Ampèresches Gesetz

Läufst du einmal eine geschlossene Schleife ab und summierst die tangentiale Komponente von B auf, erhältst du das μ₀-Fache des Stroms, der durch die Schleife tritt. Für stationäre Ströme gilt das immer, nützt aber ähnlich wie der Gaußsche Satz nur bei passender Symmetrie: Ist B entlang des Wegs konstant und verläuft parallel dazu, wird aus dem Integral einfach das Produkt aus B und der Weglänge, und B folgt in einer einzigen Zeile. Wähle einen Strom, zieh die Schleife auf und lies den eingeschlossenen Strom sowie das Feld direkt ab.

Ampèresches Gesetz mit Maxwells Verschiebungsstrom	$\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\Bigl(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)$
Lange Spule und Toroid	$B=\mu_0nI,\qquad B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$

Rechenbeispiel — Ampèresches Gesetz

Strom durch die Schleife	1,25 A
Umfang der Schleife	0,06283 m
μ₀ mal Strom	1,571×10⁻⁶ T·m
B auf der Schleife	25 μT

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Ampèresches Gesetz

Ampèresches Gesetz: Entlang jeder geschlossenen Kurve entspricht das Wegintegral über B dem μ₀-Fachen des umschlossenen Stroms: ∮B·dl = μ₀I_enc. Mit Maxwells Ergänzung schließt dieser Strom auch den Verschiebungsstrom ε₀ dΦ_E/dt ein.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

I_enc: der Nettostrom durch eine von der Schleife berandete Fläche, orientiert nach der Rechte-Hand-Regel
n: Windungszahl pro Meter einer Spule
K: Strombelag pro Meter Breite einer Schicht

Woher die Formel kommt

Wähle eine Schleife, auf der B durch Symmetrie festliegt. Um einen geraden Leiter ist B entlang eines konzentrischen Kreises überall gleich groß und tangential gerichtet; das Integral vereinfacht sich zu B·2πr.
$\oint\vec B\cdot d\vec l=B\cdot2\pi r=\mu_0I_{\mathrm{enc}}$
Bestimme den umschlossenen Strom. Fließt der Strom homogen im Draht, erfasst eine Schleife im Inneren den Anteil r²/R². Außerhalb schließt sie den gesamten Strom ein.
$I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}},\qquad r\ge R:\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
Lange Spule. Lege ein Rechteck mit einer Kante innen und einer Kante außen an. Außen ist B vernachlässigbar, und die kurzen Seiten stehen senkrecht auf B. Nur die innere Kante zählt, und sie umschließt nℓ Windungen.
$B\ell=\mu_0n\ell I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
Toroid. Ein Kreis im Kerninneren umschließt alle N Windungen genau einmal; folglich gilt B·2πr = μ₀NI, und B fällt proportional zu 1/r ab.
$B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
Wenn der Strom nicht stationär ist. Zwischen den Platten eines ladenden Kondensators fließt kein Ladungsstrom, doch der elektrische Fluss ändert sich – an seine Stelle tritt der Verschiebungsstrom ε₀ dΦ_E/dt.
$I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},\qquad\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+I_{d}\right)$

Setzt voraus: Stationäre Ströme für die Schritte 1 bis 4 sowie ausgedehnte, symmetrische Anordnungen. Das Feld einer realen Spule entspricht nur weit im Inneren abseits der Enden exakt μ₀nI, und das Außenfeld ist klein, aber nicht absolut null. Luft oder Vakuum vorausgesetzt; ein Eisenkern im Inneren vervielfacht B.

Aufgaben vollständig gelöst

Im Inneren und außerhalb eines dicken Drahtes 3 Schritte
Ein Draht vom Radius 2,0 cm führt einen homogen verteilten Strom von 5,0 A. Bestimme B im Abstand von 1,0 cm und 4,0 cm zur Achse.

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1. Im Inneren umschließt die Schleife den Anteil r²/R² des Stroms:
  
  $I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=(5{.}0)\,\frac{(0{.}01)^{2}}{(0{.}02)^{2}}=1{.}25\ \mathrm{A}$
2. Ampèresches Gesetz entlang der Kreislinie:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1{.}25)}{2\pi\,(0{.}01)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Außerhalb ist der gesamte Strom I eingeschlossen:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}04)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

25 μT bei beiden Radien. Im Inneren wächst B proportional zu r bis auf 50 μT an der Oberfläche; außen fällt das Feld mit 1/r ab.

$B(1\ \mathrm{cm})=B(4\ \mathrm{cm})=25\ \mu\mathrm{T}$
Ein Koaxialkabel 2 Schritte
Ein Koaxialkabel führt 5,0 A im Innenleiter vom Radius 0,50 cm hin und in einem dünnen Außenleiter vom Radius 3,0 cm zurück. Bestimme B im Abstand von 2,0 cm und 4,0 cm zur Achse.

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1. Zwischen den Leitern erfasst die Schleife nur den inneren Strom:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0I\ \Rightarrow\ B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)}=5{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Außerhalb des Kabels umschließt sie beide Ströme, die sich aufheben:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0\,(I-I)=0$
Antwort

50 μT bei 2,0 cm und null bei 4,0 cm.

$B(2\ \mathrm{cm})=50\ \mu\mathrm{T},\qquad B(4\ \mathrm{cm})=0$
Eine lange Spule 2 Schritte
Eine lange Spule hat 2.000 Windungen pro Meter und führt 3,0 A. Bestimme B im Spuleninneren.

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1. Ein Rechteck mit einer inneren Kantenlänge ℓ umschließt nℓ Windungen mit je einem Strom I; nur die Innenkante liefert einen Beitrag:
  
  $B\ell=\mu_0\,(n\ell)\,I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
2. Eingesetzt:
  
  $B=(4\pi\times10^{-7})(2000)(3{.}0)\approx7{.}540\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Antwort

7,54 mT, ganz unabhängig vom Spulenradius und an jedem Punkt im Inneren abseits der Enden.

$B=\mu_0nI\approx7{.}54\ \mathrm{mT}$
Das Ende einer endlichen Spule 3 Schritte
Die Spule aus Aufgabe 3 ist 50 cm lang und hat einen Radius von 2,0 cm. Bestimme B auf der Achse in der Mitte und an einem offenen Ende.

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1. Die Überlagerung der Einzelschleifen (über das Gesetz von Biot-Savart) liefert auf der Achse:
  
  $B=\frac{\mu_0nI}{2}\left(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2\right)$
2. In der Mitte gilt cos α₁ = −cos α₂ = (L/2)/√(L²/4 + R²):
  
  $B(0)=\mu_0nI\,\frac{L/2}{\sqrt{L^{2}/4+R^{2}}}=(7{.}540\times10^{-3})\,\frac{0{.}25}{\sqrt{0{.}0625+0{.}0004}}\approx7{.}516\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
3. Am Ende gilt cos α₁ = L/√(L² + R²) und cos α₂ = 0:
  
  $B(\tfrac{L}{2})=\frac{\mu_0nI}{2}\,\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}=(3{.}770\times10^{-3})\,\frac{0{.}50}{\sqrt{0{.}25+0{.}0004}}\approx3{.}767\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Antwort

7,516 mT in der Mitte, 3,767 mT am Ende: bis auf 0,1 % genau die Hälfte von μ₀nI.

$B(0)\approx7{.}516\ \mathrm{mT},\qquad B(\tfrac{L}{2})\approx3{.}767\ \mathrm{mT}$
Ein Toroid 2 Schritte
Ein Toroid trägt 500 Windungen mit 2,0 A auf einem Kern von 5,0 cm bis 10 cm Radius. Bestimme B an der Innen- und Außenwand des Kerns sowie außerhalb.

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1. Ein Kreis vom Radius r im Kerninneren umschließt alle N Windungen:
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
2. An den beiden Wänden:
  
  $B(0{.}05)=\frac{(2\times10^{-7})(500)(2{.}0)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T},\qquad B(0{.}10)=2{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Antwort

4,0 mT bei 5,0 cm, 2,0 mT bei 10 cm und null außerhalb des Kerns.

$B_{a}=4\ \mathrm{mT},\qquad B_{b}=2\ \mathrm{mT}$
Eine Stromschicht 1 Schritte
Eine ausgedehnte ebene Schicht führt einen Strombelag von 100 A pro Meter Breite. Bestimme B in ihrer Nähe.

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1. Ein Rechteck durch die Schicht mit parallelen Kanten der Länge ℓ umschließt Kℓ; B verläuft entlang beider Kanten entgegengesetzt, und die senkrechten Seiten tragen nichts bei:
  
  $2B\ell=\mu_0K\ell\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0K}{2}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2}\approx6{.}283\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

62,83 μT zu beiden Seiten parallel zur Schicht; der Wert ist in jedem Abstand derselbe, solange die Schicht aus dieser Distanz unendlich ausgedehnt erscheint.

$B=\frac{\mu_0K}{2}\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Zwischen den Platten eines ladenden Kondensators 2 Schritte
Kreisförmige Platten vom Radius 10 cm werden mit einem Strom von 2,0 A geladen. Bestimme B zwischen den Platten im Abstand von 5,0 cm zur Achse.

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1. Zwischen den Platten wächst E = σ/ε₀ mit der Ladung; durch eine Kreisfläche vom Radius r beträgt der Fluss (Q/ε₀)(r²/R²), der Verschiebungsstrom ist also
  
  $I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Q}{\varepsilon_0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=0{.}5\ \mathrm{A}$
2. Ampèresches Gesetz mit Maxwell-Term:
  
  $B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(0{.}5)}{2\pi\,(0{.}05)}=2{.}0\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Antwort

2,0 μT. Außerhalb der Platten, bei r ≥ R, beträgt das Feld μ₀I/(2πr), genau wie um die Zuleitung.

$B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}}=2\ \mu\mathrm{T}$
Ein Draht mit inhomogener Stromdichte 3 Schritte
Ein Draht vom Radius 2,0 cm führt 5,0 A mit der Stromdichte J = J₀r/R. Bestimme J₀ sowie B im Abstand von 1,0 cm zur Achse.
Lösung anzeigen
1. Der Strom innerhalb des Radius r, integriert über Kreisringe der Fläche 2πr′ dr′:
  
  $I(r)=\int_{0}^{r}J_0\frac{r'}{R}\,2\pi r'\,dr'=\frac{2\pi J_0r^{3}}{3R}$
2. Mit r = R folgt J₀, und das Ampèresche Gesetz liefert B:
  
  $J_0=\frac{3I}{2\pi R^{2}}=\frac{3\,(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)^{2}}\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=\frac{\mu_0I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0I\,r^{2}}{2\pi R^{3}}$
3. Bei r = 1,0 cm:
  
  $B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)^{2}}{2\pi\,(0{.}02)^{3}}=1{.}25\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

J₀ = 5.968 A/m²; B = 12,5 μT, genau die Hälfte der 25 μT bei homogener Verteilung, da sich hier mehr Strom am Rand konzentriert.

$J_0\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=12{.}5\ \mu\mathrm{T}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Ein langer, gerader Draht vom Radius 1,0 mm führt einen homogen verteilten Strom von 10 A. Bestimme B an seiner Oberfläche.

Ergebnis anzeigen

2,0 mT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi R}=2{.}0\ \mathrm{mT}$
Eine Spule von 30 cm Länge hat 600 Windungen und führt 2,0 A. Bestimme B im Inneren abseits der Enden.

Ergebnis anzeigen

5,027 mT.

$B=\mu_0\,\frac{N}{L}\,I\approx5{.}027\ \mathrm{mT}$
Ein Toroid mit 1.000 Windungen führt 1,5 A. Bestimme B auf der Mittellinie des Kerns bei einem Radius von 8,0 cm.

Ergebnis anzeigen

3,75 mT.

$B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}=3{.}75\ \mathrm{mT}$
Zwei parallele Stromschichten führen je 50 A pro Meter Breite in entgegengesetzter Richtung. Bestimme B zwischen ihnen sowie außerhalb.

Ergebnis anzeigen

62,83 μT dazwischen, null außerhalb.

$B=2\cdot\frac{\mu_0K}{2}=\mu_0K\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Ein Koaxialkabel führt 4,0 A in einem hohlen Innenleiter vom Radius 1,0 mm hin und in einem Außenleiter vom Radius 5,0 mm zurück. Bestimme B im Abstand von 0,5 mm, 3,0 mm und 6,0 mm zur Achse.

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0, 266,7 μT und 0.

$0,\quad\frac{\mu_0I}{2\pi r}\approx266{.}7\ \mu\mathrm{T},\quad0$
Ein Kondensator mit kreisförmigen Platten vom Radius 5,0 cm wird so geladen, dass zwischen ihnen dE/dt = 1,0 × 10¹² V/(m·s) gilt. Bestimme den Verschiebungsstrom sowie B am Rand der Platten.

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0,06954 A und 0,2782 μT.

$I_{d}=\varepsilon_0\pi R^{2}\frac{dE}{dt}\approx0{.}06954\ \mathrm{A},\qquad B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi R}\approx0{.}2782\ \mu\mathrm{T}$

Am Ende einer langen Spule halbiert sich das Feld

Klick auf Am Spulenende. 50 cm Länge, 2.000 Windungen pro Meter, 3 A: In der Mitte steht das Feld bei 7,516 mT, praktisch gleich μ₀nI = 7,54 mT, und an der Öffnung misst du 3,767 mT. Die Halbierung folgt direkt aus der Symmetrie. Setz eine zweite, identische Spule nahtlos an das offene Ende. Jetzt liegt die Nahtstelle tief im Inneren einer doppelt so langen Spule. Dort herrscht nahezu perfekt μ₀nI, und beide Hälften tragen gleich viel bei. Nimmst du eine Spule weg, bleibt genau die Hälfte übrig: für diesen Aufbau 49,96 % von μ₀nI, im Grenzfall einer endlosen Spule exakt die Hälfte. Das Feld fällt auch keineswegs gleichmäßig von der Mitte aus ab. Wenn du P entlang der Achse verschiebst, weicht B bis etwa fünf Radien vor der Öffnung (10 cm) um weniger als 1 % von μ₀nI ab; erst auf diesem letzten Stück bricht die Hälfte weg.

Im Toroid ist das Feld über den Kern nicht konstant

Klick auf Ein Toroid. Ein Kreis vom Radius r im Kerninneren umschließt alle N Windungen, folglich gilt B = μ₀NI/(2πr). Weil r im Kern variiert, ändert sich auch das Feld: 4 mT an der Innenwand bei 5 cm, 2 mT an der Außenwand bei 10 cm. Biegst du eine Spule zum Ring, rücken die Windungen innen zwangsläufig enger zusammen. Außerhalb des Kerns umschließt eine Schleife entweder überhaupt keine Windung oder jede Windung zweimal – einmal hin, einmal zurück. Das resultierende Feld ist null. Ein Toroid sperrt sein Magnetfeld vollständig im Kern ein; aus genau diesem Grund werden so viele Transformatoren und Drosseln auf Ringkerne gewickelt.

Beim Laden eines Kondensators versagt Ampères ursprüngliches Gesetz

Klick auf Ladender Kondensator. Keine Ladung überquert den Spalt, und doch misst du entlang einer Schleife vom Radius 5 cm zwischen den Platten ein Feld von 2 μT. Spannst du eine ebene Kreisfläche in diese Schleife, fließt kein Strom hindurch. Wölbst du dieselbe Schleife becherförmig um eine der Platten herum, durchstößt der Leitungsstrom von 2 A diese Fläche. Das Ampèresche Gesetz darf für ein und dieselbe Schleife nicht zwei verschiedene Antworten liefern. Maxwells Korrektur ergänzt die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses, ε₀ dΦ_E/dt, als Verschiebungsstrom: Durch die ebene Kreisfläche beträgt er (r/R)² von 2 A, also 0,5 A – und genau das ergibt die 2 μT. Erst dieser Term erlaubt es einem veränderlichen elektrischen Feld, ein Magnetfeld zu erzeugen. Mit ihm sagten die Maxwell-Gleichungen elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit voraus; Hertz begann 1887, sie experimentell nachzuweisen.

Lernpfad

Woher Felder kommen

Quellen (4)

Ampère's law over an arbitrary closed path, and the thick wire inside (μ₀I₀r/(2πa²)) and outside (Example 12.7): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.5, “Ampère's Law”.
The long solenoid μ₀nI (zero outside), the toroid μ₀NI/(2πr) (zero outside), and the finite solenoid on its axis in the form (μ₀NI/2L)(sin θ₂ − sin θ₁): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.6, “Solenoids and Toroids”.
Insight block 3: the charging capacitor with two surfaces on one loop, the displacement current I_d = ε₀ dΦ_E/dt, and Maxwell's prediction of electromagnetic waves travelling at the speed of light, confirmed by Hertz from 1887: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 16.1, “Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves”.
Insight block 3: the paper in which Maxwell's equations, with the displacement current, give electromagnetic waves: J. C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865), pp. 459-512. DOI 10.1098/rstl.1865.0008

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.