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Calculadora de números complejos

Introduce z₁ y z₂ y elige una operación. Con partes enteras de tamaño moderado, las respuestas son exactas: el cociente en fracciones, el módulo con radicales y el argumento como múltiplo fraccionario de π siempre que lo sea.

Multiplicación i2=−1(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}&i^{2}=-1\\&(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
División a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}
Módulo y argumento z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r=a2+b2,tan⁡θ=ba−180∘<θ≤180∘\begin{aligned}&z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad\tan\theta=\frac{b}{a}\\&-180^{\circ}<\theta\le180^{\circ}\end{aligned}
Productos y cocientes ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\begin{aligned}&|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\\&\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}\end{aligned}
Teorema de De Moivre [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
Las raíces n-ésimas wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ⇒wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\\&w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}
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Lección

La teoría — Calculadora de números complejos

Un número complejo es z = a + bi, con a y b reales e i² = −1. a es su parte real y b su parte imaginaria; en el plano de Argand, z corresponde al punto (a, b).

De dónde viene la fórmula

  1. Opera como en el álgebra habitual y sustituye i² por −1. Desarrolla los paréntesis como siempre; el término con i² cambia de signo y pasa a la parte real.
    (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^{2}\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
  2. Divide recurriendo al conjugado. El producto de c + di por c − di da c² + d², un número real. Si multiplicas numerador y denominador por el conjugado del denominador, este pasa a ser real y ya puedes dividir cada parte por separado.
    (c+di)(c−di)=c2+d2a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\begin{aligned}&(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}\\&\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}\end{aligned}
  3. Halla el módulo y el argumento. El módulo r es la distancia al 0 y el argumento θ es el ángulo medido desde el semieje real positivo, comprendido entre −180° y 180°. Cuando a < 0, tan⁻¹(b/a) apunta al cuadrante opuesto, así que suma o resta 180°.
    r=a2+b2,θ=tan⁡−1ba  (a>0)θ=tan⁡−1ba±180∘  (a<0)\begin{aligned}&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\ \ (a>0)\\&\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\pm180^{\circ}\ \ (a<0)\end{aligned}
  4. Multiplica en forma polar. Al desarrollar el producto surgen las razones trigonométricas del ángulo suma: los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Con n factores iguales obtienes el teorema de De Moivre.
    r1(cos⁡α+isin⁡α)⋅r2(cos⁡β+isin⁡β)=r1r2[(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)]=r1r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))⇒ [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=r_{1}r_{2}\big[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&\qquad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\big]\\&=r_{1}r_{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\\&\Rightarrow\ \left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&\qquad=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
  5. Aplica De Moivre a la inversa para calcular raíces. La igualdad wⁿ = z fija el módulo de w como la raíz n-ésima de r, pero determina el ángulo salvo vueltas completas. θ, θ + 360°, θ + 720°, … describen el mismo z; al dividirlos entre n obtienes n raíces distintas, separadas 360°/n entre sí.
    wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ)⇒ wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&\Rightarrow\ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}

Problemas resueltos al detalle

  1. Multiplicación 3 pasos

    Expresa (4 − 3i)(2 + 5i) en la forma a + bi.

    Abre este problema en la herramienta

    1. Desarrolla el producto de los dos paréntesis.

      (4−3i)(2+5i)=8+20i−6i−15i2(4-3i)(2+5i)=8+20i-6i-15i^{2}

    2. Sustituye i² por −1. El último término cambia de signo y pasa a la parte real.

      =8+15+14i=23+14i=8+15+14i=23+14i

    3. Una comprobación que cuesta una sola línea: el módulo de un producto es el producto de los módulos, así que 23² + 14² debe ser igual a 5² × 29.

      232+142=529+196=725=52×2923^{2}+14^{2}=529+196=725=5^{2}\times29

    Respuesta

    23 + 14i

    23+14i23+14i
  2. División por el conjugado 4 pasos

    Expresa (3 + 2i)/(1 + 2i) en la forma a + bi.

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    1. Multiplica numerador y denominador por 1 − 2i, el conjugado del denominador.

      3+2i1+2i⋅1−2i1−2i\frac{3+2i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}

    2. El denominador pasa a ser 1² + 2² = 5, un número real.

      (1+2i)(1−2i)=12+22=5(1+2i)(1-2i)=1^{2}+2^{2}=5

    3. Desarrolla el numerador y sustituye i² por −1.

      (3+2i)(1−2i)=3−6i+2i−4i2=7−4i(3+2i)(1-2i)=3-6i+2i-4i^{2}=7-4i

    4. Divide cada parte entre 5.

      7−4i5=75−45i\frac{7-4i}{5}=\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i

    Respuesta

    7/5 − 4/5 i, o 1,4 − 0,8i.

    75−45i\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i
  3. Un argumento en el tercer cuadrante 4 pasos

    Halla el módulo y el argumento de z = −2 − 2i. A partir de ellos, escribe z² en forma módulo-argumental.

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    1. El módulo, por Pitágoras.

      ∣z∣=(−2)2+(−2)2=8=22|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

    2. La tan⁻¹ de (−2)/(−2) da 45°, que apunta al primer cuadrante. Como z está abajo y a la izquierda del 0, en el tercero, resta 180°.

      tan⁡−1−2−2=45∘arg⁡z=45∘−180∘=−135∘=−3π4\begin{aligned}&\tan^{-1}\frac{-2}{-2}=45^{\circ}\\&\arg z=45^{\circ}-180^{\circ}=-135^{\circ}=-\frac{3\pi}{4}\end{aligned}

    3. Elevar al cuadrado eleva el módulo al cuadrado y duplica el argumento. Como −270° queda fuera del intervalo de −180° a 180°, suma una vuelta completa.

      ∣z2∣=(22)2=82arg⁡z=−270∘→−270∘+360∘=90∘\begin{aligned}&|z^{2}|=(2\sqrt2)^{2}=8\\&2\arg z=-270^{\circ}\to-270^{\circ}+360^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}

    4. Un módulo 8 con 90° es 8i, y desarrollar (−2 − 2i)² confirma el resultado.

      z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i(−2−2i)2=4+8i+4i2=8i\begin{aligned}&z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i\\&(-2-2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=8i\end{aligned}

    Respuesta

    |z| = 2√2, arg z = −135° = −3π/4; z² = 8(cos 90° + i sen 90°) = 8i.

    ∣z∣=22,arg⁡z=−3π4;z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i|z|=2\sqrt2,\quad\arg z=-\frac{3\pi}{4};\qquad z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i
  4. Multiplicación en forma polar 3 pasos

    z = 1 + i y w = 2i. Escribe ambos en forma módulo-argumental y halla zw sin desarrollar el producto.

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    1. Módulo y argumento de cada uno.

      z=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=2(cos⁡90∘+isin⁡90∘)\begin{aligned}&z=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})\\&w=2(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\end{aligned}

    2. Multiplica los módulos y suma los argumentos.

      zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)zw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})

    3. Vuelve a la forma a + bi sabiendo que cos 135° = −√2/2 y sen 135° = √2/2.

      =22(−22+22i)=−2+2i=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=-2+2i

    Respuesta

    zw = 2√2(cos 135° + i sen 135°) = −2 + 2i

    zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)=−2+2izw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})=-2+2i
  5. Una potencia alta 3 pasos

    Calcula (1 + i)⁸.

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    1. Desarrollar ocho paréntesis es el camino lento. Expresa mejor 1 + i en forma polar.

      1+i=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)1+i=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})

    2. Aplica De Moivre: eleva el módulo a la 8.ª potencia y multiplica el argumento por 8.

      (1+i)8=(2)8(cos⁡360∘+isin⁡360∘)(1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}(\cos360^{\circ}+i\sin360^{\circ})

    3. (√2)⁸ = 2⁴ = 16, y 360° forman una vuelta completa.

      =16(1+0i)=16=16(1+0i)=16

    Respuesta

    (1 + i)⁸ = 16

    (1+i)8=16(1+i)^{8}=16
  6. Raíces cúbicas 3 pasos

    Resuelve z³ = 8i y da las raíces en la forma a + bi.

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    1. Pasa 8i a forma polar.

      8i=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)8i=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})

    2. Extrae la raíz cúbica del módulo. Suma vueltas completas al argumento antes de dividirlo entre 3.

      zk=2(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=90∘+360∘k3,  k=0,1,2\begin{aligned}&z_{k}=2(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k})\\&\phi_{k}=\frac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{3},\ \ k=0,1,2\end{aligned}

    3. Con k = 0, 1, 2 obtienes 30°, 150° y 270°. Un valor k = 3 daría 390°, que vuelve a ser 30°.

      z0=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)=3+iz1=2(cos⁡150∘+isin⁡150∘)=−3+iz2=2(cos⁡270∘+isin⁡270∘)=−2i\begin{aligned}&z_{0}=2(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ})=\sqrt3+i\\&z_{1}=2(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})=-\sqrt3+i\\&z_{2}=2(\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ})=-2i\end{aligned}

    Respuesta

    z = √3 + i, −√3 + i, −2i: tres puntos separados 120° en la circunferencia de radio 2.

    z=3+i,−3+i,−2iz=\sqrt3+i,\quad-\sqrt3+i,\quad-2i
  7. Raíz cuadrada igualando partes 3 pasos

    Halla las raíces cuadradas de 5 + 12i.

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    1. Plantea (a + bi)² = 5 + 12i con a y b reales, desarrolla e iguala las partes real e imaginaria.

      (a+bi)2=a2−b2+2abia2−b2=5,2ab=12\begin{aligned}&(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi\\&a^{2}-b^{2}=5,\quad2ab=12\end{aligned}

    2. Tomar módulos te da una tercera ecuación y simplifica el sistema.

      a2+b2=∣5+12i∣=52+122=13a^{2}+b^{2}=|5+12i|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13

    3. Al sumar y restar obtienes a² = 9 y b² = 4. Como ab = 6 es positivo, a y b tienen el mismo signo.

      2a2=18,  2b2=8 ⇒ (a,b)=(3,2), (−3,−2)2a^{2}=18,\ \ 2b^{2}=8\ \Rightarrow\ (a,b)=(3,2),\ (-3,-2)

    Respuesta

    3 + 2i y −3 − 2i

    ±(3+2i)\pm(3+2i)
  8. Una ecuación de segundo grado con raíces complejas 3 pasos

    Resuelve z² − 4z + 13 = 0 y comprueba que las raíces suman 4 y su producto es 13.

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    1. El discriminante es negativo y su raíz cuadrada es imaginaria.

      b2−4ac=16−52=−36,−36=6ib^{2}-4ac=16-52=-36,\qquad\sqrt{-36}=6i

    2. Aplica la fórmula general.

      z=4±6i2=2±3iz=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i

    3. Al ser los coeficientes reales, las soluciones forman un par conjugado. La suma cancela las partes imaginarias y el producto es |2 + 3i|².

      (2+3i)+(2−3i)=4,(2+3i)(2−3i)=4+9=13(2+3i)+(2-3i)=4,\qquad(2+3i)(2-3i)=4+9=13

    Respuesta

    z = 2 ± 3i

    z=2±3iz=2\pm3i
  9. Multiplicando 3 + 2i por su conjugado para demostrar un producto 5 pasos

    Multiplique 3 + 2i por su conjugado y, a continuación, convierta el resultado en una demostración de que el producto de dos sumas de dos cuadrados es también una suma de dos cuadrados. Se trata de Multiplicar con z₁ = 3 + 2i y z₂ = 3 − 2i.

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    1. Los dos términos cruzados son iguales y opuestos, por lo que se anulan. Lo que queda es el −b²i², que cambia de signo y pasa a sumar en lugar de restar; así, un par conjugado siempre da al multiplicarse un número real, y dicho número se obtiene elevando al cuadrado.

      (a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2⟹(3+2i)(3−2i)=9+4=13(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\Longrightarrow\quad(3+2i)(3-2i)=9+4=13

    2. Ese número real ya tiene un nombre. El módulo es la distancia al origen, de modo que |z|² es a² + b² por Pitágoras, y el 3,606 del panel es √13 redondeado al alza en el tercer decimal.

      ∣z∣=a2+b2=13=3.605551,zzˉ=∣z∣2=13|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}=3.605551,\qquad z\bar z=|z|^{2}=13

    3. Consideremos ahora el producto general de dos números complejos, donde i² = −1 pasa un término al otro lado para unirse a la parte real. Aquí todavía no aparece ningún módulo.

      (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    4. Apliquemos el paso 1 a ese producto. Un segundo par de términos cruzados, −2abcd y +2abcd, se anula en el desarrollo, y los cuatro términos que sobreviven se factorizan en dos paréntesis. Cada letra es un entero si así se desea, y nada en la última línea menciona i.

      (ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(a2+b2)(c2+d2)(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})

    5. Así pues, un par de parejas de enteros produce una tercera. 3 + 2i lleva asociado el 13 y 1 + 2i lleva asociado el 5; su producto lleva asociado el 65. Conjugar el segundo factor lo refleja respecto al eje real y proporciona un par diferente con la misma suma.

      (3+2i)(1+2i)=−1+8i: 12+82=65=13×5;(3+2i)(1−2i)=7−4i: 72+42=65(3+2i)(1+2i)=-1+8i:\ 1^{2}+8^{2}=65=13\times5;\qquad(3+2i)(1-2i)=7-4i:\ 7^{2}+4^{2}=65

    Respuesta

    El panel muestra el producto conjugado como 13 y el módulo como 3,606, y 3,606² = 13,003 se debe al redondeo y no a un desacuerdo. Lo que merece la pena conservar es que la identidad sobrevive tras borrar los números complejos: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² es un enunciado sobre cuatro enteros en el que ya no queda ninguna i. Diofanto dejó constancia de este mismo número en el siglo III —observó que 65 se descompone como 1 + 64 y como 16 + 49 porque es 13 × 5 y cada factor es a su vez una suma de dos cuadrados— unos trece siglos antes de que Cardano escribiera por primera vez la raíz cuadrada de un número negativo. Dos factores primos, dos representaciones: el 13 por sí solo únicamente tiene 9 + 4, y el 5 por sí solo únicamente tiene 1 + 4. La multiplicación compleja es la máquina que fabrica la segunda representación, y el conjugado es la palanca que conmuta entre ambas.

    (a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}

Problemas complementarios, solo con la respuesta

  1. Expresa (2 − i)(3 + 4i) en la forma a + bi.

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    10 + 5i

    10+5i10+5i

  2. Expresa (1 + 3i)/(2 − i) en la forma a + bi.

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    −1/5 + 7/5 i

    −15+75i-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i

  3. Halla el módulo y el argumento de −√3 + i.

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    2 y 150° = 5π/6

    2,150∘=5π62,\quad150^{\circ}=\frac{5\pi}{6}

  4. Calcula (√3 + i)⁶.

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    −64

    −64-64

  5. Resuelve z³ = −8.

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    z = 1 + √3 i, −2, 1 − √3 i

    1+3 i,−2,1−3 i1+\sqrt3\,i,\quad-2,\quad1-\sqrt3\,i

  6. Halla las raíces cuadradas de −3 + 4i.

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    1 + 2i y −1 − 2i

    ±(1+2i)\pm(1+2i)

  7. Resuelve z² − 2z + 5 = 0.

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    z = 1 ± 2i

    z=1±2iz=1\pm2i

Imaginarios nacidos para hallar respuestas reales

Los números complejos no se inventaron para resolver x² + 1 = 0; a nadie le quitaba el sueño. Los impusieron las ecuaciones cúbicas. La fórmula de Cardano de 1545 para x³ = px + q a veces pasa por raíces cuadradas de números negativos, incluso cuando las tres soluciones son números reales corrientes. En 1572 Bombelli mostró que esas cantidades «imposibles» se cancelan y dan las respuestas reales correctas. Lo imaginario fue un rodeo hacia lo real.

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Referencias (1)
  • Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

· Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.