eixo a 0° e o último a 90°, e preencha o espaço com filtros uniformemente espaçados. Dois dão 0%. Três dão 12,500%. Quatro, 21,094%. Cinco, 26,540%. Dez, 37,957%. Noventa e um deles, com um grau de separação, dão 48,648%.

Cada filtro nessa linha absorve luz, e cada um adicionado eleva a leitura, porque uma rotação grande custa mais do que a mesma rotação feita em passos pequenos.

A subida tem um teto no qual nunca toca. A luz natural perde exatamente metade no primeiro filtro que encontra, seja qual for o ângulo desse filtro, e nada mais adiante consegue repor essa metade.

O terço central da volta custa o dobro de qualquer das extremidades

Mude a fonte para Polarizada e deixe apenas um filtro no feixe. A 0° a leitura é de 100,000%. Rode-o para 30° e restam 75,000%. Rode-o para 60° e restam 25,000%. Rode-o para 90° e não resta nada.

Três rotações iguais de 30°, e a do meio custa o dobro de qualquer uma das suas vizinhas. A curva de cos²θ é mais plana onde o cosseno está perto de 1, e mais acentuada a 45°.

Qualquer pessoa que já tenha rodado um filtro polarizador numa câmara fotográfica conhece esta sensação. A parte inicial da rotação mal altera o céu. A parte intermédia muda tudo.

Problema resolvido na íntegra

O filtro que deixa passar luz pondo-se no caminho 6 passos
Luz natural de intensidade I₀ encontra um filtro com o eixo a 0°, seguido de um segundo a 90°. Um terceiro filtro é introduzido entre eles com o seu eixo a 30°. Que fração de I₀ sai da pilha, onde deveria estar esse terceiro filtro para maximizar o resultado, e qual é o ganho desse melhor ajuste?

Abrir este problema na ferramenta
1. O primeiro filtro é o único que não obedece à lei de Malus. A luz natural não possui um único plano a partir do qual medir um ângulo. Logo, não existe um θ para colocar em cos²θ. A luz chega como uma mistura uniforme de todas as direções e o filtro deixa passar a média, que é exatamente metade. Com esta pilha configurada, a linha Após o filtro 1 (0,0°) regista 50,000%. Rodar esse primeiro filtro para qualquer posição mantém o valor nos 50,000%.
  
  $\text{unpolarised light: }\ \dfrac{I_1}{I_0}=\tfrac{1}{2} \quad\text{at every angle}$
2. Tudo a jusante recai no caso de Malus, uma vez que o primeiro filtro polarizou o feixe ao longo do seu próprio eixo. O segundo filtro desta pilha é aquele a 30°. O intervalo é de 30° e o fator é cos²(30°) = 0,75. Metade da luz, três quartos disso: 37,500%, e a linha Após o filtro 2 (30,0°) confirma-o.
  
  $\dfrac{I_2}{I_0}=\tfrac{1}{2}\cos^{2}(30^\circ)=\tfrac{1}{2}\cdot 0.75=0.375$
3. O último filtro encontra-se a 90°, o que representa um avanço de 60° face aos 30°. cos²(60°) = 0,25, e um quarto de 37,500% é 9,375%. Essa é a resposta à primeira pergunta. A linha Através da pilha exibe toda a cadeia que a produziu: ½ · cos²(30°) · cos²(60°).
  
  $\dfrac{I_3}{I_0}=\tfrac{1}{2}\cos^{2}(30^\circ)\cos^{2}(60^\circ) =0.375\cdot 0.25=0.09375$
4. Agora retire o filtro do meio. Este é um passo que vale a pena fazer devagar. O feixe depara-se com 0° e 90° sem nada pelo meio. Um salto de 90°, e cos²(90°) é zero. A linha Sem o filtro 2 regista 0%. Uma folha de plástico absorvente, inserida num feixe que já estava extinto, elevou a leitura do nada até aos 9,375%.
  
  $\text{filter 2 removed:}\quad \tfrac{1}{2}\cos^{2}(90^\circ)=0$
5. Então, onde é que é mais útil? Os dois intervalos têm de somar 90°. O que se está a maximizar é cos²(δ)·cos²(90° − δ). Intervalos iguais ganham a disputa: ½ · ½ · ½ = 12,500% a 45°, contra 9,375% a 30°. A linha Melhor ângulo, filtro 2 indica 45,0° e a linha Leitura nesse ângulo apresenta 12,500%.
  
  $\max_{\delta}\ \tfrac{1}{2}\cos^{2}(\delta)\cos^{2}(90^\circ-\delta) \ \Rightarrow\ \delta=45^\circ,\quad \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=0.125$
6. Intervalos iguais continuam a vencer, por muitos filtros que existam. A razão é que ln cos é côncavo, logo uma rotação total fixa fica mais barata se for dividida uniformemente. Prima Adicionar filtro para inserir um quarto e Distribuir uniformemente para os posicionar: 21,094%. Dez filtros ao longo do mesmo quarto de volta atingem os 37,957%.
  
  $\dfrac{I_n}{I_0}\Big|_{\text{even}} =\tfrac{1}{2}\cos^{2(n-1)}\!\left(\dfrac{90^\circ}{n-1}\right):\quad n=4\to 0.21094,\qquad n=10\to 0.37957$
Resposta

9,375% a 30° e 12,500% a 45°, que é o máximo que três filtros conseguem fazer num quarto de volta. O valor que importa reter não é nenhum desses. É o nada que retorna no momento em que o filtro central é retirado. Esse filtro absorve luz como os outros dois, e o conjunto fica mais brilhante com ele do que sem ele, porque o que ele faz é girar a luz, de modo que ao último filtro seja feita uma pergunta mais fácil.

$\tfrac{1}{2}\cos^{2}(30^\circ)\cos^{2}(60^\circ)=9.375\% \qquad\text{against}\qquad \tfrac{1}{2}\cos^{4}(45^\circ)=12.5\%$

Referências (3)

The paper the law is named after, written by an army engineer who noticed it in the windows of the Luxembourg Palace: É. L. Malus, "Sur une propriété de la lumière réfléchie." Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil 2, 1809, pp. 145–158.
Where the 38% comes from — the man who invented sheet polarisers, on how well they really work: E. H. Land, "Some Aspects of the Development of Sheet Polarizers." Journal of the Optical Society of America 41(12), 1951, pp. 957–963. DOI 10.1364/JOSA.41.000957
The textbook treatment of ideal polarisers and the stacked-filter result: E. Hecht, Optics, 5th edition, Pearson, 2017, chapter 8 (Polarization).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

A Lei de Malus e os Polarizadores Cruzados

O que significa cada símbolo

Dois filtros bloqueiam tudo. Três deixam passar um oitavo. 🖖

Dez filtros são mais brilhantes do que três, e 50% é o limite 🖖

O terço central da volta custa o dobro de qualquer das extremidades 🖖

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Dez filtros são mais brilhantes do que três, e 50% é o limite

O terço central da volta custa o dobro de qualquer das extremidades