Geladene Teilchen in einem Magnetfeld

Wähle ein Teilchen, die Spannung, die es beschleunigt hat, und die Stärke des Magnetfelds, das es durchquert. Die Seite berechnet den Kreis, auf dem es sich bewegt, wie lange ein Umlauf unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie dauert und wie sich dieselbe Spannung und dasselbe Feld auf fünf weitere Teilchen auswirken.

Die magnetische Kraft: senkrecht zu Geschwindigkeit und Feld	$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad F=\|q\|vB\sin\theta$
Quer durch ein homogenes Feld: ein Kreis und eine Umlaufzeit, in der die Geschwindigkeit fehlt	$\begin{gathered}r=\frac{mv}{\|q\|B}\\ T=\frac{2\pi m}{\|q\|B},\qquad f=\frac{\|q\|B}{2\pi m}\end{gathered}$
Nahe der Lichtgeschwindigkeit: Der Impuls beträgt γmv	$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{\|q\|B}\\ T=\gamma\,\frac{2\pi m}{\|q\|B}\end{gathered}$

Rechenbeispiel — Geladene Teilchen in einem Magnetfeld

Ruheenergie	938,272 MeV
Kinetische Energie aus der Spannung	10,00 keV
Lorentzfaktor γ	1,000011
Geschwindigkeit	1,384×10⁶ m/s
Impuls	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Radius der Kreisbahn	9,633 mm
Umlaufzeit ohne Relativität	43,73 ns
Umlaufzeit	43,73 ns

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Geladene Teilchen in einem Magnetfeld

Bewegt sich eine Ladung q mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld B, spürt sie den magnetischen Teil der Lorentzkraft, F = q v × B: senkrecht zu Geschwindigkeit und Feld, mit dem Betrag |q|vB, wenn beide rechtwinklig aufeinanderstehen. Eine Kraft, die stets senkrecht zur Bewegung wirkt, verrichtet keine Arbeit; deshalb bleibt das Tempo unverändert, allein die Richtung wechselt, und die Bahn wird zum Kreis. Ihr Radius beträgt r = p/(|q|B), also Impuls geteilt durch Ladung mal Feldstärke, und ein Umlauf dauert T = 2πγm/(|q|B). Weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit ist γ bis auf viele Nachkommastellen gleich 1, und die Umlaufzeit enthält überhaupt keine Geschwindigkeit mehr; ihr Kehrwert, |q|B/(2πm), ist die Zyklotronfrequenz.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

q: die Ladung des Teilchens in Coulomb. Sie ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Ihr Vorzeichen bestimmt die Drehrichtung
B: das Magnetfeld in Tesla, das überall auf dem Weg des Teilchens gleich stark ist
r: Radius der Kreisbahn. Er wird durch den Impuls bestimmt, nicht durch die Geschwindigkeit oder die Energie allein
T_0: die Umlaufzeit ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie, 2πm/(|q|B)
γ: der Lorentzfaktor, 1 + K/(mc²). Die tatsächliche Umlaufzeit beträgt γT₀

Woher die Formel kommt

Die Kraft. Sie steht senkrecht auf der Geschwindigkeit und verrichtet keine Arbeit: Das Tempo bleibt stets gleich, nur die Richtung ändert sich.
$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad\vec F\perp\vec v\ \Rightarrow\ W=0$
Ein Kreis. Eine Kraft konstanter Stärke, die immer quer zur Bahn wirkt, ist eine Zentripetalkraft. Gleichgesetzt mit mv²/r liefert sie den Radius.
$|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}$
Der Umlauf. Weg 2πr geteilt durch die Geschwindigkeit v. Das v im Radius kürzt das v im Nenner weg.
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}$
Aus der Spannung. Durchläuft eine ruhende Ladung die Spannung ΔV, besitzt sie die kinetische Energie |q|ΔV. Das liefert ihre Geschwindigkeit und damit ihren Radius.
$|q|\,\Delta V=\tfrac12mv^{2}\ \Rightarrow\ r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}$
Schnell. Den Radius bestimmt der Impuls γmv, die Umlaufzeit ist das γ-Fache des langsamen Umlaufs. Damit rechnet die Tabelle bei jedem Tempo.
$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{|q|B}\\ T=\gamma\,T_0\end{gathered}$

Setzt voraus: Ein homogenes, zeitlich konstantes Feld, durch das sich das Teilchen exakt quer hindurchbewegt. Jeder Anteil der Geschwindigkeit entlang der Feldlinien bliebe davon unberührt und würde aus dem Kreis eine Helix machen. Angenommen wird außerdem ein Vakuum, sodass nichts das Teilchen abbremst. Es wird davon ausgegangen, dass das Teilchen keine Strahlung abgibt, obwohl eine kreisende Ladung dies eigentlich tut. Bei der Voreinstellung für das Elektron liegt die pro Umlauf abgestrahlte Energie unter einem Millionstel Elektronenvolt. Bei einem Gigaelektronenvolt in einem starken Feld wird daraus jedoch ein spürbarer Verlust. Aus diesem Grund müssen Elektronensynchrotrons ständig neue Energie einspeisen. Die Uran-Ionen sind einfach geladene Atome. Ihre Masse entspricht der Atommasse abzüglich eines Elektrons.
Versagt, wenn: Die Relativitätstheorie ist bereits integriert, ein schnelles Teilchen bringt die Berechnungen der Seite also nicht an ihre Grenzen. Das Problem ist der Magnet. Ein reales Feld wird zu den Rändern hin schwächer. In einem Zyklotron muss es so geformt sein, dass es den Strahl fokussiert und gleichzeitig nahe an der Resonanz bleibt, genau wie in Roses Arbeit von 1938 beschrieben. In einem echten Zyklotron führt das elektrische Feld im Spalt nach jedem halben Umlauf neue Energie zu. Die reale Bahn ist daher eine Spirale aus Halbkreisen mit wachsendem Radius und kein perfekter Kreis. Zudem stoßen sich viele Ionen in einem Strahl gegenseitig ab und weiten ihn auf. Dieses Problem war bedeutsam genug, um es in den Titel von William Parkins' Bericht über das Calutron aus der Kriegszeit aufzunehmen.

Aufgaben vollständig gelöst

Von der Beschleunigungsspannung zur Kreisbahn 3 Schritte
Ein Proton wird aus der Ruhe über 5,0 kV beschleunigt und tritt senkrecht in ein Magnetfeld von 0,40 T ein. Bestimme seine Geschwindigkeit, den Radius der Kreisbahn und die Umlaufzeit.

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1. Die beim Durchlaufen der Spannung gewonnene Energie wird vollständig zu kinetischer Energie:
  
  $\tfrac12mv^{2}=|q|\,\Delta V\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{2|q|\,\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{3})}{1{.}673\times10^{-27}}}\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. Die Lorentzkraft liefert die Zentripetalkraft:
  
  $|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{(1{.}673\times10^{-27})(9{.}787\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx25{.}54\ \mathrm{mm}$
3. Ein Umlauf entspricht dem Umfang geteilt durch die Geschwindigkeit, und das Tempo kürzt sich heraus:
  
  $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}=\frac{2\pi\,(1{.}673\times10^{-27})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
Antwort

v = 9,787 × 10⁵ m/s, r = 25,54 mm, T = 164,0 ns. Bei 5,0 kV erreicht das Proton etwa ein Drittel eines Prozents der Lichtgeschwindigkeit; die Relativitätstheorie verschiebt diese Werte nur um wenige Millionstel.

$v\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s},\quad r\approx25{.}54\ \mathrm{mm},\quad T\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
Die Kraft auf ein Elektron und sein Drehsinn 3 Schritte
Ein mit 50 V beschleunigtes Elektron fliegt entlang von +x in ein Feld von 0,50 mT entlang von +z. Bestimme die beim Eintritt wirkende Kraft, den Radius der Kreisbahn und den Drehsinn mit Blick aus +z.

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1. Seine Geschwindigkeit aus den gewonnenen 50 eV:
  
  $v=\sqrt{\frac{2e\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(50)}{9{.}109\times10^{-31}}}\approx4{.}194\times10^{6}\ \mathrm{m/s}$
2. Die Richtung folgt aus dem Kreuzprodukt. x̂ × ẑ = −ŷ, und die negative Ladung des Elektrons kehrt das Vorzeichen um:
  
  $\vec F=q\,\vec v\times\vec B=(-e)\,vB\,(\hat x\times\hat z)=(-e)\,vB\,(-\hat y)=+evB\,\hat y$
3. Der Betrag der Kraft und der daraus folgende Radius:
  
  $F=evB=(1{.}602\times10^{-19})(4{.}194\times10^{6})(5{.}0\times10^{-4})\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N},\qquad r=\frac{m_ev}{eB}\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Antwort

F = 3,359 × 10⁻¹⁶ N in Richtung +y; r = 47,69 mm; gegen den Uhrzeigersinn mit Blick aus +z. Ein Proton im selben Feld würde nach −y abgelenkt und liefe im Uhrzeigersinn. Jede Drei-Finger-Regel liefert die Kraft auf eine positive Ladung; beim Elektron kehrst du die Richtung einfach um.

$F\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N}\ (+y),\qquad r\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Drei Teilchen bei gleicher Spannung 3 Schritte
Ein Proton, ein Deuteron und ein Alphateilchen werden jeweils mit 10 kV in dasselbe Feld von 1,5 T beschleunigt. Bestimme den Radius jeder Kreisbahn.

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1. Bei gleicher Spannung gewinnt jedes Teilchen die Energie |q|ΔV. Der Impuls beträgt somit √(2m|q|ΔV), und der Radius verhält sich wie die Quadratwurzel aus m/q:
  
  $r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{|q|}}$
2. Proton und Deuteron tragen jeweils eine Elementarladung e; das Deuteron besitzt die doppelte Masse:
  
  $r_p=\frac{1}{1{.}5}\sqrt{\frac{2\,(1{.}673\times10^{-27})(1{.}0\times10^{4})}{1{.}602\times10^{-19}}}\approx9{.}633\ \mathrm{mm},\qquad r_d=\sqrt{\frac{m_d}{m_p}}\;r_p\approx13{.}62\ \mathrm{mm}$
3. Das Alphateilchen hat die vierfache Masse des Protons und die doppelte Ladung, folglich fast dasselbe m/q wie das Deuteron:
  
  $r_\alpha=\sqrt{\frac{m_\alpha/2e}{m_d/e}}\;r_d=\sqrt{\frac{6{.}645\times10^{-27}}{2\,(3{.}344\times10^{-27})}}\;r_d\approx0{.}9968\,r_d\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Antwort

9,633 mm, 13,62 mm und 13,58 mm. Der Kreis des Alphateilchens ist um 0,32 % kleiner als der des Deuterons. Sein Verhältnis m/q liegt um 0,64 % unter dem des Deuterons, weil ein Heliumkern um 23,8 MeV fester gebunden ist als zwei einzelne Deuteronen – und diese Bindungsenergie fehlt seiner Masse.

$r_p\approx9{.}633,\quad r_d\approx13{.}62,\quad r_\alpha\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Geschwindigkeitsfilter und Massenspektrometer 3 Schritte
Einfach geladene Kohlenstoffionen durchqueren gekreuzte Felder mit E = 1,0 × 10⁵ V/m und B = 0,20 T unabgelenkt und durchlaufen danach einen Halbkreis in einem Feld von 0,40 T. Welchen Abstand haben Kohlenstoff-12 und Kohlenstoff-13 beim Auftreffen?
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1. Ein Ion fliegt nur dann geradeaus, wenn sich elektrische Kraft und Lorentzkraft aufheben. Das legt seine Geschwindigkeit unabhängig von der Masse fest:
  
  $qE=qvB_1\ \Rightarrow\ v=\frac{E}{B_1}=\frac{1{.}0\times10^{5}}{0{.}20}=5{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. Im zweiten Feld läuft jedes Isotop auf seiner eigenen Kreisbahn:
  
  $r=\frac{mv}{eB_2}:\qquad r_{12}=\frac{(12{.}000\,\mathrm u)(5{.}0\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx155{.}5\ \mathrm{mm},\qquad r_{13}\approx168{.}5\ \mathrm{mm}$
3. Nach einem halben Kreis treffen beide im Abstand eines Durchmessers vom Eintrittsort auf:
  
  $\Delta x=2\,(r_{13}-r_{12})\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Antwort

26,0 mm Abstand. Da die Geschwindigkeit vorgegeben ist, ist der Radius direkt proportional zur Masse selbst und nicht zu ihrer Quadratwurzel (Aufgabe 3): Aus 8,4 % Massenunterschied werden so 8,4 % Radiusunterschied.

$\Delta x\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Geschwindigkeit im Winkel zum Feld: die Schraubenbahn 4 Schritte
Ein Proton bewegt sich mit 5,0 × 10⁵ m/s unter 60° zu einem Feld von 0,10 T. Bestimme die wirkende Kraft, den Bahnradius und die axiale Wegstrecke pro Umlauf.
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1. Nur der Geschwindigkeitsanteil quer zum Feld erfährt eine Kraft:
  
  $F=|q|vB\sin\theta=(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{5})(0{.}10)\sin60^{\circ}\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N}$
2. Zerlege die Geschwindigkeit in den Anteil quer zum Feld und den Anteil entlang der Feldlinien:
  
  $v_\perp=v\sin60^{\circ}\approx4{.}330\times10^{5},\qquad v_\parallel=v\cos60^{\circ}=2{.}5\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
3. Der Anteil quer zum Feld führt auf eine Kreisbahn mit der klassischen Umlaufzeit:
  
  $r=\frac{mv_\perp}{|q|B}\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}\approx655{.}9\ \mathrm{ns}$
4. Der Anteil entlang des Feldes bleibt unbeeinflusst und trägt das Proton bei jedem Umlauf um eine Ganghöhe voran:
  
  $p=v_\parallel T=(2{.}5\times10^{5})(6{.}559\times10^{-7})\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Antwort

F = 6,938 × 10⁻¹⁵ N, r = 45,21 mm, Ganghöhe 164,0 mm. Das Proton windet sich auf einer Schraubenlinie um die Feldlinien – ganz unabhängig vom Winkel mit genau einem Umlauf alle 655,9 ns.

$F\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N},\quad r\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\quad p\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Wenn relativistische Effekte zählen 3 Schritte
Ein Elektron mit 1,0 MeV kinetischer Energie bewegt sich senkrecht zu einem Feld von 0,010 T. Bestimme den Radius seiner Kreisbahn und die Umlaufzeit. Klick auf Elektron, 1 MV.

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1. Die kinetische Energie ist fast doppelt so groß wie die Ruheenergie; γ weicht daher deutlich von 1 ab:
  
  $\gamma=1+\frac{K}{mc^{2}}=1+\frac{1{.}000}{0{.}5110}\approx2{.}957$
2. Zuerst der Impuls aus der Energie, daraus der Radius:
  
  $pc=\sqrt{K^{2}+2Kmc^{2}}=\sqrt{1{.}000^{2}+2\,(1{.}000)(0{.}5110)}\approx1{.}422\ \mathrm{MeV},\qquad r=\frac{p}{eB}\approx474{.}3\ \mathrm{mm}$
3. Die Umlaufzeit ist das γ-Fache der klassischen Periode:
  
  $T=\gamma\,\frac{2\pi m_e}{eB}\approx2{.}957\times3{.}572\ \mathrm{ns}\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Antwort

r = 474,3 mm, T = 10,56 ns. Mit ½mv² = 1,0 MeV ergäbe sich eine Geschwindigkeit von 5,931 × 10⁸ m/s (fast das Doppelte der Lichtgeschwindigkeit) und ein Radius von 337,2 mm.

$r\approx474{.}3\ \mathrm{mm},\qquad T\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Wie weit kann ein Zyklotron mit fester Frequenz ein Proton beschleunigen? 6 Schritte
Ein Zyklotron besitzt einen 1,5 T starken Magneten, hohle Elektroden mit 0,5 m Radius und führt einem Proton bei jedem Umlauf 100 keV zu. Berechne die nötige Radiofrequenz, die Energie eines Protons beim Erreichen des Randes und ob eine feste Frequenz es überhaupt bis dorthin bringen kann. Klick auf Proton, 10 kV, um den ersten Schritt zu überprüfen.

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1. Die Frequenz ist die Zyklotronfrequenz eines langsamen Protons, die die Seite bei 10 kV ausgibt:
  
  $f_0=\dfrac{qB}{2\pi m}=\dfrac{1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5}{2\pi\times1{.}672622\times10^{-27}}=22{.}87\ \mathrm{MHz}\qquad T_0=43{.}73\ \mathrm{ns}$
2. Am Rand beträgt der Radius 0,5 m, der Impuls ist also qBR. Als pc geschrieben entspricht dies einer Energie:
  
  $pc=qBRc=1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5\times0{.}5\times2{.}997925\times10^{8}\ \mathrm{J}=224{.}84\ \mathrm{MeV}$
3. Die kinetische Energie ist die Gesamtenergie abzüglich der Ruheenergie. Ließe man die Relativitätstheorie weg, ergäben sich 26,94 MeV und damit 1,4% zu viel:
  
  $K=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}-mc^2=\sqrt{224{.}84^2+938{.}27^2}-938{.}27=26{.}56\ \mathrm{MeV}\qquad\dfrac{(pc)^2}{2mc^2}=26{.}94\ \mathrm{MeV}$
4. Bei dieser Energie liegt γ bei 1,028312. Ein Umlauf am Rand dauert folglich 2,83% länger als einer in der Mitte:
  
  $\gamma=1+\dfrac{26{.}56}{938{.}27}=1{.}028312\quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{rim}}=1{.}028312\,T_0$
5. Mit 100 keV pro Umlauf benötigt das Proton 266 Umläufe bis dorthin. Auf dem Umlauf k verspätet es sich um den Bruchteil γ − 1 = kΔE/mc² eines Umlaufs. Diese Verzögerung summiert sich auf 3,78 volle Zyklen der Radiofrequenz, bis es den Rand erreicht:
  
  $n=\dfrac{26{.}56}{0{.}1}\approx266\qquad\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k\,\Delta E}{mc^2}=\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{0{.}1}{938{.}27}\times\dfrac{266\times267}{2}=3{.}78$
6. Es wird nur vorwärts beschleunigt, solange das Feld im Spalt in die Flugrichtung zeigt. Das ist in der Hälfte jedes Zyklus der Fall. Folglich nimmt es keine weitere Energie auf, sobald die aufsummierte Verspätung einen halben Zyklus erreicht, was einer Phase von π entspricht:
  
  $\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac12\ \Rightarrow\ n(n+1)=\dfrac{938{.}27}{0{.}1}=9383\ \Rightarrow\ n=97,\ K=9{.}7\ \mathrm{MeV}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}=9{.}69\ \mathrm{MeV}$
Antwort

Der Magnet kann an seinem Rand ein Proton von 26,56 MeV halten. Bei fester Frequenz lässt sich ein Proton jedoch bei 100 keV pro Umlauf nur auf etwa 9,7 MeV beschleunigen, bevor es aus dem Takt gerät. Vervierfacht man die Energie pro Umlauf auf 400 keV, verdoppelt sich diese Grenze lediglich auf 19,2 MeV, da sie proportional zu √(mc²·ΔE) anwächst. Diese Abschätzung billigt jedem Umlauf die vollen 100 keV zu, was großzügig gerechnet ist. Roses Berechnung von 1938 mit speziell geformtem Feld ergab bei 50 kV an den Elektroden 13,9 MeV und fand dasselbe Wurzelgesetz. Spätere Beschleuniger glichen das von einer festen Frequenz vernachlässigte γ auf zwei Wegen aus: Das Synchrozyklotron senkt die Frequenz ab, während das Proton Energie gewinnt; das Isochronzyklotron lässt das Magnetfeld mit dem Radius anwachsen, damit der Umlauf im Takt bleibt – ein Konzept, für das L. H. Thomas 1938 zeigte, dass es den Strahl dennoch fokussieren kann.

$K_{\max}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}:\qquad\Delta E=100\ \mathrm{keV}\Rightarrow9{.}7\ \mathrm{MeV},\qquad\Delta E=400\ \mathrm{keV}\Rightarrow19{.}2\ \mathrm{MeV}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Wie lange braucht ein Elektron für einen vollen Kreis im Erdmagnetfeld von 50 μT, wenn seine Geschwindigkeit weit unter der des Lichts liegt?

Ergebnis anzeigen

714,5 ns, bei jedem solchen Tempo.

$T=\frac{2\pi m_e}{eB}\approx714{.}5\ \mathrm{ns}$
Ein Proton und ein Deuteron durchqueren dasselbe Feld mit gleichem Tempo. Wie verhalten sich ihre Radien?

Ergebnis anzeigen

1,999: Bei gleicher Geschwindigkeit ist der Radius proportional zu m/q, nicht zu dessen Quadratwurzel.

$\frac{r_d}{r_p}=\frac{m_d}{m_p}\approx1{.}999$
Ein Proton bewegt sich mit 3,0 × 10⁶ m/s unter 30° zu einem Feld von 0,20 T. Bestimme die Kraft auf das Teilchen.

Ergebnis anzeigen

4,807 × 10⁻¹⁴ N.

$F=|q|vB\sin30^{\circ}\approx4{.}807\times10^{-14}\ \mathrm{N}$
Ein Geschwindigkeitsfilter arbeitet mit E = 2,4 × 10⁴ V/m und B = 0,060 T. Welche Geschwindigkeit passiert ihn unabgelenkt?

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4,0 × 10⁵ m/s, für jede beliebige Ladung und Masse.

$v=\frac{E}{B}=4{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
Ein Zyklotron mit 1,5 T Magnetfeld und 0,50 m Radius beschleunigt Deuteronen. Bei welcher Frequenz muss es arbeiten und mit welcher Energie treten sie aus, wenn man die Relativitätstheorie unberücksichtigt lässt?

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11,44 MHz; 13,48 MeV.

$f=\frac{eB}{2\pi m_d}\approx11{.}44\ \mathrm{MHz},\qquad K=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_d}\approx13{.}48\ \mathrm{MeV}$
Welches Feld lenkt 10-keV-Elektronen auf eine Kreisbahn mit dem Radius 5,0 cm?

Ergebnis anzeigen

6,777 mT; 6,744 mT ohne Berücksichtigung der Relativitätstheorie.

$B=\frac{p}{eR}\approx6{.}777\ \mathrm{mT}$

Doppelt so schnell, ein doppelt so großer Kreis, dieselben 43,73 ns

Drück zuerst Proton, 10 kV und dann Proton, 40 kV. Bei vierfacher Energie verdoppelt sich die Geschwindigkeit und mit ihr der Bahnradius: von 9,633 auf 19,27 mm. Ein Umlauf dauert in beiden Fällen 43,73 ns. Die Geschwindigkeit kürzt sich heraus: Der Radius beträgt mv/(qB), die Umlaufzeit 2πr/v. Übrig bleibt 2πm/(qB), ganz ohne v. Auf dieser Kürzung beruht Ernest Lawrences und Stanley Livingstons Veröffentlichung über das Zyklotron aus dem Jahr 1932. Auch ein schnelleres Proton braucht für seinen Halbkreis nicht weniger Zeit. Deshalb kann eine feste Hochfrequenz am Spalt zwischen zwei hohlen Elektroden das Proton bei jedem Durchgang im richtigen Moment beschleunigen, während es sich auf einer immer weiteren Spiralbahn nach außen bewegt. So erzeugten Lawrence und Livingston Protonen mit 1,22 MeV in einer Röhre, an die nie mehr als 4.000 V angelegt wurden. In der Darstellung mit drei Bahnen markieren die Punkte auf jedem Umlauf jeweils ein Viertel der klassischen Umlaufzeit. Bei diesen Energien liegen die Punkte auf allen drei Kreisen auf denselben vier Speichen.

Ein 20-MeV-Proton verspätet sich um 2,132%, und eine feste Frequenz kann nicht folgen

Die exakte Umlaufzeit beträgt 2πγm/(|q|B), und γ wächst mit der Energie. Für Proton, 20 MV gilt γ = 1,021316: Jeder Umlauf dauert 44,66 ns statt 43,73 ns, während das antreibende Wechselfeld noch auf das langsame Proton abgestimmt ist. Mit jeder Runde kommt das Teilchen etwas später am Beschleunigungsspalt an. Diese Verspätung summiert sich, bis das Feld beim Eintreffen in die falsche Richtung zeigt. Beim Elektron ist der nutzbare Bereich winzig. Stellst du 20 kV ein, verlängert sich der Umlauf bereits um 3,914 %; bei Elektron, 1 MV liegt γ bei 2,956951, womit eine Runde fast dreimal so lang dauert wie der klassische Wert. Das zweite Diagramm zeigt T ÷ T₀ für vier Teilchen. Jede Kurve biegt nach oben ab, sobald die kinetische Energie wenige Prozent der Ruheenergie erreicht; beim Elektron sind das einige zehn keV, beim Proton einige zehn MeV. M. E. Rose berechnete 1938, dass ein Zyklotron mit fester Frequenz bei 50 kV an den Elektroden und sorgfältig geformtem Feld Protonen auf 13,9 MeV bringen konnte (oder auf 14,9 mit einem noch aufwendigeren Feld). Die letzte gelöste Aufgabe unten schätzt diese Obergrenze etwas gröber ab und zeigt, warum sie nur mit der Quadratwurzel der Spannung wächst.

Uran-238 ist 1,28% schwerer und seine Bahn nur 0,638% größer

Jedes Teilchen erhält bei gleicher Spannung dieselbe Energie pro Ladungseinheit. Der Impuls eines langsamen Teilchens ist √(2mK). Bei gleicher Ladung verhält sich der Radius also wie die Quadratwurzel der Masse. Uran-235, 35 kV kreist bei 1,2145 m. In der Tabelle daneben bewegt sich Uran-238, mit 238,0502 u gegenüber 235,0434, auf einer Bahn von 1,2223 m. Das entspricht 1,28% mehr Masse und einem 1,00638-mal so großen Radius. In einem Instrument, das den Strahl über einen Halbkreis zu einem Auffänger lenkt, landen die beiden Isotope 15,5 mm voneinander entfernt. Das ist exakt die doppelte Differenz der Radien. Mehr Trennung kann ein Magnet bei diesen Einstellungen nicht leisten, und genau diese Methode nutzten die Calutrons während des Krieges zur Isolierung von Uran-235.

Lernpfad

Woher Felder kommen

Quellen (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.