Entrenador de división de polinomios

Escribe el dividendo y el divisor como polinomios en x (como 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) o indicando sus coeficientes de mayor a menor grado, como 2, -3, 4, -5. Con coeficientes enteros de tamaño moderado, cada paso es exacto, fracciones incluidas.

Algoritmo de la división	$\begin{aligned}&P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x)\\&\deg R<\deg D\end{aligned}$
Teorema del resto	$\begin{aligned}&P(x)\div(x-a):\ R=P(a)\\&P(x)\div(ax-b):\ R=P\left(\tfrac{b}{a}\right)\end{aligned}$
Teorema del factor	$(x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0$

Ejemplo resuelto — Entrenador de división de polinomios

Cociente	2x² + x + 6
Resto	7
Comprobación del producto	2x³ − 3x² + 4x − 5
P(2), teorema del resto	7
¿Es x − 2 un factor?	no
Dividendo	2

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Entrenador de división de polinomios

Dividir un polinomio P(x) entre D(x) consiste en hallar un cociente Q(x) y un resto R(x) tales que P = DQ + R, con el grado de R menor que el de D.

De dónde viene la fórmula

Divide los términos principales. Al dividir el término de mayor grado de P entre el de D obtienes el primer término del cociente.
$\frac{2x^{3}}{x}=2x^{2}$
Multiplica y resta. El producto de ese término por D cancela el término principal de P, reduciendo el grado de lo que queda.
$\begin{aligned}&2x^{3}-3x^{2}+4x-5-2x^{2}(x-2)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}$
Repite hasta que el grado sea menor que el de D. Cada pasada añade un término al cociente. Si en P falta alguna potencia, reserva su columna con coeficiente 0.
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x}=x:\quad x^{2}+4x-5-x(x-2)=6x-5\\&\frac{6x}{x}=6:\quad 6x-5-6(x-2)=7\end{aligned}$
Deduce el teorema del resto de la propia identidad. Si el divisor es x − a, R es un número; al sustituir x = a en P = (x − a)Q + R, el primer sumando desaparece por completo.
$\begin{aligned}&P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\\&P(a)=0\cdot Q(a)+R=R\end{aligned}$
Pasa al teorema del factor. x − a divide exactamente a P cuando el resto P(a) es 0; por tanto, encontrar un factor equivale a hallar una raíz.
$R=P(a)=0\iff P(x)=(x-a)\,Q(x)$

Problemas resueltos al detalle

División con un término ausente 4 pasos
Divide x³ + 2x − 5 entre x + 1.

Abre este problema en la herramienta
1. Falta el término en x²: escríbelo como 0x² para mantener alineadas las columnas. x³ ÷ x = x².
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\\&x^{3}+0x^{2}+2x-5-x^{2}(x+1)=-x^{2}+2x-5\end{aligned}$
2. x² por (x + 1) da x³ + x². Al restar queda −x² + 2x − 5. Ahora, −x² ÷ x = −x.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x}=-x\\&-x^{2}+2x-5-(-x)(x+1)=3x-5\end{aligned}$
3. −x por (x + 1) da −x² − x. Al restar queda 3x − 5. Después, 3x ÷ x = 3, y como 3(x + 1) = 3x + 3, el resto final es −8.
  
  $\begin{aligned}&\frac{3x}{x}=3\\&3x-5-3(x+1)=-8\end{aligned}$
4. Comprueba el resultado multiplicando cociente y divisor.
  
  $(x+1)(x^{2}-x+3)-8=x^{3}+2x+3-8=x^{3}+2x-5$
Respuesta

Cociente x² − x + 3, resto −8.

$x^{3}+2x-5=(x+1)(x^{2}-x+3)-8$
Un divisor de segundo grado 3 pasos
Divide x⁴ + 3x³ − x + 2 entre x² + x − 1.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. x⁴ ÷ x² = x². Multiplica y resta.
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}\\&x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+2-x^{2}(x^{2}+x-1)\\&\quad=2x^{3}+x^{2}-x+2\end{aligned}$
2. 2x³ ÷ x² = 2x. Multiplica y resta.
  
  $\begin{aligned}&\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x\\&2x^{3}+x^{2}-x+2-2x(x^{2}+x-1)\\&\quad=-x^{2}+x+2\end{aligned}$
3. −x² ÷ x² = −1. Multiplica y resta. Lo que queda, 2x + 1, tiene grado 1, inferior al grado 2 del divisor: ese es ya el resto.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1\\&-x^{2}+x+2-(-1)(x^{2}+x-1)=2x+1\end{aligned}$
Respuesta

Cociente x² + 2x − 1, resto 2x + 1.

$\begin{aligned}&x^{4}+3x^{3}-x+2\\&=(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+2x+1\end{aligned}$
Un divisor no mónico 4 pasos
Divide 4x³ − 2x² + 6x + 1 entre 2x − 1.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Cada término del cociente surge de dividir entre 2x. 4x³ ÷ 2x = 2x².
  
  $\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}$
2. 2x²(2x − 1) = 4x³ − 2x², y al restar se cancela también el término en x². Como 0x² ÷ 2x = 0, el cociente no lleva término en x.
  
  $\begin{aligned}&4x^{3}-2x^{2}+6x+1-2x^{2}(2x-1)=6x+1\\&\frac{0x^{2}}{2x}=0\end{aligned}$
3. 6x ÷ 2x = 3, y 3(2x − 1) = 6x − 3 deja 4.
  
  $\frac{6x}{2x}=3:\qquad 6x+1-3(2x-1)=4$
4. El teorema del resto lo confirma: 2x − 1 se anula en x = 1/2.
  
  $\begin{aligned}P\left(\tfrac12\right)&=4\cdot\tfrac18-2\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12+1\\&=\tfrac12-\tfrac12+3+1=4\end{aligned}$
Respuesta

Cociente 2x² + 3, resto 4.

$4x^{3}-2x^{2}+6x+1=(2x-1)(2x^{2}+3)+4$
El resto sin necesidad de dividir 2 pasos
Calcula el resto de dividir x³ − 4x² + 5x − 7 entre x − 3.

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1. El divisor responde a x − a con a = 3; por tanto, el resto es P(3).
  
  $P(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+5\cdot3-7=27-36+15-7=-1$
2. Hacer la división completa arroja lo mismo, con cociente x² − x + 2.
  
  $x^{3}-4x^{2}+5x-7=(x-3)(x^{2}-x+2)-1$
Respuesta

El resto es −1.

$R=P(3)=-1$
Un factor y la factorización completa 3 pasos
Demuestra que x − 1 es un factor de x³ − 6x² + 11x − 6 y factorízalo por completo.

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1. P(1) = 0, así que por el teorema del factor x − 1 divide a P.
  
  $P(1)=1-6+11-6=0$
2. Divide para encontrar el otro factor.
  
  $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$
3. El cociente es cuadrático y también admite factorización.
  
  $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$
Respuesta

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

$(x-1)(x-2)(x-3)$
Un coeficiente desconocido 3 pasos
x + 2 es factor de x³ + kx² − x − 2. Halla k.

Abre este problema en la herramienta
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1. x + 2 equivale a x − (−2), de modo que P(−2) = 0.
  
  $P(-2)=(-2)^{3}+k(-2)^{2}-(-2)-2=-8+4k$
2. Despeja k.
  
  $-8+4k=0\ \Rightarrow\ k=2$
3. Compruébalo al dividir: el resto da 0.
  
  $x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x^{2}-1)$
Respuesta

k = 2, y x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).

$k=2$
Dos incógnitas, dos condiciones 3 pasos
P(x) = x³ + ax² + bx − 6. Si x − 1 es factor de P y al dividir P entre x + 1 queda un resto de 4, halla a y b.

Abre este problema en la herramienta
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1. Al ser factor, sabemos que P(1) = 0.
  
  $P(1)=1+a+b-6=0\ \Rightarrow\ a+b=5$
2. Por el dato del resto, P(−1) = 4.
  
  $P(-1)=-1+a-b-6=4\ \Rightarrow\ a-b=11$
3. Suma las dos ecuaciones y sustituye el valor obtenido.
  
  $2a=16\ \Rightarrow\ a=8,\quad b=5-8=-3$
Respuesta

a = 8, b = −3

$a=8,\quad b=-3$
División de 2x³ − 3x² + 4x − 5 entre x − 2 5 pasos
Al dividir 2x³ − 3x² + 4x − 5 entre x − 2 se obtiene un resto de 7. Llegue a ese resultado mediante la división sintética y, a continuación, obtenga ese mismo 7 sin realizar división alguna.

Abre este problema en la herramienta
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1. La división sintética es la división ordinaria prescindiendo de la notación accesoria. Solo importan los coeficientes, y dividir entre x − r significa que el multiplicador es r.
  
  $\frac{2x^3-3x^2+4x-5}{x-2}:\quad \text{synthetic division with } r=2$
2. Baje el 2, multiplique por 2 y sume a −3 para obtener 1, multiplique por 2 y sume a 4 para obtener 6, multiplique por 2 y sume a −5 para obtener 7. Los tres primeros son el cociente; el último es el resto.
  
  $2\ \big|\ 2\quad -3\quad 4\quad -5\ \longrightarrow\ 2,\ 1,\ 6\ \ \text{remainder}\ 7$
3. Desarrollado por escrito, este es el algoritmo de la división para polinomios, y la identidad se cumple para todo x, no solo para valores convenientes.
  
  $2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7$
4. Por tanto, sustituya x = 2. El factor (x − 2) anula todo el cociente, sea cual sea este, y la identidad se reduce a P(2) = el resto.
  
  $P(2)=2(8)-3(4)+4(2)-5=16-12+8-5=7$
5. Al evaluar P(2) directamente se obtiene 7, coincidiendo con la división sin haber realizado división alguna.
  
  $P(2)=7\ne0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)\ \text{is not a factor}$
Respuesta

La herramienta muestra un cociente de 2x² + x + 6 y un resto de 7. El teorema del resto es lo que prueba el paso 4, y su valor va más allá del atajo que proporciona: puesto que el resto es P(r), preguntar si (x − r) divide a un polinomio equivale a preguntar si P(r) = 0. Aquí vale 7, de modo que no lo divide. Esa equivalencia convierte la búsqueda de factores en una evaluación: pruebe valores del divisor hasta que el resto sea 0, y habrá encontrado una raíz y factorizado el polinomio en el mismo paso.

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r):\ \text{the remainder IS}\ P(r)$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Divide x³ − 3x² + 5 entre x − 1.

Mostrar respuesta

Cociente x² − 2x − 2, resto 3

$Q=x^{2}-2x-2,\quad R=3$
Divide 2x⁴ − 3x³ + x − 4 entre x² − 2.

Mostrar respuesta

Cociente 2x² − 3x + 4, resto −5x + 4

$Q=2x^{2}-3x+4,\quad R=-5x+4$
Divide x² + 1 entre 2x − 1.

Mostrar respuesta

Cociente x/2 + 1/4, resto 5/4

$Q=\frac{x}{2}+\frac14,\quad R=\frac54$
Calcula el resto de dividir 2x³ + 3x² − 5 entre 2x + 1.

Mostrar respuesta

−9/2

$-\frac92$
Demuestra que x − 2 es factor de x³ − 7x + 6 y factorízalo por completo.

Mostrar respuesta

(x − 2)(x − 1)(x + 3)

$(x-2)(x-1)(x+3)$
Al dividir x³ + px + q entre x − 1 el resto es 6, y x + 2 es factor. Halla p y q.

Mostrar respuesta

p = −1, q = 6

$p=-1,\quad q=6$

Dividir por x − r no necesita ninguna x

Cuando el divisor es x − r, todo el esquema de la división larga se condensa en una sola fila de operaciones con los coeficientes: bajas el primero, multiplicas por r, sumas y repites. Se trata de la regla de Ruffini (o división sintética), que reproduce con exactitud el método de Horner para evaluar polinomios. Por eso el último número que escribes es a la vez el resto de la división y el valor del polinomio en r. La ganancia de eficiencia es indiscutible: evaluar un polinomio de grado 10 exige 10 multiplicaciones por este camino, frente a las 19 necesarias si calculas cada potencia por separado. Así es como las bibliotecas de cálculo numérico evalúan polinomios en la práctica.

Con esto se verifican tus archivos

Cualquier suma de verificación CRC (el control de errores presente en un archivo guardado, un comprimido ZIP o un paquete Ethernet) es en el fondo una división larga de polinomios. Los bits de datos actúan como coeficientes de un polinomio enorme sobre el cuerpo GF(2), donde la aritmética se realiza módulo 2 y la suma coincide con una operación XOR. Ese polinomio, desplazado según el grado del generador, se divide entre un polinomio generador fijo: el resto de la división es justamente la suma de comprobación, salvo por el valor inicial o la inversión final que incorpore cada estándar concreto. El mismo algoritmo que practicas aquí a mano se ejecuta miles de millones de veces por segundo en el hardware de red.

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Referencias (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

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