Desarrollo y factorización

Modifica los paréntesis y observa el rectángulo. Las cuatro piezas son los cuatro términos. Cambiar a la factorización plantea la misma pregunta desde el lado opuesto.

Dos paréntesis	$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Un cuadrado	$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$
Diferencia de cuadrados	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Hay factores enteros cuando	$b^{2}-4ac=n^{2},\quad n\in\mathbb{Z}$

Ejemplo resuelto — Desarrollo y factorización

Discriminante	1 (1²)

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Desarrollo y factorización

Desarrollar consiste en multiplicar los paréntesis para obtener una suma de términos. Factorizar es hacer el camino inverso: expresar esa suma como producto de paréntesis con coeficientes enteros siempre que sea posible.

De dónde viene la fórmula

Multiplica término a término. Dos paréntesis de dos términos dan cuatro productos: las cuatro piezas del rectángulo.
$(px+q)(rx+s)=prx^{2}+psx+qrx+qs$
Agrupa los términos semejantes. Las dos franjas son múltiplos de x, así que se suman en un único término central: de esa suma surge el coeficiente intermedio.
$prx^{2}+(ps+qr)x+qs$
La factorización empieza por el factor común. Extrae el máximo común divisor de a, b y c con el signo de a; así, el trinomio resultante empezará con un término en x² positivo.
$3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
Encuentra los paréntesis. Para x² + bx + c, busca dos números cuyo producto sea c y cuya suma sea b. Si a no es 1, busca dos números con producto ac y suma b, descompón el término central con ellos y factoriza por parejas.
$\begin{aligned}&(-6)(2)=-12,\ \ -6+2=-4\\&x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)\\[4pt]&6x^{2}+5x-4=6x^{2}+8x-3x-4\\&=2x(3x+4)-(3x+4)\\&=(2x-1)(3x+4)\end{aligned}$
Comprueba antes de buscar. Existen paréntesis con números enteros justamente cuando b² − 4ac es un cuadrado perfecto. Si no lo es, ninguna búsqueda dará con ellos.
$\begin{aligned}&ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s),\ \ p,q,r,s\in\mathbb{Z}\\&\iff b^{2}-4ac=n^{2},\ \ n\in\mathbb{Z}\end{aligned}$

Problemas resueltos al detalle

Dos paréntesis con un signo menos 2 pasos
Desarrolla (2x − 1)(3x + 4).

Abre este problema en la herramienta
1. Multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo. El −1 conserva su signo en ambos productos.
  
  $\begin{aligned}&(2x)(3x)+(2x)(4)+(-1)(3x)+(-1)(4)\\&=6x^{2}+8x-3x-4\end{aligned}$
2. Los dos productos intermedios son múltiplos de x, así que se agrupan en un único término.
  
  $6x^{2}+(8-3)x-4=6x^{2}+5x-4$
Respuesta

6x² + 5x − 4.

$(2x-1)(3x+4)=6x^{2}+5x-4$
Un paréntesis al cuadrado 4 pasos
Desarrolla (2x − 3)². Luego explica cómo sabrías que 4x² − 12x + 9 es un cuadrado si te lo encontraras de partida.

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1. Elevar al cuadrado es multiplicar un paréntesis por sí mismo, luego tiene un término central como cualquier otro producto: el doble producto de los dos términos.
  
  $\begin{aligned}(2x-3)^{2}&=(2x)^{2}+2(2x)(-3)+(-3)^{2}\\&=4x^{2}-12x+9\end{aligned}$
2. El fallo más habitual es olvidar ese término central. Basta un solo valor de x para dejarlo en evidencia.
  
  $(2x-3)^{2}\ne4x^{2}+9:\qquad x=1:\ (2-3)^{2}=1,\quad4+9=13$
3. Leído al revés, el primer término y el último son cuadrados, y el del medio es el doble del producto de sus raíces con signo: aquí −12x = −2(2x)(3), así que el paréntesis lleva un signo menos.
  
  $4x^{2}=(2x)^{2},\quad9=3^{2},\quad12x=2(2x)(3)$
4. El discriminante da el mismo veredicto sin tanteo alguno: vale 0, con lo que las dos raíces coinciden y ambos paréntesis son idénticos.
  
  $b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4(4)(9)=144-144=0$
Respuesta

4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². No es 4x² + 9: para x = 1 el cuadrado vale 1 y 4x² + 9 da 13.

$(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$
Tres paréntesis 4 pasos
Desarrolla (x + 2)(x − 1)(2x + 3).

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1. Multiplica primero dos de los paréntesis; este es justo el paso que muestra la herramienta.
  
  $(x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2$
2. Luego multiplica ese trinomio por el tercer paréntesis: cada uno de sus tres términos por los dos de 2x + 3, seis productos en total.
  
  $\begin{aligned}&(x^{2}+x-2)(2x+3)\\&=2x^{3}+3x^{2}+2x^{2}+3x-4x-6\end{aligned}$
3. Agrupa: 3x² y 2x² dan 5x², y 3x con −4x dan −x.
  
  $=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
4. Comprueba con un valor que te facilite las cuentas. Para x = 1 el paréntesis central vale 0, así que el producto entero es 0 y el desarrollo también debe dar 0.
  
  $x=1:\quad(3)(0)(5)=0,\qquad2+5-1-6=0$
Respuesta

2x³ + 5x² − x − 6.

$(x+2)(x-1)(2x+3)=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
Factorizar cuando a = 1 4 pasos
Factoriza x² − 2x − 15.

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1. Desarrollar (x + m)(x + n) te muestra qué buscar: dos números con producto −15 y suma −2.
  
  $\begin{aligned}&(x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn\\&mn=-15,\quad m+n=-2\end{aligned}$
2. Examina las parejas de factores de −15. Como el producto es negativo, los dos números tienen signos contrarios.
  
  $\begin{aligned}-15&=1\times(-15)=(-1)\times15\\&=3\times(-5)=(-3)\times5\end{aligned}$
3. Solo 3 y −5 suman −2.
  
  $m=-5,\ n=3:\qquad(-5)(3)=-15,\quad-5+3=-2$
4. Multiplica de nuevo para comprobar.
  
  $(x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15$
Respuesta

(x − 5)(x + 3).

$x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$
Factorizar 6x² + 5x − 4 para decir si funciona 7 pasos
Factoriza 6x² + 5x − 4, y di de antemano si iba a funcionar.

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1. Calcula primero el discriminante. Solo cuesta una línea y decide si hay algo que encontrar.
  
  $b^2 - 4ac = 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121$
2. Ciento veintiuno es 11², así que existe una factorización en los enteros. Ahora sí vale la pena realizar la búsqueda.
  
  $121 = 11^2$
3. Las raíces derivan de ese mismo número. Como el discriminante es un cuadrado perfecto, son racionales.
  
  $x = \frac{-5 \pm 11}{12} = \tfrac{1}{2}, \; -\tfrac{4}{3}$
4. Una raíz de 1/2 significa un factor de (2x − 1). Una raíz de −4/3 significa un factor de (3x + 4). Eliminar cada denominador es lo que convierte una raíz en un paréntesis.
  
  $(2x - 1)(3x + 4)$
5. Multiplica de nuevo para comprobar, siempre. Las dos franjas centrales son 8x y −3x. Al combinarse forman el 5x que se nos pedía.
  
  $6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 \;\checkmark$
6. Ahora cambia el término independiente a −5 y repite el primer paso. El discriminante pasa a ser 25 + 120 = 145, que no es un cuadrado perfecto. Por tanto, no hay ningún rectángulo con lados enteros y no tiene sentido buscarlo.
  
  $5^2 - 4(6)(-5) = 25 + 120 = 145 \;\neq\; k^2$
7. Aquí se detiene la herramienta y comienza una distinción. 6x² + 5x − 5 se factoriza perfectamente en los números reales, en paréntesis que contienen √145. «No se factoriza» siempre significa «no en los números que acordamos usar». Ese acuerdo casi siempre se omite.
  
  $6x^2 + 5x - 5 = 6\left(x - \tfrac{-5 + \sqrt{145}}{12}\right)\left(x - \tfrac{-5 - \sqrt{145}}{12}\right)$
Respuesta

(2x − 1)(3x + 4), y el discriminante de 121 = 11² lo advirtió antes de buscar nada. Cambia el −4 a un −5 y el discriminante pasa a ser 145, que no es un cuadrado. El mismo trinomio deja de factorizarse en los enteros, aunque sigue siendo perfectamente factorizable en los reales.
Primero el factor común 4 pasos
Factoriza por completo 3x² − 12x − 36.

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1. El 3 divide a los tres coeficientes, así que extráelo primero.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
2. Dentro queda a = 1, y los dos números con producto −12 y suma −4 son −6 y 2.
  
  $mn=-12,\quad m+n=-4:\qquad m=-6,\ n=2$
3. Vuelve a colocar el 3 delante.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
4. Al multiplicar los paréntesis (3x − 18)(x + 2) vuelves al mismo trinomio, pero el 3 todavía divide al primero: la factorización está incompleta y en un examen que pida resolverlo por completo te restarán puntos.
  
  $(3x-18)(x+2)=3(x-6)(x+2)$
Respuesta

3(x − 6)(x + 2).

$3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
Término en x² negativo 4 pasos
Factoriza 12 + 4x − x².

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1. Ordénalo en potencias decrecientes y extrae −1 para que el término en x² quede positivo dentro.
  
  $12+4x-x^{2}=-(x^{2}-4x-12)$
2. Dentro, el producto es −12 y la suma −4, de modo que los números son −6 y 2.
  
  $x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$
3. También puedes introducir el signo menos en el primer paréntesis, que es como suele aparecer en los criterios de corrección.
  
  $-(x-6)(x+2)=(6-x)(x+2)$
4. Comprueba para x = 0: la expresión inicial vale 12, y (6)(2) da 12.
  
  $x=0:\quad(6)(2)=12$
Respuesta

−(x − 6)(x + 2), que equivale a (6 − x)(x + 2).

$12+4x-x^{2}=(6-x)(x+2)$
La diferencia de dos cuadrados, y el número 8.051 7 pasos
Desarrolla (x − 5)(x + 5) y di por qué desaparece el término central. Multiplica luego 95 × 105 de cabeza y decide si el mismo dibujo puede descomponer un número corriente.

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1. Las cuatro piezas del rectángulo, en orden de lectura: la esquina que lleva x², las dos franjas y la esquina del término independiente.
  
  $x\cdot x \;+\; x\cdot 5 \;+\; (-5)\cdot x \;+\; (-5)\cdot 5$
2. Las dos franjas son 5x y −5x. Se cancelan, y el trinomio que imprime el panel se queda sin término central.
  
  $= x^{2} + 5x - 5x - 25 = x^{2} + 0x - 25$
3. La fila del discriminante marca 100, que es 10², un cuadrado perfecto; por tanto, existen paréntesis con números enteros. Aquí ya lo sabíamos de antemano, porque los hemos construido nosotros.
  
  $b^{2}-4ac = 0^{2} - 4(1)(-25) = 100 = 10^{2}$
4. Esa cancelación no fue casualidad. Pon el mismo número en ambos paréntesis con signos contrarios y las franjas serán el mismo rectángulo contado dos veces: una sumando y otra restando, sea cual sea el número.
  
  $(x+q)(x-q) = x^{2} + qx - qx - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Nada en ese razonamiento exige que x sea una letra. Mete 100 en su lugar y una multiplicación se convierte en una resta.
  
  $95 \times 105 = (100-5)(100+5) = 100^{2} - 5^{2} = 10{,}000 - 25 = 9{,}975$
6. Dos números cualesquiera se pueden escribir como un punto medio y una separación a cada lado, así que esto funciona con cualquier par cuya media sea cómoda.
  
  $47 \times 53 = (50-3)(50+3) = 2{,}500 - 9 = 2{,}491$
7. Leído al revés hace el trabajo difícil. Para factorizar 8.051, busca un cuadrado que lo supere en otro cuadrado: 90² es el primero que lo consigue, y los dos paréntesis son los factores. Este es el método de factorización de Fermat, y resulta rápido justo cuando los dos factores están cerca uno de otro, como lo están 83 y 97.
  
  $90^{2} - 8{,}051 = 8{,}100 - 8{,}051 = 49 = 7^{2} \;\Longrightarrow\; 8{,}051 = 83 \times 97$
Respuesta

x² − 25, y 95 × 105 = 9.975. El término central se anula porque las dos franjas son iguales y de signo contrario, lo que deja x² − q². Si aplicas la identidad en sentido inverso, factorizas números en lugar de expresiones: 8.051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) \qquad\Longleftrightarrow\qquad N = m^{2}-d^{2} = (m-d)(m+d)$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Desarrolla (3x − 2)(x + 5).

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3x² + 13x − 10

$3x^{2}+13x-10$
Desarrolla (x − 4)(x + 1)(x + 3).

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x³ − 13x − 12

$x^{3}-13x-12$
Factoriza x² + x − 20.

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(x + 5)(x − 4)

$(x+5)(x-4)$
Factoriza 10x² − 11x − 6.

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(2x − 3)(5x + 2)

$(2x-3)(5x+2)$
Factoriza por completo 2x² − 18.

Mostrar respuesta

2(x − 3)(x + 3)

$2(x-3)(x+3)$
Factoriza x² − 7x.

Mostrar respuesta

x(x − 7)

$x(x-7)$
¿Se puede factorizar 2x² + 3x − 4 con números enteros?

Mostrar respuesta

No. Su discriminante vale 41, que no es un cuadrado perfecto.

$b^{2}-4ac=41$

Las cuatro letras de FOIL corresponden a cuatro rectángulos

Coloca junto al desarrollo un rectángulo de lados x + 2 y x + 3. Se divide en cuatro piezas porque cada lado se parte en dos: x², dos franjas de 3x y 2x, y un 6 en la esquina. Esas cuatro áreas son los cuatro términos y su suma da el área total: eso es exactamente lo que significa «desarrollar». El orden en que las recorras da igual; por eso cualquier regla mnemotécnica funciona y ninguna hace falta. Si cambias el signo de un coeficiente a negativo, las piezas que toca se muestran tenues y con trazo discontinuo: un área negativa representa una resta, y el modelo geométrico sigue en pie, que ya es más de lo que puede decirse de cualquier truco mnemotécnico.

La factorización es la misma imagen, y por eso resulta más difícil

Cambia a Factorizar y la pregunta se invierte: esta es el área, ¿cuáles eran los lados? No aparece ninguna idea nueva. Lo que cambia es que desarrollar exige hacer un cálculo, mientras que factorizar exige buscar: conoces la suma de las cuatro piezas y tienes que encontrar una disposición que forme un rectángulo. Por esa asimetría, una dirección se enseña como un procedimiento y la otra, como una destreza. Es también lo que hace que multiplicar dos números primos sea fácil, pero que descomponer su producto en factores constituya la base de RSA.

Una prueba indica si vale la pena iniciar la búsqueda

Antes de buscar factores, calcula b² − 4ac. Si es un cuadrado perfecto, el trinomio se puede factorizar sobre los enteros. Si no lo es, no existe ninguna disposición posible, por mucho que pruebes. Pulsa Uno que no factoriza: x² + x + 1 tiene discriminante −3, así que ese rectángulo sencillamente no existe. Este es el mismo discriminante que determina cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática, y no es casualidad: los lados del rectángulo son las raíces bajo otra apariencia, y buscar lados enteros equivale a buscar raíces racionales. Al recorrer todos los trinomios con a entre 1 y 8, y b y c entre −12 y 12, aparecen 733 con discriminante cuadrado perfecto; los 733 se pueden factorizar.

Ruta de aprendizaje

Más allá de la cuadrática

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Desarrollo y factorización

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Las cuatro letras de FOIL corresponden a cuatro rectángulos 🖖

La factorización es la misma imagen, y por eso resulta más difícil 🖖

Una prueba indica si vale la pena iniciar la búsqueda 🖖

Las cuatro letras de FOIL corresponden a cuatro rectángulos

La factorización es la misma imagen, y por eso resulta más difícil

Una prueba indica si vale la pena iniciar la búsqueda