Descripción de distribuciones

Introduce un conjunto de datos, o dos para compararlos, o bien elige uno de los ejemplos. Cada grupo aparece como un diagrama de puntos sobre su diagrama de caja en una escala común, con la media señalada bajo la caja. El selector de cuartiles cambia el método para hallar Q₁ y Q₃, y con ellos las barreras.

Media	$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i$
Desviación típica	$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$
Barreras para valores atípicos	$\begin{aligned}&Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Ejemplo resuelto — Descripción de distribuciones

Número de valores	97
Media	54,4948
Desviación típica s	5,8401
Mediana M	54
Primer cuartil Q₁	50
Tercer cuartil Q₃	59
Rango intercuartílico	9
Rango	28

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Descripción de distribuciones

Describir una distribución consiste en señalar su forma, su centro, su dispersión y cualquier valor atípico, siempre dentro del contexto de los datos. Comparar dos distribuciones implica detallar en qué difiere cada uno de esos rasgos, aportando números.

De dónde viene la fórmula

Forma. Observa el diagrama de puntos o el histograma: si presenta un pico o varios, si es aproximadamente simétrica o si tiene una cola más larga hacia la derecha (asimétrica a la derecha) o hacia la izquierda, y si existen huecos o agrupaciones. El coeficiente de asimetría g₁ cuantifica esa cola: toma valores positivos cuando la cola derecha es la más alargada.
$g_1=\frac{\frac1n\sum(x_i-\bar x)^3}{\left(\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\right)^{3/2}}$
Centro. La media representa el punto de equilibrio de los datos; la mediana deja al menos la mitad de los valores por debajo o igual a ella y al menos la mitad por encima o igual a ella. Un único valor extremo puede desplazar la media enormemente sin apenas alterar la mediana; por eso decimos que la mediana es resistente.
$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad M=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$
Dispersión. La desviación típica s mide la distancia característica respecto a la media, dividiendo entre n − 1 porque la suma de las desviaciones respecto a x̄ debe ser cero. El rango intercuartílico mide la dispersión del 50 % central y, al igual que la mediana, resiste la influencia de valores extremos. El rango, en cambio, se fija únicamente en los dos valores más extremos.
$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}},\qquad\sum(x_i-\bar x)=0$
Valores atípicos. Cualquier dato que quede a más de 1,5 IQR por debajo de Q₁ o por encima de Q₃ se considera un valor atípico. Si cae con exactitud sobre la barrera, no lo es.
$x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$
Elige la pareja adecuada a la forma. Si la distribución es aproximadamente simétrica y no presenta valores atípicos, resume con la media y s; si es asimétrica o contiene valores atípicos, recurre a la mediana y al rango intercuartílico. Para comparar dos grupos, utiliza la misma pareja en ambos, sobre una escala compartida, y precisa cuál es mayor y en qué cantidad.

Supone: Los cuartiles dependen de la fórmula elegida. El selector ofrece tres: el método de las mitades de la TI-84, y los tipos 7 y 6 de Hyndman y Fan, que son los criterios por defecto en R, Minitab y SPSS. Pueden discrepar con conjuntos de datos de cualquier tamaño.

Problemas resueltos al detalle

Cómo describir una distribución 3 pasos
Describe la distribución de las 175 esperas del Old Faithful tras una erupción de 3 minutos o más: n = 175, media 79,99, s = 5,99, mínimo 64, Q₁ = 76, mediana 80, Q₃ = 84, máximo 96, asimetría −0,04.

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1. Forma: el diagrama de puntos presenta un único pico y colas de longitud similar; el coeficiente de asimetría está próximo a cero.
  
  $g_1\approx-0.04$
2. Centro y dispersión: al ser aproximadamente simétrica, la media y la desviación típica son resúmenes adecuados. Comprobamos si hay valores atípicos mediante las barreras:
  
  $76-1.5\times8=64,\qquad 84+1.5\times8=96$
3. Los valores 64 y 96 caen exactamente sobre las barreras, y un dato situado justo en la barrera no se considera atípico.
Respuesta

Unimodal y aproximadamente simétrica, centrada en torno a los 80 minutos (media 79,99, mediana 80), con una desviación típica cercana a 6 minutos y esperas de entre 64 y 96 minutos; sin valores atípicos.

$\bar x\approx80,\quad M=80,\quad s\approx6,\quad 64\le x\le96$
Cálculo manual de la media y la desviación típica 3 pasos
Nueve estudiantes dedicaron 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31 y 49 minutos a sus deberes. Halla la media y la desviación típica.

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1. Suma los valores y divide el resultado entre n:
  
  $\bar x=\frac{10+15+19+20+23+29+29+31+49}{9}=\frac{225}{9}=25$
2. Eleva al cuadrado cada desviación respecto a la media y suma esos cuadrados:
  
  $225+100+36+25+4+16+16+36+576=1034$
3. Divide entre n − 1 = 8 y calcula la raíz cuadrada:
  
  $s=\sqrt{\frac{1034}{8}}=\sqrt{129.25}\approx11.37$
Respuesta

x̄ = 25 minutos, s ≈ 11,37 minutos.

$\bar x=25,\qquad s\approx11.37$
Qué estadísticos resisten a los valores atípicos 2 pasos
Las 66 observaciones de Newcomb arrojan una media de 26,21, una desviación típica de 10,75, una mediana de 27 y un rango intercuartílico de 7. Si se retiran los dos valores atípicos, −44 y −2, los 64 restantes tienen una media de 27,75, una desviación típica de 5,08, una mediana de 27,5 y un rango intercuartílico de 6,5. ¿Qué estadísticos han variado más y qué pareja debería describir el conjunto completo?

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1. Comparamos cada medida con y sin esos dos valores:
  
  $\bar x:\ 26.21\to27.75,\qquad s:\ 10.75\to5.08,\qquad M:\ 27\to27.5,\qquad\mathrm{IQR}:\ 7\to6.5$
2. La desviación típica se reduce a más de la mitad y la media varía en 1,54, mientras que la mediana y el rango intercuartílico solo cambian en 0,5 cada uno. Los valores atípicos distorsionan con fuerza las medidas no resistentes.
Respuesta

La media y, muy especialmente, la desviación típica son las que más cambian. El conjunto completo, con sus dos valores atípicos, queda mejor descrito mediante la mediana, 27, y el rango intercuartílico, 7.

$M=27,\qquad\mathrm{IQR}=7$
Cómo comparar dos distribuciones 2 pasos
Compara las esperas posteriores a erupciones cortas (n = 97: mediana 54, Q₁ 50, Q₃ 59, rango de 43 a 71, asimetría 0,30) con las posteriores a erupciones largas (n = 175: mediana 80, Q₁ 76, Q₃ 84, rango de 64 a 96, asimetría −0,04).

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1. Centro: las medianas difieren en:
  
  $80-54=26$
2. Dispersión: los rangos intercuartílicos son de 9 y 8 minutos, prácticamente iguales. Forma: ambas son unimodales; las esperas tras erupción corta presentan una cola derecha algo más alargada. Valores atípicos: ninguno en ningún grupo según las barreras. Solapamiento:
  
  $Q_1^{\,\mathrm{long}}=76>59=Q_3^{\,\mathrm{short}}$
Respuesta

Las esperas tras una erupción larga son típicamente 26 minutos mayores (medianas de 80 frente a 54), con una dispersión casi idéntica (rangos intercuartílicos de 8 y 9) y sin valores atípicos en ningún grupo. La mitad central de las esperas tras erupción larga (de 76 a 84) se sitúa por completo por encima de la mitad central tras erupción corta (de 50 a 59).

$M_{\mathrm{long}}-M_{\mathrm{short}}=26,\qquad\mathrm{IQR}:\ 8,\ 9$
Los mismos datos con dos criterios para los cuartiles 2 pasos
A partir de 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49, halla Q₁ y Q₃ mediante el método de las mitades y mediante el tipo 7, h = (n − 1)p + 1, y determina en cada caso si 49 es un valor atípico.

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1. Mitades: excluimos la mediana, 23, y calculamos la mediana de cada grupo de cuatro:
  
  $Q_1=\frac{15+19}{2}=17,\qquad Q_3=\frac{29+31}{2}=30,\qquad 30+1.5\times13=49.5>49$
2. Tipo 7: h = 8 × 0,25 + 1 = 3 y h = 8 × 0,75 + 1 = 7; por tanto, Q₁ y Q₃ son el 3.er y el 7.º valor:
  
  $Q_1=x_{(3)}=19,\qquad Q_3=x_{(7)}=29,\qquad 29+1.5\times10=44<49$
Respuesta

Mitades: Q₁ = 17, Q₃ = 30, barrera 49,5; por tanto, 49 no es un valor atípico. Tipo 7: Q₁ = 19, Q₃ = 29, barrera 44; por tanto, 49 sí es un valor atípico.

$49.5>49,\qquad 44<49$
Cambio de unidades 2 pasos
Newcomb registró cada tiempo t mediante un código x, donde t = 24,8 + x/1000 millonésimas de segundo. Dichos códigos tienen una media de 26,21, una desviación típica de 10,75, una mediana de 27 y un rango intercuartílico de 7. Halla esos mismos cuatro estadísticos para t.
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1. Sumar una constante desplaza cualquier medida de centro sin alterar la dispersión; multiplicar por una constante positiva escala ambas. Centro:
  
  $24.8+\frac{26.21}{1000}=24.82621,\qquad 24.8+\frac{27}{1000}=24.827$
2. Dispersión, multiplicada únicamente por 1/1000:
  
  $\frac{10.75}{1000}=0.01075,\qquad\frac{7}{1000}=0.007$
Respuesta

Media de 24,82621 y mediana de 24,827 millonésimas de segundo; desviación típica de 0,01075 y rango intercuartílico de 0,007.

$\bar t=24.82621,\quad M_t=24.827,\quad s_t=0.01075,\quad\mathrm{IQR}_t=0.007$
Cuando la media y la mediana contradicen la cola 3 pasos
En una muestra de 100 hogares, 38 tienen un adulto, 49 tienen dos, 9 tienen tres, 3 tienen cuatro y 1 tiene cinco. Halla la media y la mediana, e indica hacia qué lado es asimétrica la distribución.

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1. La media:
  
  $\bar x=\frac{38\cdot1+49\cdot2+9\cdot3+3\cdot4+1\cdot5}{100}=\frac{180}{100}=1.8$
2. La mediana es la media de los valores 50.º y 51.º. Los primeros 38 valen 1 y del 39 al 87 valen 2:
  
  $x_{(50)}=x_{(51)}=2\ \Rightarrow\ M=2$
3. La cola se prolonga hacia la derecha, hacia los valores 4 y 5 adultos, y la asimetría es positiva:
  
  $g_1\approx1.2>0,\qquad\bar x=1.8<2=M$
Respuesta

Media 1,8, mediana 2, asimétrica a la derecha (g₁ ≈ 1,2): la media se sitúa por debajo de la mediana aunque la cola larga esté a la derecha.

$\bar x=1.8<M=2,\qquad g_1\approx1.2$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Halla la media y la desviación típica de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

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x̄ = 5, s ≈ 2,14

$\bar x=5,\qquad s=\sqrt{\tfrac{32}{7}}\approx2.14$
Un conjunto de datos tiene Q₁ = 12 y Q₃ = 20. ¿Cuáles de estos valores son atípicos: 0, 8, 32 y 33?

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Solo 33. Las barreras son 0 y 32, y un valor situado sobre la barrera no se considera atípico.

$12-1.5\times8=0,\qquad 20+1.5\times8=32<33$
Cada valor de un conjunto de datos se multiplica por 3 y luego se le suma 5. ¿Qué ocurre con la media, la mediana, la desviación típica y el rango intercuartílico?

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La media y la mediana pasan a ser 3 × (anterior) + 5; la desviación típica y el rango intercuartílico se multiplican por 3.

$\bar x\to3\bar x+5,\quad M\to3M+5,\quad s\to3s,\quad\mathrm{IQR}\to3\,\mathrm{IQR}$
Las calificaciones de un examen presentan una fuerte asimetría hacia la izquierda con dos puntuaciones extremadamente bajas. ¿Qué medidas de centro y de dispersión conviene utilizar en el informe?

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La mediana y el rango intercuartílico.
Para 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49, halla Q₁ y Q₃ mediante el tipo 6, h = (n + 1)p.

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Q₁ = 17, Q₃ = 30

$h=2.5:\ 15+0.5\,(19-15)=17,\qquad h=7.5:\ 29+0.5\,(31-29)=30$

Las dos jorobas del Old Faithful responden a dos tipos de erupción

Pulsa Old Faithful: corta y larga. El histograma conjunto de las 272 esperas tenía dos jorobas; aquí esas mismas esperas aparecen separadas según la erupción que las precedió. Tras una erupción inferior a 3 minutos, la mitad central de las esperas se concentra entre 50 y 59 minutos. Tras una erupción más larga, queda entre 76 y 84. Las dos cajas no se solapan en absoluto, y el histograma de cualquiera de los grupos por separado, en intervalos de 5 minutos, muestra una sola joroba. Aquella segunda joroba correspondía en realidad a un segundo grupo, vertido en el mismo gráfico que el primero. Ante una distribución con dos picos, la pregunta provechosa es qué los separa; en este caso, bastó cronometrar la erupción para responderla.

Dos calculadoras y dos veredictos para un mismo 49

Pulsa Deberes: mitades. Una TI-84 obtiene Q₁ = 17 y Q₃ = 30; la barrera superior se sitúa en 49,5 y el tiempo más largo, 49, queda justo dentro. Pulsa ahora Deberes: tipo 7, el criterio que aplica R por defecto: Q₁ = 19 y Q₃ = 29, la barrera desciende a 44 y ese mismo 49 se convierte en un valor atípico. Nueve datos, sin más cambio que el programa utilizado. En 1996, Hyndman y Fan compararon nueve definiciones de cuantiles muestrales empleadas en software estadístico y descubrieron programas que aplicaban una regla para calcular cuartiles y otra distinta para dibujar sus propios diagramas de caja. Con nueve valores, la fórmula escogida dicta la sentencia; por eso conviene indicar siempre qué cuartiles has calculado, y no limitarse a la conclusión.

Asimetría a la derecha con la media por debajo de la mediana

La regla tradicional de los libros de texto afirma que la media siempre se desplaza hacia la cola más larga. Pulsa Adultos por hogar: la cola se extiende a la derecha, alcanzando hogares de cuatro y cinco adultos; el coeficiente de asimetría vale +1,2 y, pese a ello, la media (1,8) queda por debajo de la mediana (2). En 2005, Paul von Hippel comprobó que 14 de 18 manuales de introducción recogían esa regla, y demostró que fallaba con los datos de la Encuesta Social General de 2002, cuya forma imitan estos hogares simulados: un 38 % por debajo de la mediana, un 49 % exactamente en ella y un 13 % por encima. La media equilibra el peso abrumador del lado izquierdo, mientras que los escasos valores elevados de la derecha dominan la asimetría porque las distancias se elevan al cubo. Cuando trabajes con datos discretos y muchos valores coincidan en la mediana, juzga la forma a partir de la gráfica y no por el orden de la media y la mediana.

Ruta de aprendizaje

Estadística: de los datos a las proporciones

Referencias (6)

Insight block 3 and solved problem 7: the textbook rule that the mean lies towards the long tail, found in 14 of 18 introductions, failing for adults per US household in the 2002 General Social Survey (skewness 1.11, 38% of cases below the median, 49% at it, 13% above), and why discrete data break it: von Hippel, P. T. (2005). Mean, median, and skew: Correcting a textbook rule. Journal of Statistics Education, 13(2).
Insight block 2: the definitions of sample quantiles in use in statistical packages, compared, and the observation that one package can use one definition for a quantile and another for its boxplot: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
Types 6 and 7 as the page computes them: type 7 is R's default, type 6 is the one Minitab and SPSS use: R Core Team. quantile: Sample Quantiles. R stats package documentation.
A standard AP Statistics text showing the TI-83/84 and Minitab giving different quartiles for the same data, and the TI-83/84's 1-Var Stats as the five-number summary: Starnes, D. S. & Tabor, J. The Practice of Statistics, 7th edition. New York: Bedford, Freeman & Worth, 2024; page 75.
Old Faithful's waits and eruption lengths, split at 3 minutes for the first preset; R documents the waiting column as the time to the next eruption: R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Newcomb's 66 timings and the code t = 24.8 + x/1000 millionths of a second used in solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Descripción de distribuciones

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Las dos jorobas del Old Faithful responden a dos tipos de erupción 🖖

Dos calculadoras y dos veredictos para un mismo 49 🖖

Asimetría a la derecha con la media por debajo de la mediana 🖖

Las dos jorobas del Old Faithful responden a dos tipos de erupción

Dos calculadoras y dos veredictos para un mismo 49

Asimetría a la derecha con la media por debajo de la mediana