Esimese tuletise test

Sisesta f. Leht leiab iga x, kus f′ on 0 või puudub, ning kannab graafiku alla nende vahele f′ märgid. Määra iga kriitilise punkti tüüp enne, kui leht vastuse kuvab. Kui valid lõigu [a, b], lisanduvad suurima ja vähima väärtuse kandidaatide sekka ka otspunktid.

Kasvamine ja kahanemine	$f'>0\ \Rightarrow\ f\nearrow,\qquad f'<0\ \Rightarrow\ f\searrow$
Esimese tuletise test kriitilises punktis c	$\begin{aligned}&+\ \big\|_{c}\ -\ \ \Rightarrow\ \ f(c)\ \max\\&-\ \big\|_{c}\ +\ \ \Rightarrow\ \ f(c)\ \min\end{aligned}$
Kandidaatide test lõigul [a, b]	$\max_{[a,b]}f=\max\{f(a),\ f(c_i),\ f(b)\}$

Näidisarvutus — Esimese tuletise test

Tuletis	6x²−6x−12
Kahanev, kus f′ < 0	(−1, 2)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Esimese tuletise test

Funktsiooni f kriitiline punkt on koht x, kus f on määratud ning f′(x) = 0 või f′(x) puudub. Esimese tuletise test: kui f on kriitilises punktis c pidev ja f′ märk muutub punkti c läbimisel plussist miinuseks, on f(c) lokaalne maksimum; kui miinusest plussiks, siis lokaalne miinimum; kui f′ märk ei muutu, pole tegemist kummagagi.

Kust valem tuleb

Leia f′ ja kriitilised punktid. Lahenda võrrand f′(x) = 0 ning lisa iga x, kus funktsioon f on määratud, ent tuletis f′ puudub (nurgapunkt, teravik). Kohtades, kus f ise pole määratud (asümptoot või katkevus), jaotub arvtelg samuti, kuid need x väärtused pole kriitilised punktid.
$f'(c)=0\ \ \lor\ \ \nexists f'(c),\qquad \exists f(c)$
Koosta märgitabel. Jaotuspunktide vahel säilitab f′ sama märgi, seega piisab igas vahemikus ühest prooviväärtusest. Lehel tähistavad neid plussid ja miinused graafiku all oleval ribal.
$\begin{array}{c|ccccc}x&&c_1&&c_2&\\\hline f'(x)&\pm&0&\pm&\nexists&\pm\end{array}$
Määra kasvamine ja kahanemine. Seal, kus f′ > 0, funktsioon f kasvab, ja kus f′ < 0, seal kahaneb. Seda põhjendab keskväärtusteoreem: mistahes lõikaja tõus vahemiku otspunktide vahel võrdub mõne vahepealse puutuja tõusuga.
$\begin{aligned}&f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)\,(x_2-x_1)\\&f'>0\ \Rightarrow\ f(x_2)>f(x_1)\quad(x_1<x_2)\end{aligned}$
Liigita iga kriitiline punkt selle kahe poole märkide põhjal.
$\begin{aligned}&+\ \big|_{c}\ -\ \Rightarrow\ f(c)\ \max\\&-\ \big|_{c}\ +\ \Rightarrow\ f(c)\ \min\\&+\ \big|_{c}\ +,\ \ -\ \big|_{c}\ -\ \Rightarrow\ \neg\max,\ \neg\min\end{aligned}$
Kinnisel lõigul [a, b], kus f on pidev, leiduvad absoluutne maksimum ja miinimum kandidaatide seast: f väärtus punktis a, punktis b ning igas vahemikku jäävas kriitilises punktis. Võrdle neid väärtusi; ekstreemumiks võib osutuda ka otspunkt.
$\begin{array}{c|ccccc}x&a&c_1&\cdots&c_k&b\\\hline f(x)&f(a)&f(c_1)&\cdots&f(c_k)&f(b)\end{array}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Kuupfunktsioon maksimumi ja miinimumiga 3 sammu
Leia vahemikud, milles f(x) = 2x³ − 3x² − 12x kasvab ja kahaneb, ning liigita selle kriitilised punktid.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Leia tuletis, tegurda ja sea f′ = 0:
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=6x^{2}-6x-12\\&=6(x+1)(x-2)\\f'(x)&=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2\end{aligned}$
2. Kontrolli igas vahemikus ühte väärtust, näiteks f′(−2) = 24, f′(0) = −12, f′(3) = 24:
  
  $\begin{array}{c|ccccc}x&&-1&&2&\\\hline f'(x)&+&0&-&0&+\\f(x)&\nearrow&7&\searrow&-20&\nearrow\end{array}$
3. Loe tabelist välja mõlemad kriitilised punktid:
  
  $\begin{aligned}&f(-1)=-2-3+12=7\\&f(2)=16-12-24=-20\end{aligned}$
Vastus

Kasvab vahemikes (−∞, −1) ja (2, ∞), kahaneb vahemikus (−1, 2); lokaalne maksimum f(−1) = 7 ja lokaalne miinimum f(2) = −20.

$f(-1)=7\ \max,\qquad f(2)=-20\ \min$
f′ = 0 ilma märgi muutuseta 3 sammu
Leia ja liigita funktsiooni f(x) = x⁴ − 4x³ kriitilised punktid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leia tuletis ja tegurda:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)\\&f'(x)=0\ \Rightarrow\ x=0,\ 3\end{aligned}$
2. Tegur x² pole kunagi negatiivne, seega on funktsioonil f′ mõlemal pool 0 avaldise x − 3 märk:
  
  $\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&3&\\\hline 4x^{2}&+&0&+&+&+\\x-3&-&-&-&0&+\\\hline f'(x)&-&0&-&0&+\end{array}$
3. Seega on 0 kriitiline punkt, kus f vaid peatub (nagu funktsiooni x³ puhul tuletise lehel), ning kohal 3 on ekstreemum:
  
  $\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&3&\\\hline f(x)&\searrow&0&\searrow&-27&\nearrow\end{array}$
Vastus

x = 0 pole kumbki; f(3) = −27 on lokaalne miinimum. f kahaneb vahemikus (−∞, 3) otse läbi punkti 0 ning kasvab vahemikus (3, ∞).

$f(3)=81-108=-27\ \min$
Teravik: f′ puudub 3 sammu
Leia ja liigita funktsiooni f(x) = x − 3x^(2/3) kriitilised punktid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leia tuletis. f′ on 0 seal, kus lugeja on null, ning puudub seal, kus nimetaja on 0, kuigi f(0) = 0 eksisteerib:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=1-\frac{2}{x^{1/3}}=\frac{x^{1/3}-2}{x^{1/3}}\\&f'(8)=0,\qquad \nexists f'(0)\end{aligned}$
2. Märgitabel, kus nimetaja märk vahetub kohal 0:
  
  $\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&8&\\\hline f'(x)&+&\nexists&-&0&+\\f(x)&\nearrow&0&\searrow&-4&\nearrow\end{array}$
3. Mõlemad punktid on kriitilised ning mõlemas on ekstreemum:
  
  $f(8)=8-3\cdot8^{2/3}=8-12=-4$
Vastus

Lokaalne maksimum f(0) = 0 teravikus, kus f′ puudub, ning lokaalne miinimum f(8) = −4. Üksnes võrrandi f′ = 0 lahendamisel jääks maksimum kahe silma vahele.

$f(0)=0\ \max,\qquad f(8)=-4\ \min$
Märgi vahetus asümptoodil 3 sammu
f(x) = x + 4/x². Leia vahemikud, kus f kasvab ja kahaneb, ning liigita kõik kriitilised punktid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leia tuletis. f′ on 0 kohal x = 2 ning puudub kohal 0, kus pole määratud ka f:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=1-\frac{8}{x^{3}}=\frac{x^{3}-8}{x^{3}}\\&f'(2)=0,\qquad \nexists f(0)\end{aligned}$
2. Jaota arvtelg punktides 2 ja 0 ning kontrolli iga osa:
  
  $\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&2&\\\hline f'(x)&+&\nexists&-&0&+\\f(x)&\nearrow&\nexists&\searrow&3&\nearrow\end{array}$
3. f′ märk muutub nulli läbides plussist miinuseks, kuid 0 ei kuulu f-i määramispiirkonda. Seetõttu pole see kriitiline punkt ja maksimumi seal pole; graafik tõuseb piki asümptooti. Ainus kriitiline punkt on 2:
  
  $f(2)=2+\frac{4}{2^{2}}=3$
Vastus

Kasvab vahemikes (−∞, 0) ja (2, ∞), kahaneb vahemikus (0, 2); üks lokaalne miinimum, f(2) = 3.

$f(2)=3\ \min$
Trigonomeetriline funktsioon lõigul 3 sammu
Liigita funktsiooni f(x) = 2 sin x + sin 2x kriitilised punktid lõigul [0, 2π] ning leia selle absoluutsed ekstreemumid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kasuta seost cos 2x = 2cos²x − 1 ja tegurda:
  
  $\begin{aligned}f'(x)&=2\cos x+2(2\cos^{2}x-1)\\&=2(2\cos x-1)(\cos x+1)\end{aligned}$
2. Kuna cos x + 1 ≥ 0 ja võrdub nulliga vaid kohal π, määrab f′ märgi tegur 2cos x − 1, välja arvatud punktis π eneses:
  
  ${\small\begin{array}{c|ccccccc}x&&\tfrac{\pi}{3}&&\pi&&\tfrac{5\pi}{3}&\\\hline f'&+&0&-&0&-&0&+\\f&\nearrow&\tfrac{3\sqrt{3}}{2}&\searrow&0&\searrow&-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}&\nearrow\end{array}}$
3. Võrdle kandidaate, kaasa arvatud otspunkte:
  
  $\begin{aligned}&f(0)=f(2\pi)=0\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx2{.}5981\end{aligned}$
Vastus

Lokaalne maksimum f(π/3) = 3√3/2 ≈ 2,5981, lokaalne miinimum f(5π/3) = −3√3/2 ≈ −2,5981 ning π pole kumbki. Mõlemad otspunktid annavad väärtuse 0, mistõttu need kaks ekstreemumi on ühtlasi absoluutne maksimum ja miinimum.

$\max_{[0,2\pi]}f=\tfrac{3\sqrt{3}}{2},\qquad \min_{[0,2\pi]}f=-\tfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Kandidaatide test: maksimum otspunktis 2 sammu
Leia funktsiooni f(x) = x³ − 3x absoluutne maksimum ja miinimum lõigul [0, 3].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. f on polünoom ja seega lõigul [0, 3] pidev. Kriitilised punktid:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)\\&f'(x)=0\ \Rightarrow\ x=\pm1\end{aligned}$
2. Vahemikku (0, 3) jääb vaid x = 1. Arvuta f väärtus selles punktis ja mõlemas otspunktis:
  
  $\begin{array}{c|ccc}x&0&1&3\\\hline f(x)&0&-2&18\end{array}$
Vastus

Absoluutne maksimum on f(3) = 18 otspunktis; absoluutne miinimum on f(1) = −2. Kohal x = 3 on f′ = 24, mitte 0, nagu piiratud sügavusega kasti puhul optimeerimise lehel.

$\begin{aligned}&\max_{[0,3]}f=f(3)=18\\&\min_{[0,3]}f=f(1)=-2\end{aligned}$
Vahemikus kriitilisi punkte pole 2 sammu
Leia funktsiooni f(x) = x³ + 3x absoluutsed ekstreemumid lõigul [−1, 2].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leia tuletis:
  
  $f'(x)=3x^{2}+3\ge3>0$
2. Kuna f kasvab kogu lõigul, jäävad ainsateks kandidaatideks otspunktid:
  
  $\begin{array}{c|cc}x&-1&2\\\hline f(x)&-4&14\end{array}$
Vastus

Absoluutne miinimum f(−1) = −4, absoluutne maksimum f(2) = 14.

$\begin{aligned}&\min_{[-1,2]}f=f(-1)=-4\\&\max_{[-1,2]}f=f(2)=14\end{aligned}$
Vahemike lugemine tegurdatud tuletisest 2 sammu
Funktsiooni f tuletis on f′(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 4). Millistes vahemikes f kasvab ja millised on selle kriitilised punktid?
Näita lahendust
1. Kriitilised punktid on tegurite nullkohad:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x-4)\\&f'(x)=0\ \Rightarrow\ x=-2,\ 1,\ 4\end{aligned}$
2. Ruudus olev tegur pole kunagi negatiivne ega muuda märki; ülejäänud kaks muudavad:
  
  $\begin{array}{c|ccccccc}x&&-2&&1&&4&\\\hline f'(x)&+&0&-&0&-&0&+\\f(x)&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow\end{array}$
Vastus

Kasvab vahemikes (−∞, −2) ja (4, ∞), kahaneb vahemikus (−2, 4); lokaalne maksimum kohal −2, lokaalne miinimum kohal 4 ning x = 1 pole kumbki. Funktsiooni f valemit polnudki vaja.

$-2\ \max,\qquad 1\ \neg\max,\ \neg\min,\qquad 4\ \min$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Liigita funktsiooni f(x) = x³ − 12x kriitilised punktid.

Näita vastust

lokaalne maksimum f(−2) = 16, lokaalne miinimum f(2) = −16

$f(-2)=16\ \max,\qquad f(2)=-16\ \min$
Kus funktsioon f(x) = x e^(−x) kasvab ja kahaneb?

Näita vastust

kasvab vahemikus (−∞, 1), kahaneb vahemikus (1, ∞); lokaalne maksimum f(1) = 1/e ≈ 0,3679

$f(1)=\tfrac{1}{e}\approx0{.}3679\ \max$
Leia ja liigita funktsiooni f(x) = |x² − 4| kriitilised punktid.

Näita vastust

lokaalsed miinimumid f(−2) = f(2) = 0 nurgapunktides; lokaalne maksimum f(0) = 4

$f(\pm2)=0\ \min,\qquad f(0)=4\ \max$
Liigita funktsiooni f(x) = x/(x² + 1) kriitilised punktid.

Näita vastust

lokaalne miinimum f(−1) = −1/2, lokaalne maksimum f(1) = 1/2

$f(-1)=-\tfrac{1}{2}\ \min,\qquad f(1)=\tfrac{1}{2}\ \max$
Leia funktsiooni f(x) = x⁴ − 2x² absoluutsed ekstreemumid lõigul [−2, 3].

Näita vastust

absoluutne maksimum f(3) = 63; absoluutne miinimum −1 kohtadel x = −1 ja x = 1

$\begin{aligned}&\max_{[-2,3]}f=f(3)=63\\&\min_{[-2,3]}f=f(\pm1)=-1\end{aligned}$
Leia funktsiooni f(x) = x − 2 sin x absoluutsed ekstreemumid lõigul [0, π].

Näita vastust

absoluutne miinimum f(π/3) = π/3 − √3 ≈ −0,6849; absoluutne maksimum f(π) = π

$\begin{aligned}&\min_{[0,\pi]}f=\tfrac{\pi}{3}-\sqrt{3}\approx-0{.}6849\\&\max_{[0,\pi]}f=\pi\end{aligned}$

Igas vahemikus piisab ühest proovipunktist, isegi kui f′ pole pidev

Märgitabel kontrollib tuletist f′ igas vahemikus vaid ühesainsas x-s ja usaldab seda kogu vahemiku ulatuses. See toimib, sest vahemikus eksisteeriv tuletis ei saa vahetada märki ilma nulli läbimata, kusjuures põhjus ei peitu pidevuses. Gaston Darboux tõestas 1875. aastal, et tuletis omandab mistahes kahe oma väärtuse vahel kõik vahepealsed väärtused, olgu ta ise pidev või mitte. Seega ei saa f′ hüpata väärtuselt −1 väärtusele 1 ilma nulli läbimata. Märgifunktsioon sign(x), mis teeb nullis just säärase hüppe, pole nulli ümbruses mitte ühegi funktsiooni tuletis. f′ saab märki vahetada üksnes oma nullkohtades ja punktides, kus teda pole olemas. Vali näide x⁴ − 4x³: tuletis puudutab kohal 0 nulli ilma märki vahetamata ning üksainus kontrollpunkt kummalgi pool teeb selle kohe selgeks.

Test on piisav, kuid mitte tarvilik

Tuletise f′ märgi muutus tõestab ekstreemumi olemasolu, kuid märgi püsimine ei välista seda. Vaatleme funktsiooni f(x) = x²(2 + sin(1/x)), kus f(0) = 0. Iga teine väärtus on vähemalt x², seega on punktis 0 range miinimum. Ometi võngub f′(x) = 2x(2 + sin(1/x)) − cos(1/x) ligikaudu vahemikus −1 kuni 1, ükskõik kui lähedale nullile minna: vasakul pole vahemikku, kus f kahaneks, ega paremal vahemikku, kus see kasvaks. Esimese tuletise testil pole siin midagi öelda ning teise tuletise test samuti ei aita, sest kuigi f′(0) = 0, pole tuletist f″(0) olemas. Asja lahendab definitsioon ise: võrdle väärtust f(0) otse tema naabritega.

Üksainus kriitiline punkt, lokaalne maksimum ja ühtlasi kõrgeim väärtus: ühe muutuja korral

Kui f on vahemikus pidev ja tal on täpselt üks kriitiline punkt, mis on lokaalne maksimum, siis on see vahemikus ühtlasi absoluutne maksimum. Et f saaks kusagil mujal kõrgemale tõusta, peaks ta vahepeal kahanema ja uuesti tõusma hakkama, ning nende vahele jääv suunamuutus tekitaks teise kriitilise punkti. Sama kehtib miinimumi kohta; seejuures on pidev vahemik oluline eeldus. Vali x + 4/x²: selle ainus kriitiline punkt on miinimum f(2) = 3, ometi langeb graafik nullist vasakul allapoole arvu 3. Asümptoot jaotab määramispiirkonna kaheks vahemikuks ning 2 on madalaim punkt vaid ühes neist. Kahe muutuja korral kaotab see reegel kehtivuse ka ilma katkevuseta. Funktsioonil f(x, y) = 3xeʸ − x³ − e³ʸ on üksainus kriitiline punkt (1, 0), lokaalne maksimum väärtusega 1, kuid f(−3, 0) = 17. Pinnal saab künkast mööda tõusta teist teed pidi, ilma uut tasast kohta läbimata.

Õpitee

Mida f′ ja f″ graafiku kohta ütlevad

Allikad (3)

The definition of a critical number (f′(c) = 0 or f′(c) undefined), the extreme value theorem (Theorem 4.1), Fermat's theorem (Theorem 4.2) and the strategy for absolute extrema on a closed interval that the candidates table follows: evaluate f at the ends and at the critical points inside, and compare: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.3, “Maxima and Minima”.
The first derivative test (Theorem 4.9), and Corollary 3 of the mean value theorem: f′ > 0 on an interval makes f increasing there: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.5, “Derivatives and the Shape of a Graph”.
Insight block 1: Darboux's memoir of 1875 on discontinuous functions, where a derivative is shown to take every value between any two of its values, continuous or not: G. Darboux, “Mémoire sur les fonctions discontinues”, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2e série, 4 (1875), 57–112.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Esimese tuletise test

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Igas vahemikus piisab ühest proovipunktist, isegi kui f′ pole pidev 🖖

Test on piisav, kuid mitte tarvilik 🖖

Üksainus kriitiline punkt, lokaalne maksimum ja ühtlasi kõrgeim väärtus: ühe muutuja korral 🖖

Igas vahemikus piisab ühest proovipunktist, isegi kui f′ pole pidev

Test on piisav, kuid mitte tarvilik

Üksainus kriitiline punkt, lokaalne maksimum ja ühtlasi kõrgeim väärtus: ühe muutuja korral