Das Biot-Savart-Gesetz

Jeder elektrische Strom erzeugt ein Magnetfeld. Wie viel jedes kurze Leiterstück dazu beiträgt, beschreibt das Biot-Savart-Gesetz: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², stets senkrecht zum Leiter und zum Abstandsvektor. Integriert man über alle Stücke, erhält man das Feld beliebiger Leiterformen. Wähle eine Geometrie, stelle den Strom ein und vergleiche die geschlossene Formel mit der Summe aus N geraden Elementen.

Das Feld eines Stromelements	$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}$
Kraft auf einen Strom und zwischen zwei Leitern	$\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$

Rechenbeispiel — Das Biot-Savart-Gesetz

B an P	22,48 μT
Dasselbe über 12 Stromelemente	23,32 μT
B im Zentrum der Schleife	31,42 μT
Dipolfeld bei diesem z	251,3 μT

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz beschreibt das Magnetfeld eines Stromelements I dl an einem Aufpunkt im Abstand r: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², mit μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Das Gesamtfeld eines Leiters ergibt sich als Summe aller Elemente, also als Wegintegral entlang des Drahtes.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

I dl: kurzer Leitungsabschnitt als Vektor in Stromrichtung
r̂: Einheitsvektor vom Stromelement zum Aufpunkt
φ: Winkel zwischen dl und r̂; der Feldbeitrag ist proportional zu sin φ

Woher die Formel kommt

Ein Stromelement. Das Feld von I dl steht senkrecht auf dl und r̂ (Rechte-Hand-Regel) mit dem Betrag (μ₀/4π) I dl sin φ/r². Ein Element, das direkt auf P gerichtet ist, leistet keinen Beitrag.
$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}},\qquad dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^{2}}$
Ein gerader Leiter. Die Felder aller Elemente zeigen bei P in dieselbe Richtung. Mit x = d tan θ gilt r = d/cos θ und sin φ = cos θ; das Integral vereinfacht sich zu ∫cos θ dθ. Für einen unendlich langen Leiter läuft θ von −90° bis 90°.
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)\ \to\ \frac{\mu_0I}{2\pi d}$
Kreisschleife auf der Achse. Jedes Element hat denselben Abstand √(R² + z²) und steht senkrecht auf der Verbindungslinie zu P. Quer zur Achse heben sich die Komponenten ringsum auf; entlang der Achse verbleibt von jedem Element der Anteil R/√(R² + z²).
$B_z=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^{2}+z^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}$
Kreisbogen im Zentrum. Jedes Element hat den Abstand R und steht senkrecht auf dem Radiusvektor. Das Integral entspricht daher einfach dem Öffnungswinkel mal μ₀I/(4πR).
$B=\int_{0}^{\theta_0}\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{IR\,d\theta}{R^{2}}=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}$
Kraft auf einen Leiter. Ein Magnetfeld übt auf ein Stromelement die Lorentzkraft dF = I dl × B aus, die Gesamtkraft auf alle bewegten Ladungen. Befindet sich ein langer Draht im Feld eines anderen, folgt daraus direkt die Kraft pro Meter.
$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=I_2\,\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}$

Setzt voraus: Stationäre Ströme in dünnen Leitern, im Vakuum oder in Luft. Gerade Zuleitungen zu einem Bogen zeigen idealisiert exakt auf das Zentrum und tragen dort nichts bei; führt eine Zuleitung in endlichem Abstand an P vorbei, muss ihr Segmentfeld addiert werden.

Aufgaben vollständig gelöst

Gerades Leiterstück, mittig 3 Schritte
Ein gerader Draht von 20 cm Länge führt 5,0 A. Bestimme B in einem Punkt 5,0 cm von der Leitermitte entfernt und vergleiche das Ergebnis mit einem unendlich langen Draht.

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1. Beide Enden liegen 10 cm vom Lotfußpunkt entfernt:
  
  $\sin\theta_{2}=-\sin\theta_{1}=\frac{0{.}10}{\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}05^{2}}}\approx0{.}8944$
2. Formel für das Leiterstück:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}\,(1{.}789)\approx1{.}789\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Unendlich langer Leiter im selben Abstand:
  
  $B_{\infty}=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=2{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

17,89 μT gegenüber 20 μT für einen unendlichen Leiter: Das Segment deckt 126,9° der 180° ab, die ein unendlicher Draht einnehmen würde.

$B\approx17{.}89\ \mu\mathrm{T},\qquad B_{\infty}=20\ \mu\mathrm{T}$
Leiter mit Ende auf Höhe von P 1 Schritte
Ein langer gerader Draht führt 5,0 A und endet genau am Lotfußpunkt eines 5,0 cm entfernten Aufpunkts. Bestimme B in diesem Punkt.

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1. Der Leiter erstreckt sich von θ₁ = 0 bis θ₂ = 90°:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(1-0\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

10 μT, exakt die Hälfte der 20 μT eines unendlich langen Leiters.

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}=10\ \mu\mathrm{T}$
Leiterschleife auf der Achse und im Zentrum 2 Schritte
Eine kreisförmige Schleife mit Radius 10 cm führt 5,0 A. Bestimme B im Zentrum sowie in 5,0 cm Entfernung auf der Achse.

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1. Im Zentrum gilt z = 0:
  
  $B_{0}=\frac{\mu_0I}{2R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\,(0{.}10)}\approx3{.}142\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Bei z = 5,0 cm:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}0125)^{3/2}}\approx2{.}248\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

31,42 μT im Zentrum, 22,48 μT bei 5,0 cm.

$B_{0}\approx31{.}42\ \mu\mathrm{T},\qquad B(5\ \mathrm{cm})\approx22{.}48\ \mu\mathrm{T}$
Viertelkreis 1 Schritte
Ein zu einem Viertelkreis mit Radius 10 cm gebogener Draht führt 5,0 A; die geraden Zuleitungen zielen genau auf den Mittelpunkt. Bestimme B im Mittelpunkt.

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1. Die Zuleitungen weisen auf P, für ihre Elemente gilt daher sin φ = 0. Auf dem Kreisbogen hat jedes Element den Abstand R, und dl steht senkrecht auf r̂:
  
  $B=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}=\frac{(10^{-7})(5{.}0)(\pi/2)}{0{.}10}\approx7{.}854\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Antwort

7,854 μT, ein Viertel der 31,42 μT der vollen Leiterschleife.

$B=\frac{\mu_0I}{8R}\approx7{.}854\ \mu\mathrm{T}$
Haarnadelleiter 3 Schritte
Ein langer Draht führt 5,0 A heran, biegt sich zu einem Halbkreis mit Radius 10 cm und läuft parallel wieder zurück. Bestimme B im Mittelpunkt des Halbkreises.

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1. Der Halbkreis entspricht einer halben Leiterschleife:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{4\,(0{.}10)}\approx1{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Jeder gerade Draht endet auf Höhe des Zentrums im Abstand R und entspricht somit einem halben unendlichen Leiter; beide Felder weisen in dieselbe Richtung wie der Beitrag des Halbkreises:
  
  $B_{2}=2\cdot\frac{\mu_0I}{4\pi R}=2\cdot\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Zusammengezählt:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4R}\Bigl(1+\frac{2}{\pi}\Bigr)\approx2{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

25,71 μT, wobei alle drei Teilbeiträge in dieselbe Richtung zeigen: aus der Zeichenebene heraus, wenn der Strom den Halbkreis gegen den Uhrzeigersinn durchfließt.

$B\approx25{.}71\ \mu\mathrm{T}$
Quadratische Leiterschleife im Zentrum 2 Schritte
Eine quadratische Leiterschleife mit Kantenlänge 20 cm führt 5,0 A. Bestimme B im Mittelpunkt.

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1. Jede Seite ist ein Segment mit d = 10 cm und Enden bei x = ±10 cm, also sin θ = ±1/√2:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\,\sqrt2\approx7{.}071\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
2. Alle vier Seiten erzeugen Felder in gleicher Richtung:
  
  $B=4B_{1}=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx2{.}828\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

28,28 μT, etwas weniger als die 31,42 μT eines Kreises mit Radius 10 cm, dem das Quadrat umbeschrieben ist.

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx28{.}28\ \mu\mathrm{T}$
Kraft zwischen zwei parallelen Leitern 2 Schritte
Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 5,0 cm führen je 10 A in gleicher Richtung. Bestimme Betrag und Richtung der Kraft auf einen Meter jedes Leiters.

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1. Feld von Leiter 1 am Ort von Leiter 2:
  
  $B_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(10)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Die Kraft auf ein Stück der Länge L von Leiter 2 beträgt I₂L × B₁, steht senkrecht auf dem Draht und weist zu Leiter 1 hin:
  
  $\frac{F}{L}=I_2B_1=(10)(4{.}0\times10^{-5})=4{.}0\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$
Antwort

0,40 mN pro Meter, anziehend. Kehrt man einen Strom um, stoßen sie sich mit demselben Betrag ab.

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=0{.}40\ \mathrm{mN/m}$
Helmholtz-Spulenpaar 2 Schritte
Zwei koaxiale Leiterschleifen mit Radius 10 cm im Abstand von 10 cm führen je 5,0 A in gleicher Richtung. Bestimme B im Mittelpunkt.

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1. Jede Schleife ist s/2 = R/2 vom Mittelpunkt entfernt:
  
  $B=2\cdot\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+R^{2}/4\right)^{3/2}}$
2. Zusammengefasst:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{\left(\tfrac{5}{4}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}=\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\approx4{.}496\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Antwort

44,96 μT, das 1,431-Fache des Feldes einer einzelnen Schleife in ihrem Zentrum.

$B=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}\approx44{.}96\ \mu\mathrm{T}$
Leiterschleife aus der Ferne 3 Schritte
Bestimme das magnetische Moment der Schleife aus Aufgabe 3 und schätze B in 50 cm Entfernung auf der Achse mit der Dipolformel ab. Wie genau ist die Näherung?

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1. Das magnetische Moment:
  
  $m=I\pi R^{2}=(5{.}0)\,\pi\,(0{.}10)^{2}\approx0{.}1571\ \mathrm{A\,m^{2}}$
2. Die Dipolnäherung:
  
  $B\approx\frac{\mu_0m}{2\pi z^{3}}=\frac{(2\times10^{-7})(0{.}1571)}{(0{.}50)^{3}}\approx2{.}513\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
3. Das exakte Feld:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}26)^{3/2}}\approx2{.}370\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
Antwort

m = 0,1571 A·m²; die Dipolformel liefert 0,2513 μT gegenüber exakten 0,237 μT, 6 % zu hoch bei fünf Radien.

$B_{m}\approx0{.}2513\ \mu\mathrm{T},\qquad B\approx0{.}2370\ \mu\mathrm{T}$
Kraft auf einen Leiter im homogenen Feld 1 Schritte
Ein gerader Draht von 20 cm Länge führt 5,0 A unter einem Winkel von 30° zu einem homogenen Magnetfeld von 0,30 T. Bestimme die wirkende Kraft.
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1. F = IL × B mit dem Betrag ILB sin θ:
  
  $F=ILB\sin\theta=(5{.}0)(0{.}20)(0{.}30)\sin30^{\circ}=0{.}15\ \mathrm{N}$
Antwort

0,15 N, senkrecht zu Draht und Magnetfeld.

$F=0{.}15\ \mathrm{N}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Ein langer gerader Leiter führt 20 A. Bestimme B in 4,0 cm Abstand.

Ergebnis anzeigen

100 μT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=100\ \mu\mathrm{T}$
Eine flache Spule mit 50 Windungen und Radius 5,0 cm führt 2,0 A. Bestimme B im Spulenzentrum.

Ergebnis anzeigen

1,257 mT: das Fünfzigfache des Feldes einer einzelnen Windung.

$B=N\,\frac{\mu_0I}{2R}\approx1{.}257\ \mathrm{mT}$
Bestimme B im Zentrum einer quadratischen Leiterschleife der Kantenlänge a mit Strom I.

Ergebnis anzeigen

2√2 μ₀I/(πa).

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}$
Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 5,0 cm führen je 10 A in entgegengesetzter Richtung. Bestimme B genau auf halber Strecke zwischen ihnen.

Ergebnis anzeigen

160 μT: Beide Felder weisen dort in dieselbe Richtung.

$B=2\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi\,(d/2)}=160\ \mu\mathrm{T}$
Eine rechteckige Leiterschleife mit 10 cm mal 5,0 cm führt 3,0 A in einem homogenen Feld von 0,20 T parallel zu ihrer Ebene. Bestimme das Drehmoment.

Ergebnis anzeigen

3,0 × 10⁻³ N·m, aus τ = mB sin 90° mit m = IA.

$\tau=IAB=3{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m}$
Ein Proton bewegt sich mit 1,0 × 10⁵ m/s im Abstand von 2,0 cm parallel zu einem langen Draht mit 10 A in Stromrichtung. Bestimme die Kraft auf das Proton.

Ergebnis anzeigen

1,602 × 10⁻¹⁸ N, zum Draht hin gerichtet.

$F=qvB=qv\,\frac{\mu_0I}{2\pi d}\approx1{.}602\times10^{-18}\ \mathrm{N}$

Gleichgerichtete Ströme ziehen sich an

Klicke auf Parallele Ströme: Je 10 A in zwei Leitern im Abstand von 5 cm, und jeder Meter zieht den anderen mit 0,4 mN an. Klicke nun auf Antiparallele Ströme, und dieselbe Kraft stößt sie auseinander. Bei elektrischen Ladungen ist es genau umgekehrt: Gleichnamiges stößt sich ab. Die Kraft auf Leiter 2 ist I₂ mal dem Kreuzprodukt seiner Richtung mit dem Magnetfeld von Leiter 1, μ₀I₁/(2πd). Fließen beide Ströme gleichsinnig, weist dieses Kreuzprodukt direkt auf Leiter 1 zurück. Bis zum 20. Mai 2019 bildete diese Kraft die Definition des Ampere: 1 A war jener Strom, der zwischen zwei Leitern im Abstand von 1 m eine Kraft von 2 × 10⁻⁷ N je Meter hervorrief, womit μ₀ exakt auf 4π × 10⁻⁷ N/A² festgelegt war. Heute wird das Ampere über die Elementarladung definiert, und μ₀ ist eine Messgröße: CODATA 2022 gibt 1,25663706127(20) × 10⁻⁶ N/A² an, was den alten Wert im Rahmen der Messunsicherheit genau bestätigt.

Eine Leiterschleife ist ein Magnet und wirkt aus der Ferne wie jeder andere

Wähle Schleife aus der Ferne. In 50 cm Entfernung auf der Achse einer Schleife mit Radius 10 cm beträgt das Feld 0,237 μT; die Dipolformel μ₀m/(2πz³) mit dem Moment m = IπR² liefert 0,2513 μT. Weiter draußen nähern sich beide Kurven immer enger an. Das ist das Feld eines Dipols. Ein elektrischer Dipol p erzeugt entlang seiner Achse das Feld 2kp/z³, die Leiterschleife (μ₀/4π)·2m/z³: dieselbe Gesetzmäßigkeit, nur mit μ₀/4π statt k und m statt p. Weit entfernt überlebt von der Schleife nur ihr magnetisches Moment, Strom mal Fläche. Form und Leitungsführung korrigieren das Feld erst im Nahbereich. Aus der Distanz sind eine kleine Spule und eine Kompassnadel daher nicht zu unterscheiden.

Im Abstand eines Radius erzeugen zwei Schleifen das homogenste Feld

Wähle Helmholtz-Spulenpaar. Bei einem Schleifenabstand von 10 cm, genau gleich dem Radius, beträgt das Feld im Mittelpunkt (8/5√5)μ₀I/R = 44,96 μT. Verschiebt man den Punkt um 1 cm entlang der Achse, ändert sich der Wert um gerade einmal 0,011 %. Eine einzelne Schleife brächte es auf derselben Strecke auf 1,5 % Änderung. Das Feld einer Einzelschleife ist nahe der Spule nach unten und weit entfernt nach oben gekrümmt; der Wendepunkt liegt bei z = R/2. Wählt man s = R, liegt die Mitte für beide Schleifen exakt in diesem Wendepunkt, sodass die zweite Ableitung dort verschwindet. Weil sich Steigung und dritte Ableitung aus Symmetriegründen aufheben, weicht das Feld vom Mittelwert erst mit z⁴ ab. Stelle s auf 8 cm ein, und die Kurve im Diagramm wölbt sich; bei 12 cm hängt sie durch.

Lernpfad

Woher Felder kommen

Quellen (6)

The law dB = (μ₀/4π) I dl sin θ/r², and the field at the centre of an arc, μ₀Iθ/(4πR) (Example 12.2): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.1, “The Biot-Savart Law”.
The infinite straight wire, μ₀I/(2πR), from the integral over θ (Eq. 12.8): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.2, “Magnetic Field Due to a Thin Straight Wire”.
F/l = μ₀I₁I₂/(2πr), attractive for currents in the same direction and repulsive for opposite ones: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.3, “Magnetic Force between Two Parallel Currents”.
The loop on its axis, its centre, the far field as a magnetic dipole (Eq. 12.19), and Helmholtz coils (Example 12.5): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.4, “Magnetic Field of a Current Loop”.
Insight block 1: the pre-2019 definition (“…would produce between these conductors a force equal to 2 × 10⁻⁷ newton per meter of length”) and the new definition's date, 20 May 2019: National Institute of Standards and Technology, “SI Redefinition: Ampere”.
Insight block 1: μ₀ = 1.256 637 061 27(20) × 10⁻⁶ N A⁻², relative standard uncertainty 1.6 × 10⁻¹⁰, CODATA 2022: National Institute of Standards and Technology, CODATA Internationally Recommended 2022 Values of the Fundamental Physical Constants, “vacuum magnetic permeability”.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.