Representação de dados

Introduz números ou escolhe um conjunto de dados. O diagrama de pontos, o histograma e o diagrama de extremos e quartis usam a mesma escala: cada valor ocupa a mesma posição nos três. Por baixo estão o diagrama de caule e folhas e a tabela de frequências. Escolhe categorias para obter um gráfico de barras.

Frequência relativa	$\frac{f}{n}$
Amplitude interquartil	$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$
Valor atípico	$\begin{aligned}&x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Exemplo resolvido — Representação de dados

Número de valores	25
Mínimo	47
Primeiro quartil Q₁	53
Mediana M	74
Terceiro quartil Q₃	83,5
Máximo	88
Amplitude interquartil	30,5
Limite inferior	7,25

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Representação de dados

A distribuição de uma variável indica os valores que ela assume e com que frequência. Uma variável qualitativa associa cada indivíduo a uma categoria; uma variável quantitativa associa-lhe um número com o qual faz sentido efetuar operações aritméticas.

De onde vem a fórmula

Identifica o tipo de variável. Contam-se as ocorrências de cada categoria e representam-se num gráfico de barras; os valores numéricos representam-se numa reta numérica. Um número que serve apenas de identificação, como um código postal ou o número de uma camisola, corresponde a uma variável qualitativa.
Conta as ocorrências. A frequência absoluta f de uma categoria ou classe é o número de indivíduos que lhe pertencem. A frequência relativa obtém-se dividindo f pelo número total de indivíduos n. A soma das frequências relativas é 1; somando-as sucessivamente, obtém-se a frequência relativa acumulada.
$\frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\dots+\frac{f_k}{n}=1$
Conserva cada valor: diagrama de pontos e diagrama de caule e folhas. Num diagrama de pontos, cada valor é representado por um ponto acima de uma reta numérica, empilhando-se os pontos de valores iguais. Num diagrama de caule e folhas, cada valor divide-se num caule (todos os algarismos exceto o último) e numa folha (o último algarismo): 47 escreve-se 4 | 7. A unidade da folha u indica quanto vale cada unidade da folha; com u = 0,1, o mesmo 4 | 7 representa 4,7.
$x=(10s+\ell)\,u$
Agrupa em classes: o histograma. Escolhe uma amplitude w e um limite de classe a. Cada classe inclui o seu limite esquerdo e exclui o direito; a altura da barra corresponde à frequência absoluta. As classes cobrem a reta numérica sem intervalos entre elas, pelo que as barras se tocam.
$[a+jw,\ a+(j+1)w),\qquad j=0,1,2,\dots$
Resume em cinco números: o diagrama de extremos e quartis. Ordena os dados. A mediana M é o valor central ou, quando n é par, a média dos dois valores centrais. Q₁ e Q₃ são as medianas das metades inferior e superior, excluindo M de ambas quando n é ímpar. A caixa estende-se de Q₁ a Q₃; um valor que fique a mais de 1,5 AIQ para lá da caixa é representado isoladamente como valor atípico. Cada bigode termina no valor mais extremo que não é atípico.
$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,\qquad x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$

Pressupõe: As calculadoras podem dar quartis diferentes. Esta página usa o método das metades da TI-84 e do programa AP Statistics; as funções das folhas de cálculo interpolam entre valores e podem obter Q₁ e Q₃ diferentes para os mesmos dados.

Problemas resolvidos na íntegra

Qualitativa ou quantitativa? 2 passos
Uma escola regista, para cada aluno, (a) o número de irmãos, (b) a altura em centímetros, (c) a disciplina preferida, (d) o código postal e (e) o tempo que demora a correr 100 m. Quais são as variáveis qualitativas e as quantitativas? Das quantitativas, quais são discretas?
1. Pensa se a média dos valores teria algum significado. A altura média e o número médio de irmãos fazem sentido. Já a média das disciplinas preferidas ou dos códigos postais não tem significado, apesar de os códigos postais se escreverem com algarismos.
2. Entre as variáveis quantitativas, uma contagem só pode assumir valores inteiros, enquanto uma medição pode assumir qualquer valor num intervalo.
Resposta

Qualitativas: (c) e (d). Quantitativas: (a), (b) e (e), sendo (a) discreta e (b) e (e) contínuas.
Uma tabela de frequências e um gráfico de barras 3 passos
Vinte alunos responderam à pergunta «Como costumas ir para a escola?»: carro, autocarro, a pé, carro, bicicleta, autocarro, carro, a pé, carro, autocarro, carro, bicicleta, a pé, carro, autocarro, carro, a pé, carro, autocarro, carro. Constrói uma tabela com as frequências absolutas e relativas, indica a moda e escolhe o gráfico adequado.

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1. Conta as ocorrências de cada resposta. A soma tem de ser igual a n:
  
  $f_{\mathrm{car}}=9,\quad f_{\mathrm{bus}}=5,\quad f_{\mathrm{walk}}=4,\quad f_{\mathrm{bike}}=2,\qquad 9+5+4+2=20$
2. Divide cada frequência absoluta por n = 20:
  
  $\frac{9}{20}=0.45,\qquad\frac{5}{20}=0.25,\qquad\frac{4}{20}=0.20,\qquad\frac{2}{20}=0.10$
3. A forma de deslocação é uma variável qualitativa, pelo que se representa num gráfico de barras: uma barra por resposta, com espaços entre barras, na ordem que tornar a leitura mais clara.
Resposta

Carro 9 (45%), autocarro 5 (25%), a pé 4 (20%), bicicleta 2 (10%). A moda é carro. O gráfico adequado é um gráfico de barras.

$\mathrm{mode}=\mathrm{car},\qquad\frac{f}{n}=45\%$
Ler um diagrama de pontos 2 passos
O diagrama de pontos dos primeiros 25 tempos de espera do Old Faithful apresenta estes valores, em minutos: 47, 47, 51, 51, 52, 52, 54, 54, 55, 62, 62, 69, 74, 74, 78, 78, 79, 79, 83, 84, 84, 85, 85, 85, 88. Que proporção dos tempos de espera ultrapassou os 80 minutos? Onde se concentram os valores?

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1. Conta os pontos à direita de 80: 83, 84, 84, 85, 85, 85 e 88.
  
  $\frac{7}{25}=0.28$
2. Observa a distribuição: os pontos concentram-se entre 47 e 55 e entre 74 e 88, com apenas 62, 62 e 69 pelo meio.
Resposta

7 dos 25 tempos de espera, ou 28%, ultrapassaram os 80 minutos. Há dois grupos, de 47 a 55 e de 74 a 88, com três tempos de espera entre eles.

$\frac{7}{25}=28\%$
Ler a mediana e os quartis num diagrama de caule e folhas 3 passos
Constrói um diagrama de caule e folhas com os mesmos 25 tempos de espera e usa-o para determinar a mediana e os quartis.

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1. Os caules são os algarismos das dezenas, de 4 a 8; as folhas são os algarismos das unidades, escritos por ordem:
  
  $\begin{array}{r|l}4&7\,7\\5&1\,1\,2\,2\,4\,4\,5\\6&2\,2\,9\\7&4\,4\,8\,8\,9\,9\\8&3\,4\,4\,5\,5\,5\,8\end{array}$
2. Com n = 25, a mediana corresponde à 13.ª folha, contando de cima para baixo:
  
  $M=x_{(13)}=74$
3. Exclui a mediana. A metade inferior contém os primeiros 12 valores, pelo que Q₁ é a média do 6.º e do 7.º; a metade superior contém os últimos 12, pelo que Q₃ é a média do 19.º e do 20.º:
  
  $Q_1=\frac{x_{(6)}+x_{(7)}}{2}=\frac{52+54}{2}=53,\qquad Q_3=\frac{x_{(19)}+x_{(20)}}{2}=\frac{83+84}{2}=83.5$
Resposta

M = 74 minutos, Q₁ = 53 e Q₃ = 83,5.

$M=74,\qquad Q_1=53,\qquad Q_3=83.5$
Um histograma e a classe que contém a mediana 3 passos
Agrupa os mesmos 25 tempos de espera em classes de amplitude 10 minutos, a partir de 40. Indica a frequência relativa e a frequência relativa acumulada de cada classe e identifica a classe que contém a mediana.

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1. Conta os valores nas classes [40, 50), [50, 60) e assim sucessivamente; um valor num limite, como 50, pertenceria à classe à sua direita:
  
  $f=2,\ 7,\ 3,\ 6,\ 7,\qquad 2+7+3+6+7=25$
2. Divide por 25 e acumula as frequências relativas:
  
  $\frac{f}{25}=0.08,\ 0.28,\ 0.12,\ 0.24,\ 0.28;\qquad\sum\frac{f}{25}=0.08,\ 0.36,\ 0.48,\ 0.72,\ 1$
3. A mediana é o 13.º valor. A frequência absoluta acumulada é 12 no fim de [60, 70) e 18 no fim de [70, 80), pelo que o 13.º valor pertence a [70, 80).
  
  $2+7+3=12<13\le 2+7+3+6=18$
Resposta

Frequências relativas: 8%, 28%, 12%, 24%, 28%; acumuladas: 8%, 36%, 48%, 72%, 100%. A mediana pertence a [70, 80).

$M\in[70,\ 80)$
Limites, valores atípicos e bigodes 3 passos
As 66 medições do tempo de propagação da luz feitas por Newcomb têm Q₁ = 24, M = 27 e Q₃ = 31. Os valores mais baixos são −44, −2, 16 e 16, e os mais altos são 37, 39 e 40. Calcula os limites para identificar valores atípicos, indica esses valores e determina onde terminam os bigodes do diagrama de extremos e quartis.

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1. Calcula a amplitude interquartil e depois os limites, a uma distância de 1,5 AIQ para lá de cada extremidade da caixa:
  
  $\mathrm{IQR}=31-24=7,\qquad 24-1.5\times7=13.5,\qquad 31+1.5\times7=41.5$
2. Qualquer valor inferior a 13,5 ou superior a 41,5 é atípico. −44 e −2 são inferiores a 13,5, e nenhum valor chega a 41,5:
  
  $-44<13.5,\qquad -2<13.5,\qquad 40<41.5$
3. Cada bigode termina no valor mais extremo que não é atípico: 16 no lado inferior e 40 no superior. −44 e −2 representam-se como pontos isolados.
Resposta

Limites: 13,5 e 41,5; valores atípicos: −44 e −2. A caixa vai de 24 a 31, com a mediana em 27, e os bigodes estendem-se até 16 e 40.

$16,\ 24,\ 27,\ 31,\ 40;\qquad -44,\ -2$
O que um diagrama de extremos e quartis não revela 2 passos
A Turma A obteve as pontuações 40, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 59, 60, 62, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 92, 100, e a Turma B obteve 40, 43, 47, 50, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 71, 74, 78, 81, 84, 86, 90, 94, 97, 100. Compara os diagramas de extremos e quartis e depois os histogramas com classes de amplitude 10 pontos.

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1. Com n = 20, a mediana é a média do 10.º e do 11.º valores. Cada metade contém 10 valores, pelo que Q₁ é a média do 5.º e do 6.º e Q₃ é a média do 15.º e do 16.º:
  
  $A:\ \frac{53+57}{2}=55,\ \frac{62+78}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85\qquad B:\ \frac{54+56}{2}=55,\ \frac{69+71}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85$
2. Ambas as turmas têm mínimo 40 e máximo 100, pelo que os diagramas de extremos e quartis são iguais. Os histogramas diferem nas frequências de cada classe, a partir de [40, 50):
  
  $A:\ 2,\ 6,\ 2,\ 1,\ 7,\ 1,\ 1\qquad B:\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 1$
Resposta

O mesmo diagrama de extremos e quartis, com 40, 55, 70, 85, 100, representa duas distribuições diferentes. A Turma A tem dois grupos, sem pontuações entre 62 e 78: o diagrama de pontos e o de caule e folhas mostram esse intervalo vazio com precisão, o histograma revela os dois grupos e o diagrama de extremos e quartis não mostra nenhuma destas características. Na Turma B, as pontuações distribuem-se uniformemente.

$40,\ 55,\ 70,\ 85,\ 100$

Problemas suplementares, só com a resposta

Determina o resumo dos cinco números de 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 31, 47 e indica se 47 é um valor atípico.

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12, 15, 20, 28, 47. O limite superior é 47,5, pelo que 47 não é um valor atípico.

$12,\ 15,\ 20,\ 28,\ 47;\qquad 28+1.5\times13=47.5>47$
Das 2 201 pessoas a bordo do Titanic, 885 eram tripulantes. Qual é a frequência relativa dos tripulantes e que gráfico é adequado para a variável «classe»?

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885/2 201 ≈ 40,2%; um gráfico de barras.

$\frac{885}{2201}\approx40.2\%$
Num diagrama de caule e folhas com unidade da folha 0,1, que valores representam 3 | 4 e −0 | 2?

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3,4 e −0,2

$3.4,\qquad -0.2$
Os 272 tempos de espera do Old Faithful, agrupados em classes de 5 minutos a partir de 40, têm frequências absolutas 1, 20, 32 e 24 nas primeiras quatro classes. Que proporção dos tempos de espera foi inferior a 60 minutos?

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77/272 ≈ 28,3%

$\frac{1+20+32+24}{272}=\frac{77}{272}\approx28.3\%$
Quais destas representações permitem recuperar cada valor dos dados: diagrama de pontos, diagrama de caule e folhas, histograma e diagrama de extremos e quartis?

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O diagrama de pontos e o diagrama de caule e folhas, este último com a precisão da unidade da folha.
Um diagrama de extremos e quartis tem Q₁ = 30 e Q₃ = 50. Um valor de 82 é atípico? E um valor de 0?

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82 é atípico (o limite superior é 80); 0 não é, pois o limite inferior é 0 e 0 não é inferior a esse limite.

$50+1.5\times20=80<82,\qquad 30-1.5\times20=0$

O Old Faithful tem duas elevações com classes de 5 minutos e uma com classes de 20

Seleciona 272, classes de 5 min: os tempos de espera entre erupções concentram-se perto dos 50 minutos e dos 80, formando duas elevações com uma depressão entre elas. Tenta prever o que acontecerá com classes quatro vezes mais largas e seleciona 272, classes de 20 min. As barras têm frequências 77, 103 e 92 e formam uma única elevação, seja qual for o início da primeira classe. O géiser manteve-se o mesmo entre as duas imagens. Reduz a amplitude para 2 minutos e o histograma passa a ter oito picos, na maioria devidos a flutuações aleatórias. A forma de um histograma depende, em parte, das escolhas de quem o desenha. Antes de classificares uma distribuição como bimodal, observa-a com diferentes amplitudes de classe. O diagrama de pontos acima não exige essa escolha e mostra os dois grupos em qualquer posição do cursor.

A Turma A e a Turma B têm o mesmo diagrama de extremos e quartis

Seleciona Turma A e depois Turma B, de olhos no diagrama de extremos e quartis: fica exatamente igual. As duas turmas têm o resumo dos cinco números 40, 55, 70, 85, 100. Sem valores atípicos, bastam esses cinco números para desenhar o diagrama. No diagrama de pontos, a diferença salta à vista. Na Turma A, ninguém obteve uma pontuação entre 62 e 78, pelo que se distinguem dois grupos; na Turma B, as pontuações distribuem-se uniformemente de 40 a 100. Qualquer conjunto de dados com os mesmos cinco números produz o mesmo diagrama de extremos e quartis. Assim, podem ficar escondidos um intervalo sem observações, uma segunda elevação e até o número de valores. Este diagrama é adequado para comparar vários grupos lado a lado, mas pouco revela sobre a forma da distribuição dentro de cada grupo.

A forma de um gráfico de barras depende da ordem escolhida

Seleciona Titanic por classe: 325 na primeira classe, 285 na segunda, 706 na terceira e 885 tripulantes. Assinala «Ordenar barras por frequência» e as barras descem da esquerda para a direita, como num histograma com assimetria positiva; retira a seleção e as barras descem para depois subirem. A ordem é uma escolha tua, pois a categoria «tripulação» não é maior nem menor do que «primeira classe». Por isso, falar de assimetria ou simetria não caracteriza esta variável. As barras de um histograma não podem trocar de lugar: cada uma ocupa uma posição própria na reta numérica. É também por isso que se tocam, enquanto as de um gráfico de barras ficam separadas. Descreve uma variável qualitativa pelas suas frequências e proporções (tripulantes: 40,2% das 2 201 pessoas a bordo) e reserva a análise da forma da distribuição para variáveis quantitativas.

Percurso de aprendizagem

Estatística: dos dados às proporções

Referências (6)

The stem-and-leaf display, the box-and-whisker plot, and the fences 1.5 times the spread between the hinges beyond the box, which the outlier rule on this page follows: Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07616-0.
Why quartiles differ between calculators and packages: nine sample-quantile definitions in use, compared. This page uses the medians of the two halves: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
The rule behind the page's starting bin width, about 1 + log₂ n classes: Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
Old Faithful's 272 waiting times between eruptions, the data set behind the first three presets and insight block 1; R's documentation gives the source as Härdle (1991): R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Simon Newcomb's 66 measurements of the passage time of light (1882), as listed in Table 5; the Newcomb preset and solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.
The Titanic preset: 325 first-class, 285 second-class and 706 third-class passengers and 885 crew, 2,201 people, from the British Board of Trade inquiry: Dawson, R. J. MacG. (1995). The “unusual episode” data revisited. Journal of Statistics Education, 3(3).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Representação de dados

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

O Old Faithful tem duas elevações com classes de 5 minutos e uma com classes de 20 🖖

A Turma A e a Turma B têm o mesmo diagrama de extremos e quartis 🖖

A forma de um gráfico de barras depende da ordem escolhida 🖖

O Old Faithful tem duas elevações com classes de 5 minutos e uma com classes de 20

A Turma A e a Turma B têm o mesmo diagrama de extremos e quartis

A forma de um gráfico de barras depende da ordem escolhida