Explorador da dívida pública

Deixando todos os seletores onde o predefinido hoje os coloca: taxa de juro a 3,447%, crescimento nominal a 4,2%, um défice primário de 2% do PIB e nenhuma alteração de políticas no futuro. O painel indica que o rácio passa de 130,1% atualmente para 158,8% em trinta anos. Deixando o tempo continuar a correr, o rácio continua a subir?

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1. Um ano de evolução do rácio corresponde a uma linha, cuja forma é essencial: o rácio deste ano multiplicado por um número, menos o saldo primário. Trata-se de uma aplicação afim, não linear, e é o termo constante que lhe dá um ponto onde pode estabilizar. Dê um nome ao multiplicador, pois tudo o que se segue depende de ele ser maior ou menor do que um.

   $$d_{n+1} = d_n\,\frac{1+r}{1+g} - pb = \varphi\, d_n - pb, \qquad \varphi = \frac{1+r}{1+g}$$

2. Introduzindo as duas taxas. O crescimento está acima da taxa de juro, pelo que φ resulta num valor ligeiramente inferior a 1. A cada ano, a dívida existente encolhe ligeiramente em comparação com uma economia maior; o défice empurra no sentido oposto, e estes dois efeitos são o que a aplicação equilibra.

   $$\varphi = \frac{1.03447}{1.042} = 0.992774 \;<\; 1$$

3. Uma aplicação afim cujo multiplicador seja diferente de um tem exatamente um ponto fixo. Iguale o rácio do próximo ano ao deste ano e resolva a equação.

   $$d^{*} = \varphi\, d^{*} - pb \quad\Longrightarrow\quad d^{*} = \frac{-pb}{1-\varphi}$$

4. Um défice primário de 2% significa pb = −0,02, logo −pb é +0,02, e 1 − φ é 0,007226. Dividindo. O rácio não dispara: converge para um valor ligeiramente superior a 276% do PIB e estabiliza.

   $$d^{*} = \frac{0.02}{0.0072265} = 2.7676 = 276.8\%\ \text{of GDP}$$

5. Obtém-se assim toda a trajetória em forma fechada, sem recorrer a simulação. O desvio entre a posição atual e a posição de destino diminui por um fator φ a cada ano, pelo que o rácio é o ponto fixo acrescido de um resto decrescente.

   $$d_n = d^{*} + (d_0 - d^{*})\,\varphi^{\,n}$$

6. Verifique-se no painel antes de assumir o resultado. d₀ é 40,033 sobre 30,77, e n é 30.

   $$d_{30} = 2.7676 + (1.30104 - 2.7676)(0.992774)^{30} = 1.5878 = 158.8\%$$

7. Afinal, quanto tempo demora a «convergir»? O desvio reduz-se a metade a cada ln(½)/ln φ anos. Trinta anos reduzem 19,6% do desvio. A projeção traçada pela ferramenta cobre um quinto da distância; metade da distância só é reduzida no ano 96, e uma exponencial nunca a reduz na totalidade.

   $$t_{1/2} = \frac{\ln \tfrac12}{\ln 0.992774} = 95.6\ \text{years}$$

8. Altere agora o fator decisivo. Clique em taxa superior ao crescimento: juros de 5,5% face a um crescimento de 3%, com o orçamento primário exatamente equilibrado. φ passa a ser maior do que um. Com o orçamento primário equilibrado, o ponto fixo é zero; quando φ é maior do que um, esse ponto repele em vez de atrair, e o rácio cresce geometricamente a partir de qualquer valor inicial.

   $$\varphi = \frac{1.055}{1.03} = 1.024272 \;>\; 1, \qquad t_{2} = \frac{\ln 2}{\ln \varphi} = 28.9\ \text{years}$$

Carregue na predefinição crescimento acima da taxa: 3% de juro, 5% de crescimento nominal, um défice primário de 1,5% do PIB. O cartão do saldo estabilizador indica −2,48%. Calcule quanto é isso em dólares e decida depois a qual dos dois relógios do painel pertence um título de jornal sobre a dívida.

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1. O cartão é uma parte do PIB, e uma parte do PIB é um quociente entre duas coisas que se movem ambas. Comece pela sua origem: o saldo que deixa o rácio do próximo ano igual ao deste. Com uma taxa de 3% contra um crescimento de 5%, é negativo, pelo que este país pode manter um défice primário permanente de 2,48% do PIB sem nunca mexer no seu rácio da dívida.

   $$pb^{*} = d\,\frac{r-g}{1+g} = 1.30104 \times \frac{0.03-0.05}{1.05} = -0.02478 = -2.48\%$$

2. Ponha-o agora em dinheiro. O saldo primário é medido contra o PIB do ano seguinte, portanto multiplique por ele e veja o PIB cancelar-se. O que sobra é a dívida vezes a diferença entre as duas taxas, e não lhe interessa o tamanho da economia. Um défice permanente de 801 mil milhões de dólares.

   $$pb^{*}\,G(1+g) = \frac{D}{G}\cdot\frac{r-g}{1+g}\cdot G(1+g) = D(r-g) = 40.033 \times (-0.02) = -0.801$$

3. Este é o saldo primário, que é o orçamento antes dos juros. Some a fatura de juros que o painel apresenta, 1,20 biliões, e tem aquilo que o Tesouro pede efetivamente emprestado num ano para ficar parado. Dá 2,00 biliões, e é exatamente 5% da dívida.

   $$rD - pb^{*}G(1+g) = 1.201 + 0.801 = 2.002 = gD = 0.05 \times 40.033$$

4. Não é um acaso destes números. Se o rácio não muda, a dívida e a economia cresceram pelo mesmo fator, pelo que o novo endividamento é a taxa de crescimento vezes a dívida. A taxa de juro desapareceu, e o saldo primário também; sejam eles quais forem, só conseguem reorganizar de que bolso sai o dinheiro.

   $$\frac{D'}{G'} = \frac{D}{G} \iff D' = D(1+g) \iff D' - D = gD$$

5. Olhe agora para a outra metade da página. O seletor do pagamento está em 2,00 biliões e o cartão da amortização diz 31,0 anos. São os mesmos 2,00 biliões. Um painel chama-lhe dinheiro que sai do Tesouro todos os anos e o outro chama-lhe dinheiro que entra, e ambos são apresentados nesta página ao mesmo tempo.

   $$n = \frac{\ln\!\big(P/(P - rD)\big)}{\ln(1+r)} = \frac{\ln(2/0.799)}{\ln 1.03} = 31.0, \qquad gD = 2.002$$

6. A predefinição não está a correr o défice estabilizador, mas um menor, 1,5% em vez de 2,48%, pelo que o rácio desce. Aos trinta anos o cartão indica 107,6%, partindo de 130,1%.

   $$d_{30} = 1.0759 = 107.6\%, \qquad G_{30} = 30.77 \times 1.05^{30} = 132.99$$

7. E a dívida em si, em dólares, ao longo desses mesmos trinta anos. A economia capitaliza a 5% e fica 4,32 vezes maior; multiplique pelo rácio e a dívida é de 143 biliões. Mais do que triplicou enquanto o número que mede se isso é um problema descia.

   $$D_{30} = 1.0759 \times 132.99 = 143.1, \qquad \frac{143.1}{40.033} = 3.57$$