Elektrisches-Feld-Visualisierer

Platziere Ladungen und beobachte elektrische Feldlinien und Äquipotentiallinien in Echtzeit.

Coulomb-Gesetz: Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an	$\begin{gathered}F=\frac{k\|q_1q_2\|}{r^{2}}\\ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{.}988\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}\end{gathered}$
Das Feld: Kraft pro Ladung, vektoriell addiert	$\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^{2}}\,\hat r_i$
Potenzial und Energie: als einfache Zahlen addiert	$\begin{gathered}V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad W=q\,\Delta V\\ U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}\end{gathered}$

Rechenbeispiel — Elektrisches-Feld-Visualisierer

Feld von q1 in P	0,25
Gesamtladung	1
Gesamtfeld in P	0,25
Richtung bezogen auf +x	0°
Potenzial in P	0,5

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Elektrisches-Feld-Visualisierer

Das elektrische Feld an einem Ort ist die Kraft, die eine kleine positive Probeladung dort erfahren würde, geteilt durch diese Ladung: E = F/q₀. Eine Punktladung q erzeugt ein Feld vom Betrag k|q|/r². Es zeigt von ihr weg, wenn q positiv ist, und zu ihr hin, wenn q negativ ist. Die Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

k: Coulomb-Konstante, 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C²
r_i: der Abstand von Ladung i zum Punkt P
ê_i: die Richtung des Feldes von Ladung i in P, ein Vektor der Länge 1: von der Ladung nach P, wenn q_i positiv ist; von P zur Ladung, wenn q_i negativ ist

Woher die Formel kommt

Coulomb-Gesetz. Zwei Punktladungen stoßen sich entlang ihrer Verbindungslinie ab oder ziehen sich an, mit einer Kraft, die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt.
$F=\frac{k|q_1q_2|}{r^{2}}$
Kürze die Probeladung heraus. Was übrig bleibt, gehört der Quelle allein. Das ist das Feld, und es ist in P auch dann da, wenn sich dort gar nichts befindet, was es spüren könnte.
$E=\frac{F}{q_0}=\frac{k|q|}{r^{2}},\qquad\vec F=q_0\vec E$
Addiere die Felder komponentenweise. Jede Ladung steuert ihren Betrag E_i multipliziert mit ihrer Richtung ê_i bei; der grüne Pfeil in P ist die Summe.
$\begin{gathered}E_x=\sum_i E_i\,\hat e_{i,x},\quad E_y=\sum_i E_i\,\hat e_{i,y}\\ |\vec E|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}}\end{gathered}$
Addiere die Potenziale als einfache Zahlen. V behält das Vorzeichen der jeweiligen Ladung und besitzt keine Richtung, geometrisch hebt sich also nichts auf. Das Feld zeigt dorthin, wo V am steilsten abfällt, quer zu den gestrichelten Äquipotenziallinien.
$V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad\vec E=-\nabla V$
Energie. Eine Ladung q von A nach B zu verschieben erfordert die Arbeit q(V_B − V_A), unabhängig vom gewählten Weg. Baut man die gesamte Anordnung aus großer Entfernung auf, kommt für jedes Paar ein Term hinzu.
$W=q\,(V_B-V_A),\qquad U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}$

Setzt voraus: Ruhende Ladungen, klein genug, um als punktförmig zu gelten. Die Abbildung zeigt einen ebenen Schnitt durch die Anordnung, doch die Ladungen sind gewöhnliche dreidimensionale Punktladungen: Ihre Felder fallen mit 1/r² ab und ihre Potenziale mit 1/r.

Aufgaben vollständig gelöst

Das Feld einer Ladung und die Kraft, die es ausübt 3 Schritte
Im Ursprung befindet sich eine Ladung von +4,0 μC. Bestimme das elektrische Feld in P = (2,0 m; 0) sowie die Kraft auf eine Ladung von −2,0 μC, die in P platziert wird.

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1. Den Betrag liefert das Coulomb-Gesetz nach Herauskürzen der Probeladung:
  
  $E=\frac{k|q|}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
2. Das Feld einer positiven Ladung zeigt von ihr weg, entlang der Linie von der Ladung nach P:
  
  $\hat e=+\frac{(2{.}0,\,0)}{2{.}0}=(1,\,0)$
3. Die Kraft auf eine Ladung in P ist diese Ladung mal Feldstärke. Auf eine negative Ladung wirkt sie entgegen der Feldrichtung:
  
  $\vec F=q_0\vec E=(-2{.}0\times10^{-6})(8988)\,\hat x\approx-1{.}798\times10^{-2}\,\hat x\ \mathrm{N}$
Antwort

E = 8.988 N/C in +x-Richtung; F = 1,798 × 10⁻² N in −x-Richtung. Das Feld in P gehört der 4,0-μC-Ladung allein: Bringst du eine andere Ladung nach P, ändert sich die Kraft, das Feld nicht.

$E\approx8988\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad F\approx1{.}798\times10^{-2}\ \mathrm{N}\ (-x)$
Zwei Ladungen auf einer Geraden 4 Schritte
Eine Ladung von +2,0 μC sitzt bei x = 0 und eine Ladung von −3,0 μC bei x = 4,0 m. Bestimme das Feld bei x = 1,0 m und bei x = −2,0 m.

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1. Der Betrag des Feldes jeder Ladung bei x = 1,0 m mit den Abständen 1,0 m und 3,0 m:
  
  $E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(1{.}0)^{2}}\approx1{.}798\times10^{4},\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx2996\ \mathrm{N/C}$
2. Zwischen den Ladungen weisen beide Felder in dieselbe Richtung: weg von der positiven und hin zur negativen Ladung, also beide nach +x. Sie addieren sich:
  
  $x=1{.}0:\quad E=E_1+E_2\approx1{.}798\times10^{4}+2996\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x)$
3. Bei x = −2,0 m, links von beiden, zeigt das Feld der positiven Ladung von ihr weg (−x) und das der negativen zu ihr hin (+x):
  
  $x=-2{.}0:\quad E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx4494\ (-x),\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx749{.}0\ (+x)$
4. Entgegengesetzte Richtungen subtrahieren sich, und der größere Betrag setzt sich durch:
  
  $E\approx4494-749{.}0\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
Antwort

2,097 × 10⁴ N/C in +x-Richtung bei x = 1,0 m; 3.745 N/C in −x-Richtung bei x = −2,0 m. Zwischen zwei ungleichnamigen Ladungen verstärken sich die Felder stets. Nur außerhalb wirken sie gegeneinander; dort allein kann das Feld also verschwinden (Aufgabe 4).

$E(1{.}0)\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad E(-2{.}0)\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
Ein Punkt abseits der Geraden: komponentenweise addieren 4 Schritte
Eine Ladung von +3,0 μC sitzt im Ursprung und eine Ladung von −2,0 μC bei (0; 3,0 m). Bestimme Betrag und Richtung des Feldes in P = (4,0 m; 0).

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1. Die positive Ladung liegt 4,0 m entfernt auf der x-Achse, und ihr Feld in P zeigt von ihr weg nach +x:
  
  $r_1=4{.}0,\quad E_1=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(4{.}0)^{2}}\approx1685\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_1=(1,\,0)$
2. Die negative Ladung ist 5,0 m entfernt, die Hypotenuse eines 3-4-5-Dreiecks. Ihr Feld weist von P zu ihr zurück: Der Einheitsvektor von der Ladung nach P lautet (4; −3)/5, die Feldrichtung ist das Negative davon:
  
  $r_2=\sqrt{4{.}0^{2}+3{.}0^{2}}=5{.}0,\quad E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_2=-\frac{(4,\,-3)}{5}=(-0{.}8,\,0{.}6)$
3. Addiere die Komponenten, niemals die Beträge:
  
  $E_x=1685-0{.}8\,(719{.}0)\approx1110,\qquad E_y=0{.}6\,(719{.}0)\approx431{.}4\ \mathrm{N/C}$
4. Daraus baust du Betrag und Winkel wieder auf. Da E_x positiv ist, liefert der Arkustangens den Winkel direkt:
  
  $|\vec E|=\sqrt{1110^{2}+431{.}4^{2}}\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{431{.}4}{1110}\approx21{.}24^{\circ}$
Antwort

1.191 N/C im Winkel von 21,24° über der +x-Achse. Die beiden Beträge einfach zu addieren ergäbe 2.404 N/C, das Doppelte des wahren Wertes, denn die beiden Felder schließen einen Winkel von 143° ein.

$|\vec E|\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta\approx21{.}24^{\circ}$
Wo das Feld null wird 4 Schritte
Eine Ladung von +4,0 μC sitzt bei x = 0 und eine Ladung von −1,0 μC bei x = 3,0 m. Wo auf der x-Achse, abgesehen von großer Entfernung, ist das Feld null?

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1. Zwei Felder heben sich nur dort auf, wo sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Zwischen ungleichnamigen Ladungen weisen sie in dieselbe Richtung (Aufgabe 2). Der Punkt liegt also außerhalb, auf der Seite der kleineren Ladung, wo größere Nähe den kleineren Betrag wettmachen kann. Dort müssen die Beträge gleich sein:
  
  $\frac{k\,(4{.}0)}{x^{2}}=\frac{k\,(1{.}0)}{(x-3{.}0)^{2}}$
2. Kürze k und ziehe auf beiden Seiten die Wurzel:
  
  $\frac{x^{2}}{(x-3{.}0)^{2}}=4\ \Rightarrow\ \frac{x}{x-3{.}0}=\pm2$
3. Jedes Vorzeichen liefert einen Kandidaten. Bei x = 2,0 m, zwischen den Ladungen, stimmen die Beträge zwar überein, doch beide Felder zeigen nach +x und addieren sich; diese Lösung scheidet aus:
  
  $x=-2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=2{.}0,\qquad x=2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=6{.}0$
4. Bei x = 6,0 m sind die beiden Felder dem Betrag nach gleich und entgegengesetzt gerichtet:
  
  $x=6{.}0:\quad\frac{k\,(4{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (+x),\qquad\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (-x)$
Antwort

x = 6,0 m, also 3,0 m jenseits der −1,0-μC-Ladung. Das Gleichsetzen der Beträge findet auch jenen Punkt, an dem zwar die Beträge passen, die Richtungen aber nicht; erst die Richtungen schließen diese Scheinlösung aus.

$x=6{.}0\ \mathrm{m}$
Die Kraft auf eine von drei Ladungen 3 Schritte
Ladungen von je +2,0 μC sitzen bei (−3,0 m; 0) und (3,0 m; 0), eine dritte Ladung von +1,0 μC bei (0; 4,0 m). Bestimme die Gesamtkraft auf die dritte Ladung.

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1. Bestimme das Feld, das die beiden anderen Ladungen am Ort der dritten erzeugen. Beide sind 5,0 m entfernt:
  
  $r=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0,\qquad E_1=E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C}$
2. Aus Symmetriegründen heben sich die x-Komponenten auf, und die y-Komponenten addieren sich:
  
  $\hat e_1=\frac{(3,\,4)}{5},\quad\hat e_2=\frac{(-3,\,4)}{5}\ \Rightarrow\ E_x=0,\quad E_y=2\,(0{.}8)(719{.}0)\approx1150\ \mathrm{N/C}$
3. Die Kraft auf die dritte Ladung ist ihre Ladung mal dieses Feld, in Richtung +y, weg von dem Ladungspaar:
  
  $F=q_3E=(1{.}0\times10^{-6})(1150)\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}$
Antwort

1,15 × 10⁻³ N in +y-Richtung. Die dritte Ladung wird beim Feld an ihrem eigenen Ort weggelassen: Das Feld einer Ladung wirkt auf jede andere Ladung, niemals auf sie selbst.

$\vec F\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}\ (+y)$
Potenzial und die Arbeit beim Verschieben einer Ladung 3 Schritte
Die beiden +2,0-μC-Ladungen aus Aufgabe 5 bleiben an Ort und Stelle; die Ladung von +1,0 μC wird von A = (0; 4,0 m) in den Ursprung B verschoben. Welche Arbeit muss dabei verrichtet werden?

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1. Das Potenzial ist eine einfache Summe ohne Richtungsanteile. In A sind beide Ladungen 5,0 m entfernt:
  
  $V_A=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}\approx7190\ \mathrm{V}$
2. In B sind beide 3,0 m entfernt:
  
  $V_B=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{V}$
3. Die gegen das Feld verrichtete Arbeit ist Ladung mal Potenzialanstieg, ganz gleich auf welchem Weg:
  
  $W=q\,(V_B-V_A)\approx(1{.}0\times10^{-6})(11983-7190)\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
Antwort

4,793 × 10⁻³ J. Das Feld in B ist null, weil sich die beiden Kräfte dort aufheben, die Arbeit dorthin ist es nicht: Arbeit folgt dem Potenzial, das von A bis B durchgehend ansteigt, nicht dem Feld am Zielpunkt.

$W\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
Die Energie einer Anordnung 3 Schritte
Ladungen von +3,0 μC im Ursprung, −2,0 μC bei (0; 3,0 m) und +1,0 μC bei (4,0 m; 0) werden aus unendlicher Ferne zusammengeführt. Welche Arbeit war dafür nötig?

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1. Bringe die Ladungen nacheinander heran. Die erste kostet nichts; jede weitere erfordert ihre Ladung mal dem Potenzial, das die bereits vorhandenen an ihrem Zielort erzeugen. Zusammengenommen tritt jedes Paar genau einmal auf:
  
  $U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}=k\Bigl(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\Bigr)$
2. Die drei Abstände:
  
  $r_{12}=3{.}0,\qquad r_{13}=4{.}0,\qquad r_{23}=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0$
3. Jedes Paar behält seine Vorzeichen:
  
  $U=(8{.}988\times10^{9})\Bigl(\frac{(3)(-2)}{3}+\frac{(3)(1)}{4}+\frac{(-2)(1)}{5}\Bigr)\times10^{-12}=(8{.}988\times10^{-3})(-1{.}65)\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
Antwort

−1,483 × 10⁻² J. Negativ: Die zwei anziehenden Paare überwiegen das eine abstoßende Paar, das Feld hat also die Arbeit verrichtet. Wollte man die drei Ladungen wieder voneinander trennen, würde das 1,483 × 10⁻² J kosten.

$U\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
Die Dipolanordnung mit zwei Ladungen im Abstand von 4 Einheiten 6 Schritte
Zwei gleich große Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen befinden sich 4 Einheiten voneinander entfernt. Bestimmen Sie das Feld und das Potenzial im Mittelpunkt zwischen ihnen und untersuchen Sie anschließend, wie sich das Feld in großer Entfernung verhält. Dies ist die Anordnung Dipol: q₁ = +1 bei (-2, 0), q₂ = -1 bei (+2, 0), mit der Messsonde im Ursprung.

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1. Superposition ist das Grundprinzip der Elektrostatik: Jede Ladung baut ihr Feld so auf, als wäre die andere nicht vorhanden, und man addiert die Vektoren. Der maßgebliche Vektor zeigt von der Ladung zur Messsonde, wodurch das Vorzeichen von q darüber entscheidet, ob das Feld von der Ladung weg oder zu ihr hin verläuft.
  
  $\vec E(\vec p)=\sum_i q_i\,\frac{\vec p-\vec x_i}{|\vec p-\vec x_i|^{3}}, \qquad \vec p=(0,0)$
2. Die positive Ladung befindet sich 2 Einheiten links, sodass ihr Vektor zur Messsonde 2 Einheiten nach rechts zeigt, und die dritte Potenz von 2 im Nenner ergibt 0,250. Positive Ladung, nach außen gerichtetes Feld: Dieser Beitrag zeigt nach rechts.
  
  $q_1=+1,\ \vec x_1=(-2,0):\quad \vec r_1=(2,\,0),\ r_1=2, \quad \vec E_1=\frac{+1\cdot(2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
3. Die negative Ladung befindet sich 2 Einheiten rechts, sodass ihr Vektor nach links zeigt – und q ist negativ, was die Richtung erneut umkehrt. Zwei Umkehrungen, und der Beitrag zeigt ebenfalls nach rechts. Innehalten an dieser Stelle: Die Ladungen befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten der Messsonde und tragen entgegengesetzte Vorzeichen, und diese beiden Gegensätze heben einander auf, anstatt sich zu verstärken.
  
  $q_2=-1,\ \vec x_2=(2,0):\quad \vec r_2=(-2,\,0),\ r_2=2, \quad \vec E_2=\frac{-1\cdot(-2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
4. Die beiden Beiträge addieren sich also Spitze an Anfang, anstatt gegeneinander zu wirken, und das Paar liefert 0,500, wo jede Ladung für sich allein 0,250 liefern würde.
  
  $\vec E=\vec E_1+\vec E_2=(0{.}5,\,0),\qquad |\vec E|=0{.}5$
5. Das Potenzial verhält sich bei denselben beiden Ladungen genau umgekehrt. V ist ein Skalar, trägt also nur das Vorzeichen von q und sonst nichts, und die beiden Abstände sind gleich – die Terme lauten +0,500 und -0,500, und der Mittelpunkt liegt bei V = 0. Feld und Potenzial sind nicht zwei Messwerte derselben Größe: Hier verdoppelt sich die eine Größe, während die andere am selben Punkt verschwindet.
  
  $V=\sum_i\frac{q_i}{r_i}=\frac{+1}{2}+\frac{-1}{2} =0{.}5-0{.}5=0$
6. Verlassen Sie nun den Mittelpunkt. Platzieren Sie die Messsonde in der Höhe y auf der Mittelsenkrechten, wo beide Ladungen gleich weit entfernt sind. Die vertikalen Komponenten heben sich aus Symmetriegründen auf und die horizontalen bleiben erhalten, was eine einzige Formel für die gesamte Linie ergibt. Setzt man darin y = 0 ein, muss sie den Wert reproduzieren, den Sie bereits haben – und das tut sie, woran man erkennt, dass die Formel dieselbe Physik beschreibt und keine neue.
  
  $\vec p=(0,y):\quad E_y=0,\qquad E_x=\frac{2qa}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}},\ a=2;\qquad y=0:\ \frac{4}{8}=0{.}5$
Antwort

Das Tool gibt |E| = 0,5 am Ursprung aus, zusammengesetzt aus zwei gleichgerichteten Beiträgen von 0,25, sowie V = 0 an demselben Punkt. Schritt 6 ist derjenige, den man sich merken sollte. Weit außerhalb heben sich die beiden 1/r²-Felder beinahe vollständig auf, und was übrig bleibt, wird durch den Abstand bestimmt und fällt wie 1/y³ ab – eine ganze Potenz des Abstands schneller als bei einer einzelnen Ladung. Das Verhältnis beträgt 2a/y = 4/y, sodass dieses Paar bei y = 20 knapp ein Fünftel dessen aufbringt, was eine einzelne Ladung derselben Größe dort erzeugen würde. Der Grund steht eine Zeile über dem Feld gedruckt: Q_total = 0. Der 1/r²-Term gehört zur Gesamtladung, und wenn diese null ist, bleibt nur noch der Abstand spürbar. Ein neutrales Paar ist nicht unsichtbar – es ist kurzreichweitig, und das sind zwei verschiedene Dinge.

$y\gg a:\ \ E_x\to\frac{2qa}{y^{3}}=\frac{4}{y^{3}}, \qquad \frac{E_x}{q/y^{2}}=\frac{2a}{y}=\frac{4}{y};\qquad y=20:\ 0.2$
Zwei identische positive Ladungen im Abstand von 3 Einheiten 5 Schritte
Zwei identische positive Ladungen, 3 Einheiten voneinander entfernt. Bestimmen Sie das Feld und das Potenzial im Mittelpunkt und entscheiden Sie anschließend, ob eine dort losgelassene positive Testladung verbleiben würde. Dies ist die Anordnung Zwei +: q₁ = +1 bei (-1,5, 0), q₂ = +1 bei (+1,5, 0), Messsonde im Ursprung.

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1. Gleiche Messsonde, gleiche Superposition, entgegengesetztes Ergebnis. Beide Ladungen sind 1,500 vom Ursprung entfernt und beide sind positiv, sodass die beiden Beiträge gleich groß sind und in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen. Sie heben sich gegenseitig auf, und das Feld im Mittelpunkt ist 0.
  
  $\vec E_1=\frac{(1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(0{.}444,\,0),\quad \vec E_2=\frac{(-1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(-0{.}444,\,0) \ \Longrightarrow\ |\vec E|=0$
2. Das Potenzial kann sich nicht aufheben, da ein Skalar keine Richtung hat, in der er sich aufheben könnte. Beide Terme betragen +0,667 und V ist 1,333. Ein Punkt, an dem E = 0, aber V ≠ 0 ist, ist kein Paradoxon: E ist die Steigung von V, und eine Steigung von null sagt nichts über die Höhe aus.
  
  $V=\frac{1}{1{.}5}+\frac{1}{1{.}5}=0{.}667+0{.}667=1{.}333$
3. Eine Steigung von null entspricht einer Kuppe, einem Tal oder einem Pass, und nur an einer dieser drei Stellen bleibt ein Ball liegen. Verschieben Sie die Testladung um die Strecke x entlang der Verbindungslinie der Ladungen. Die nähere Ladung drückt nun stärker als die entferntere, die Differenz zeigt zurück zum Ursprung, und die rücktreibende Steifigkeit beträgt 4q/a³ = 1,1852.
  
  $E_x(x,0)=\frac{q}{(a+x)^{2}}-\frac{q}{(a-x)^{2}} =\frac{-4qax}{(a^{2}-x^{2})^{2}}\ \approx\ -\frac{4q}{a^{3}}\,x=-1.1852\,x$
4. Verschieben Sie sie stattdessen senkrecht dazu. Nun befinden sich beide Ladungen hinter ihr, beide drücken in dieselbe Richtung, und sie bewegt sich weiter. Dieselben zwei Ladungen, dieselbe Messsonde, entgegengesetztes Ergebnis – und die abstoßende Steifigkeit beträgt 2q/a³ = 0,5926, genau die Hälfte der rücktreibenden.
  
  $E_y(0,y)=\frac{2qy}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}} \ \approx\ +\frac{2q}{a^{3}}\,y=+0.5926\,y,\qquad E_z\approx+0.5926\,z$
5. Aus der Ebene heraus entspricht wieder dem senkrechten Fall, da zwei Punkte keine Möglichkeit haben, eine Richtung um ihre Achse von einer anderen zu unterscheiden. Es gibt also drei Steifigkeiten, eine negative und zwei positive, und ihre Summe ergibt null. Nicht annähernd null.
Antwort

Das Werkzeug liefert |E| = 0 aus zwei Beiträgen von 0,444, die sich aufheben, und V = 1,333 aus zwei Beiträgen von 0,667, die sich nicht aufheben. Dieser Nullpunkt ist ein Sattelpunkt, keine Senke: stabil entlang der Verbindungslinie der Ladungen, instabil quer dazu. Das lässt sich durch keine andere Positionierung beheben. Die drei Steifigkeiten entsprechen dem Negativen der drei zweiten Ableitungen von V. Ihre Summe ist die Divergenz von E – und die ist überall dort null, wo keine Ladung sitzt. Jede Richtung, die eine Probeladung zurückzieht, muss daher mit Richtungen bezahlt werden, die sie wegstoßen. Keine feste Anordnung von Ladungen kann eine andere Ladung stabil in der Schwebe halten, ganz gleich wie raffiniert sie aufgebaut ist. Das ist das Earnshaw-Theorem, und du hast es gerade aus drei Zahlen hergeleitet, deren Ausgangspunkt dir das Werkzeug geliefert hat. Eine Falle für ruhende geladene Teilchen braucht daher mehr als ein statisches elektrisches Feld: Die Penning-Falle nutzt zusätzlich ein Magnetfeld, die Paul-Falle bringt das elektrische Feld zum Oszillieren.

$\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}=-\frac{4q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}} =-1.1852+0.5926+0.5926=0$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme Betrag und Richtung des Feldes im Abstand von 30 cm zu einer Ladung von −4,0 nC.

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399,4 N/C, zur Ladung hin gerichtet.

$E=\frac{k|q|}{r^{2}}\approx399{.}4\ \mathrm{N/C}$
Ladungen von +4,0 μC bei x = 0 und +1,0 μC bei x = 3,0 m: Wo zwischen ihnen ist das Feld null?

Ergebnis anzeigen

x = 2,0 m.

$x=2{.}0\ \mathrm{m}$
Ladungen von +1,0 μC sitzen bei (−1,0 m; 0) und (1,0 m; 0). Bestimme das Feld in (0; 1,0 m).

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6.355 N/C in +y-Richtung.

$E=2\cdot\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\approx6355\ \mathrm{N/C}\ (+y)$
Ein Quadrat der Seitenlänge 2,0 m trägt an drei Ecken eine Ladung von +1,0 μC und an der vierten von −1,0 μC. Bestimme Feld und Potenzial im Mittelpunkt.

Ergebnis anzeigen

8.988 N/C, zur negativen Ecke gerichtet; 1,271 × 10⁴ V.

$E\approx8988\ \mathrm{N/C},\qquad V=\frac{2kq}{\sqrt2}\approx1{.}271\times10^{4}\ \mathrm{V}$
Eine 2,0 g schwere Perle mit einer Ladung von +3,0 μC wird im Abstand von 0,20 m zu einer fixierten Ladung von +5,0 μC aus der Ruhe losgelassen. Welche Geschwindigkeit hat sie in großer Entfernung?

Ergebnis anzeigen

25,96 m/s: Die gesamte Energie von 0,6741 J wird zu kinetischer Energie.

$\tfrac12mv^{2}=\frac{kq_1q_2}{r}\approx0{.}6741\ \mathrm{J},\qquad v\approx25{.}96\ \mathrm{m/s}$
Vier Ladungen von je +1,0 μC sitzen an den Ecken eines Quadrats der Seitenlänge 1,0 m. Welche Arbeit war nötig, um sie dorthin zu bringen?

Ergebnis anzeigen

4,866 × 10⁻² J: vier Seiten und zwei Diagonalen, (4 + √2)kq²/a.

$U=\bigl(4+\sqrt2\bigr)\frac{kq^{2}}{a}\approx4{.}866\times10^{-2}\ \mathrm{J}$

Manche Wege durch dieses Feld sind völlig kostenlos

Schalte die Äquipotentiallinien ein, und das Bild erhält eine zweite Kurvenfamilie. Eine Ladung entlang eines dieser Ringe zu verschieben kostet genau null Arbeit — nicht wenig, sondern null — egal wie weit herum, denn jeder Punkt des Rings liegt auf demselben Potential. Genau das macht das Feld konservativ, und die Folgerung ist noch schärfer: Führe eine Ladung auf einer beliebigen geschlossenen Schleife, so verschlungen sie will, und die Gesamtarbeit ist wieder null. Beachte außerdem, dass sich Feldlinien und Äquipotentiallinien überall und in jeder Voreinstellung im rechten Winkel treffen. Das ist keine Zierde. Das Feld zeigt in die Richtung des steilsten Potentialabfalls, und die steilste Abfallrichtung steht immer senkrecht auf der Höhenlinie, auf der man steht.

Warum sich eine Ladung nicht in der Luft festhalten lässt

Platziere zwei gleichnamige Ladungen, und dazwischen entsteht ein Nullpunkt, an dem das Feld exakt null ist. Er sieht aus wie ein Ruheplatz — ist aber ein Sattelpunkt, keine Mulde: Ein kleiner Stoß, und die Probeladung entweicht. Das Earnshaw-Theorem (1842) beweist, dass keine feste Ladungsanordnung eine weitere Ladung in stabilem statischem Gleichgewicht halten kann. Dieselbe Mathematik verbietet es, einen Magneten allein mit Magneten schweben zu lassen — man braucht Rotation, Diamagnetismus oder aktive Regelung.

Lernpfad

Woher Felder kommen

Quellen (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.