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Bilhetes, Notas e Obrigações: O Efeito do Rendimento no Preço

Compre um título do Tesouro ao par num dia de 2026, reavalie-o noutro e observe a alteração do preço. Os números são as próprias curvas diárias do Tesouro, nominais e protegidas da inflação.

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Lição

A teoria — Bilhetes, Notas e Obrigações: O Efeito do Rendimento no Preço

Uma obrigação é uma promessa de pagamento de montantes fixos em datas fixas. O seu preço e o seu rendimento são um único facto expresso de duas formas: o rendimento é a única taxa de desconto que faz com que os pagamentos prometidos totalizem esse preço. Ao fixar os pagamentos, os dois apenas se podem mover em direções opostas.

O que significa cada símbolo

P
preço por 100 de nominal
c
o cupão anual, pago em duas metades
y
o rendimento anual
n
o número de pagamentos ainda por realizar
D
duração modificada, a percentagem que o preço desce quando o rendimento sobe um ponto percentual
Pressupõe
Que os pagamentos chegam. Um título do Tesouro dos EUA não acarreta qualquer prémio de incumprimento no seu rendimento, o que faz dele o instrumento limpo para esta lição. Os preços aqui são fixados numa data de cupão, pelo que não existem juros corridos, e cada título é comprado ao par, logo o seu cupão iguala o rendimento na data de compra.
Falha quando
A duração é uma linha reta encostada a uma curva, pelo que sobreavalia uma perda e subavalia um ganho, e o erro cresce com o tamanho da variação: 0,02 pontos percentuais na nota a 2 anos este ano, 0,25 na de 30 anos. Essa curvatura é a convexidade, e o gráfico desenha as duas linhas para que as possa ver separar-se. A duração também assume que toda a curva se desloca em conjunto, o que não aconteceu em 2026, quando a parte curta se moveu mais do dobro do que a parte longa.

O segmento longo foi o que menos subiu em 2026 e o que mais perdeu

Ao longo dos oito meses até 4 de setembro, o rendimento a 2 anos subiu 90 pontos base e o de 30 anos subiu 38. Compre cada um ao par a 2 de janeiro e reavalie-os na curva de setembro: o de 2 anos vale 98,29 e o de 30 anos 94,28. A obrigação longa perdeu 3,35 vezes mais dinheiro com 0,42 vezes a variação do rendimento. A duração é a única razão, e a ferramenta mostra-o: 1,92 anos contra 15,70. Desça o seletor de títulos na lista e observe a perda aumentar enquanto a variação do rendimento diminui.

Quase nada disto foi inflação

O Tesouro publica uma segunda curva, destinada a títulos protegidos contra a inflação, e a diferença entre ambas reflete a taxa de inflação precificada pelo mercado. Dos 38 pontos-base acumulados pelo título de 30 anos neste ano, 33 vieram do rendimento real, que saltou de 2,63% para 2,96% e tocou 3,06% em 17 de agosto. Os 5 restantes vieram da inflação esperada. O medo da inflação é a explicação clássica para rendimentos longos elevados, mas aqui o seu papel é praticamente nulo.

A inflação a trinta anos é avaliada abaixo da inflação a dez anos, e assim esteve todo o ano

A 4 de setembro a inflação de equilíbrio era 2,35% a dez anos e 2,28% a trinta. Isto é o inverso para qualquer pessoa que espere que a inflação se agrave ao longo de décadas, e não se trata da peculiaridade de um dia: manteve-se em 170 das 171 sessões no ficheiro. Selecione a nota a 10 anos, leia a ficha de equilíbrio, e de seguida selecione a de 30 anos.

Um preço de 94 não é uma perda a menos que decida vender

A obrigação a 30 anos a 94,28 continua a pagar 100 na maturidade, e todos os cupões pelo meio. A perda pertence a um vendedor. É por isso que um banco pode registar a mesma obrigação a 94 e outro a 100, dependendo se é detida até à maturidade, sendo essa a distinção que determinou o destino do Silicon Valley Bank em 2023. O que a ficha de preço mostra é o que outra pessoa lhe pagaria hoje.

Qualquer maturidade na curva custa agora mais do que a dívida já paga

A taxa de juro média de toda a dívida federal remunerada era 3,447% a 31 de julho. O ponto mais barato na curva de 4 de setembro é a maturidade constante a um mês aos 3,79%, e a de trinta anos está nos 5,24%. À medida que a dívida antiga vence e é reemitida, a média sobe em direção à curva, o que acontece quer algum rendimento volte a mexer ou não.

Problema resolvido na íntegra

  1. Qual perde mais: 90 pontos base numa nota a dois anos ou 38 numa obrigação a trinta anos? 7 passos

    Ambas foram compradas ao par a 2 de janeiro de 2026. Ao longo dos oito meses até 4 de setembro, o rendimento da nota a 2 anos subiu 90 pontos base e o da de 30 anos subiu 38, menos de metade da distância. Calcule qual perdeu mais dinheiro, e por quanto, antes de ler as fichas de preço.

    1. A duração é uma média ponderada de quando o dinheiro de uma obrigação chega, cada pagamento ponderado pela sua quota no preço. Uma nota a dois anos paga quase tudo num prazo de dois anos. Uma obrigação a trinta anos tem cupões a cair três décadas à frente, e esses pagamentos distantes são aqueles sobre os quais uma taxa de desconto tem mais poder.

      D=∑tt Ct(1+i)t∑tCt(1+i)tD = \frac{\sum_t t\,\dfrac{C_t}{(1+i)^{t}}}{\sum_t \dfrac{C_t}{(1+i)^{t}}}

    2. Para uma obrigação comprada ao par existe uma fórmula fechada, pelo que não há necessidade de somar sessenta termos à mão. Sendo i o rendimento por semestre e n o número de semestres, a duração de Macaulay é ((1 + i) / i) × (1 − (1 + i)−n), medida em semestres.

      at par:D=1+ii(1−(1+i)−n)half-years\text{at par}:\quad D = \frac{1+i}{i}\Bigl(1 - (1+i)^{-n}\Bigr) \quad\text{half-years}

    3. A nota a dois anos: i = 3,47 / 200 = 0,01735 e n = 4. Isso resulta em 3,8988 semestres, logo 1,9494 anos.

      i=3.47200=0.01735, n=4:D=3.8988→1.9494 yearsi = \frac{3{.}47}{200} = 0{.}01735,\ n = 4: \quad D = 3{.}8988 \to 1{.}9494\ \text{years}

    4. A obrigação a trinta anos: i = 4,86 / 200 = 0,02430 e n = 60. Isso resulta em 32,1709 semestres, logo 16,0854 anos. Oito vezes o valor da nota a dois anos, a partir de quinze vezes a maturidade.

      i=4.86200=0.02430, n=60:D=32.1709→16.0854 yearsi = \frac{4{.}86}{200} = 0{.}02430,\ n = 60: \quad D = 32{.}1709 \to 16{.}0854\ \text{years}

    5. A duração modificada divide cada um por (1 + i): 1,9162 e 15,7038. Esse é o número de que a pergunta necessita, porque uma variação de preço é aproximadamente −D vezes a variação do rendimento.

      Dmod=D1+i:1.9162and15.7038D_{\text{mod}} = \frac{D}{1+i}: \quad 1{.}9162 \quad\text{and}\quad 15{.}7038

    6. A nota a dois anos: −1,9162 × 0,90% = −1,725%. A obrigação a trinta anos: −15,7038 × 0,38% = −5,967%.

      ΔPP≈−Dmod Δy:−1.9162×0.90%=−1.725%,−15.7038×0.38%=−5.967%\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y: \quad -1{.}9162 \times 0{.}90\% = -1{.}725\%, \quad -15{.}7038 \times 0{.}38\% = -5{.}967\%

    7. Agora compare com os preços exatos: −1,71% e −5,72%. A duração sobreavaliou ambos, em 0,02 pontos percentuais na de dois anos e 0,25 na de trinta anos.

      Δyduration saysactualerror2-year+0.90%−1.725%−1.71%0.0230-year+0.38%−5.967%−5.72%0.25\begin{array}{l|rrrr} & \Delta y & \text{duration says} & \text{actual} & \text{error} \\\\ \hline \text{2-year} & +0{.}90\% & -1{.}725\% & -1{.}71\% & 0{.}02 \\\\ \text{30-year} & +0{.}38\% & -5{.}967\% & -5{.}72\% & 0{.}25 \end{array}

    Resposta

    A obrigação a trinta anos perde 5,72% contra os 1,71% da de dois anos, um rácio de 3,35 a partir de 0,42 vezes a variação do rendimento. Só a duração previu 3,46, e a diferença é a convexidade: a relação preço-rendimento é uma curva, a duração é a linha reta tangente à mesma no ponto de compra, e quanto mais longa a obrigação mais cedo essa linha se afasta da curva. Abra o painel de preço e rendimento para ver ambas desenhadas em conjunto. O erro é unilateral, pois a curva dobra para cima em todo o lado, pelo que a duração sobreavalia sempre uma perda e subavalia sempre um ganho.

    5.721.71=3.35from0.380.90=0.42\frac{5{.}72}{1{.}71} = 3{.}35 \qquad\text{from}\qquad \frac{0{.}38}{0{.}90} = 0{.}42
Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.