Optimeerimine: karp ja purk

Seal, kus otsitav suurus saavutab lae ega kasva enam, on tema muutumiskiirus null. Just nii leiab tuletis parima karbi või odavaima purgi ilma kõiki variante läbi proovimata. Muuda lõiget või raadiust ja jälgi puutuja vajumist rõhtsaks. Seejärel läbi lahendus sammhaaval, unustamata ka lubatud vahemiku otspunkte.

Ekstreemumid lõigul	$\begin{aligned}&\max_{[a,b]}f,\ \min_{[a,b]}f\\ &\quad\in\ \{\,f(a),\ f(b)\,\}\ \cup\ \{\,f(c):\ f'(c)=0\,\}\end{aligned}$

Näidisarvutus — Optimeerimine: karp ja purk

Sinu karbi ruumala, cm³	1936
Muutumiskiirus V′(x), cm³/cm	132
Parim lõige, cm	5
Parima karbi ruumala, cm³	2000
Sinu karp võrreldes parimaga	−3,2%
Suurim neist ongi otsitav vastus.	2000

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Optimeerimine: karp ja purk

Optimeerimine tuletise abil: väljenda suurus, mille suurimat või vähimat väärtust otsid, ühe muutuja funktsioonina ülesandes lubatud vahemikus, leia tuletise nullkohad ning võrdle seal saadud väärtusi väärtustega vahemiku otspunktides. Diferentseeruva funktsiooni suurim ja vähim väärtus lõigul leiduvad alati nende kandidaatide seast. Purgi raadius võib olla mis tahes positiivne arv, seega võrreldavaid otspunkte polegi. Nende asemel otsustab tuletise märk: kui see on enne kriitilist punkti kõikjal negatiivne ja pärast seda positiivne, funktsioon esmalt kahaneb ning seejärel kasvab, nii et kriitilises punktis saavutab see oma vähima väärtuse kogu vahemikus.

Mida iga sümbol tähendab

x: lehe igast nurgast väljalõigatava ruudu külg sentimeetrites
r: purgi raadius sentimeetrites; selle kõrgus tuleneb ruumalast
k: põhjamaterjali 1 cm² maksumus külgpinna 1 cm² suhtes

Eeldab: Eeldatakse, et leht on ruut ja karbil pole kaant. Purk on suletud silinder ning pleki kulu arvestatakse üksnes pindala järgi: arvesse ei võeta valtsimist, liitekohti ega pleki paksust.

Ülesanded täielikult lahendatud

Parim karp 24 cm ruudust 3 sammu
Lõika 24 cm ruutlehe nurkadest välja võrdsed ruudud ja voldi servad üles. Milline sisselõige annab suurima ruumalaga karbi ning kui palju see mahutab?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Avalda ruumala sisselõike x kaudu. Lõige ei saa ulatuda üle poole külje:
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le12$
2. Diferentseeri korrutise reegli järgi ja too ühine tegur sulgude ette:
  
  $V'(x)=(24-2x)^{2}+x\cdot2(24-2x)(-2)=(24-2x)(24-6x)$
3. Kandidaatideks sobivad mõlemad lahendid, samuti lõigu mõlemad otspunktid:
  
  $V'(x)=0\ \Rightarrow\ x=4\ \text{or}\ x=12,\qquad V(0)=V(12)=0,\qquad V(4)=4\times16^{2}=1{,}024$
Vastus

Lõika igast nurgast 4 cm. Karbi põhi on 16 cm ruut, sügavus 4 cm ja mahutavus 1 024 cm³. Lõige moodustab kuuendiku küljest, täpselt nagu iga ruudukujulise lehe puhul. Ka lahend x = 12 on kandidaat, kuid ei anna üldse karpi: külje mõlemad sisselõiked saavad kokku ega jäta põhja alles.

$x=4\ \mathrm{cm},\qquad V=1{,}024\ \mathrm{cm^{3}}$
Sama leht, sügavus kuni 3 cm 3 sammu
24 cm lehest tehtav karp peab mahtuma riiulisse, seega saab selle sügavus olla kõige rohkem 3 cm. Milline sisselõige on nüüd parim ja kas tuletis on seal null?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ruumala kirjeldab sama funktsioon, kuid lühemal lõigul:
  
  $V(x)=x\,(24-2x)^{2},\qquad 0\le x\le3$
2. Tuletise V′ mõlemad tegurid püsivad kogu lõigul positiivsed:
  
  $0\le x\le3:\qquad 24-2x\ge18>0,\quad 24-6x\ge6>0\ \Rightarrow\ V'(x)>0$
3. Seega kasvab ruumala kuni piirini välja ja parima karbi saab lõigu lõpus:
  
  $V(3)=3\times18^{2}=972,\qquad V'(3)=18\times6=108$
Vastus

Lõika 3 cm. Karp mahutab 972 cm³ ja muutumiskiirus on seal 108 cm³ sentimeetri kohta, mitte null. Võrrand V′ = 0 annab lahendi x = 4, mis on aga välistatud. Suurim väärtus asub lõigu otspunktis ja selle leiab üksnes otspunkte kontrollides.

$x=3\ \mathrm{cm},\qquad V=972\ \mathrm{cm^{3}},\qquad V'(3)=108\neq0$
Vähima metallikuluga purk 3 sammu
Kinnine silindriline purk peab mahutama 1000 cm³ ning selle põhjad lõigatakse samast lehest mis külgpind. Millise raadiuse juures kulub kõige vähem metalli ja kui kõrge see purk on?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ruumala määrab kõrguse, jättes metallikulu üksnes r funktsiooniks:
  
  $\pi r^{2}h=1000\ \Rightarrow\ h=\frac{1000}{\pi r^{2}},\qquad M(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. Võtame M′(r) = 0:
  
  $M'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=\frac{500}{\pi}\ \Rightarrow\ r=5{.}419\ \mathrm{cm}$
3. Kõrgus ja metallikulu. Sellest raadiusest allpool on M′ negatiivne ning ülalpool positiivne, seega on tegu miinimumiga:
  
  $h=\frac{1000}{\pi\times5{.}419^{2}}=10{.}84=2r,\qquad M=2\pi(5{.}419)^{2}+\frac{2000}{5{.}419}=553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
Vastus

r ≈ 5,42 cm ja h ≈ 10,84 cm: purk on sama kõrge kui lai ning selleks kulub 553,6 cm² metalli. Seos h = 2r on täpne, mitte ümarduse juhus: kui πr³ = 500, siis h = 1000/(πr²) = 2r.

$r\approx5{.}42\ \mathrm{cm},\qquad h=2r\approx10{.}84\ \mathrm{cm},\qquad M\approx553{.}6\ \mathrm{cm^{2}}$
Ruutudest stantsitud põhjad 3 sammu
Sama 1000 cm³ purk, kuid kumbki põhi stantsitakse ruudust küljega 2r ja nurgad visatakse ära. Terveid ruute arvestades: millise raadiuse juures kulub nüüd kõige vähem metalli?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Põhja iga cm² nõuab nüüd ruudu ja ringi pindalade suhte jagu materjali, 4/π, seega kaaluvad põhjad rohkem:
  
  $k=\frac{(2r)^{2}}{\pi r^{2}}=\frac{4}{\pi},\qquad M(r)=2k\pi r^{2}+\frac{2000}{r}=8r^{2}+\frac{2000}{r}$
2. Võtame M′(r) = 0:
  
  $M'(r)=16r-\frac{2000}{r^{2}}=0\ \Rightarrow\ r^{3}=125\ \Rightarrow\ r=5\ \mathrm{cm}$
3. Metallikulu ja kõrgus:
  
  $M(5)=8\times25+\frac{2000}{5}=200+400=600,\qquad h=\frac{1000}{25\pi}=12{.}73\ \mathrm{cm}$
Vastus

r = 5 cm, metallikulu 600 cm² ja purgi kõrgus 12,73 cm. Põhjadele kulub 200 cm² ja külgpinnale 400 cm² ehk pool, nagu igal parimal purgil. Kallimad põhjad teevad parima purgi kitsamaks ja kõrgemaks: 1,27 läbimõõtu, mis ongi 4/π.

$r=5\ \mathrm{cm},\qquad M=600\ \mathrm{cm^{2}},\qquad \frac{200}{400}=0{.}5$
Aed vastu seina 3 sammu
Talunikul on 60 m aeda, et rajada pika seina äärde ristkülikukujuline aedik, mille neljandaks küljeks on sein. Millised mõõtmed annavad suurima pindala?
Näita lahendust
1. Olgu seinaga risti olevate külgede pikkus x. Seinaga paralleelsele küljele jääb aeda 60 − 2x, seega sõltub pindala üksnes x-ist aia lubatud piirides:
  
  $\begin{aligned}&A(x)=x\,(60-2x)=60x-2x^{2}\\&0\le x\le30\end{aligned}$
2. Võtame A′ = 0:
  
  $A'(x)=60-4x=0\ \Rightarrow\ x=15$
3. Võrdleme tulemust otspunktidega, kus aediku pindala on null:
  
  $\begin{aligned}&A(15)=15\cdot30=450\\&A(0)=A(30)=0\end{aligned}$
Vastus

15 m seinast eemale ja 30 m piki seina, pindalaga 450 m². Seinaäärne külg on teistest kaks korda pikem. Ilma seinata oleks parim aedik 15 m küljega ruut, mille pindala on kõigest 225 m²: sein hoiab kokku terve külje jagu aeda.

$\begin{aligned}&x=15\ \mathrm{m},\quad60-2x=30\ \mathrm{m}\\&A=450\ \mathrm{m^{2}}\end{aligned}$
Punktile (3; 0) lähim punkt joonel y = √x 3 sammu
Leia kõveral y = √x punktile (3; 0) lähim punkt ning selle kaugus.
Näita lahendust
1. Kaugus punktist (3; 0) punktini (x; √x) sisaldab ruutjuurt. Kauguse ruut on vähim sealsamas, kus kaugus ise, ent ilma juureta:
  
  $\begin{aligned}D^{2}&=(x-3)^{2}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\\&=(x-3)^{2}+x,\qquad x\ge0\end{aligned}$
2. Võtame tuletise ja võrdsustame nulliga:
  
  $\dfrac{d}{dx}D^{2}=2(x-3)+1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac52$
3. Määramispiirkonnal on vaid üks otspunkt, x = 0. Teises suunas kasvab D² tõkestamatult, seega võrdleme kriitilist punkti selle otspunktiga:
  
  $D^{2}\!\left(\tfrac52\right)=\tfrac14+\tfrac52=\tfrac{11}{4},\qquad D^{2}(0)=9$
Vastus

Lähim punkt on (2,5; √2,5) ≈ (2,5; 1,5811), mille kaugus on √11/2 ≈ 1,6583. Suuruse D asemel tohib minimeerida ruutu D², sest ruutjuur on rangelt kasvav funktsioon ja mõlema miinimum saabub sama x-i juures. Diferentseerides liitfunktsiooni reegli järgi D-d ennast, saame täpselt sama x-i, ent ruutjuur oleks kaasas igal real.

$\left(\tfrac52,\ \sqrt{\tfrac52}\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx1{.}6583$
Suurima mahuga karp A4-lehest 4 sammu
A4-paberilehe mõõtmed on 21 cm ja 29,7 cm. Lõika igast nurgast ühesugune ruut, voldi küljed üles ning leia lõige, mis annab suurima ruumalaga karbi, ja selle karbi ruumala. Tööriistas on lehed ruudukujulised. Klõpsa A4 lühem külg, et näha 21 cm ruutu, mille parim lõige on 3,5 cm ja karbi ruumala 686 cm³.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Lõike x korral on põhja mõõtmed 21 − 2x ja 29,7 − 2x ning karbi sügavus x. Sulge avades saame lõigete puhul kuni pooleni lühemast küljest:
  
  $V(x)=x\,(21-2x)(29{.}7-2x)=4x^{3}-101{.}4x^{2}+623{.}7x,\qquad 0\le x\le10{.}5$
2. Diferentseerime liikmeti:
  
  $V'(x)=12x^{2}-202{.}8x+623{.}7$
3. Võrdsustame V′(x) = 0 ja kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit. Juure all on 16 × 699,39, mis lihtsustab arvutust:
  
  $x=\frac{202{.}8\mp\sqrt{202{.}8^{2}-4\cdot12\cdot623{.}7}}{24}=\frac{50{.}7\mp\sqrt{699{.}39}}{6},\qquad x_1=4{.}0423,\quad x_2=12{.}8577$
4. Teine lahend ületab 10,5 cm, kus lühem külg saab otsa, ega moodusta karpi. Kuna vahemiku mõlemas otspunktis on ruumala 0, annab parima karbi esimene lahend:
  
  $V(4{.}0423)=4{.}0423\times12{.}9153\times21{.}6153=1{,}128{.}5$
Vastus

Lõika igast nurgast 4,04 cm: karp on mõõtmetega 12,92 cm ja 21,62 cm ning sügavusega 4,04 cm, mahutades umbes 1 128,5 cm³ ehk veidi üle liitri. Lõige jääb lühema külje kuuendiku (3,5 cm) ja pikema külje kuuendiku (4,95 cm) vahele ega lange kummagagi kokku. Ristküliku a × b puhul on parim lõige (a + b − √(a² − ab + b²))/6. Ruudukujulise lehe korral taandub juur väärtusele a ning valem lihtsustub kujule L/6.

$x\approx4{.}04,\qquad V\approx1{,}128{.}5$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kahe positiivse arvu summa on 20. Millise paari korrutis on suurim?

Näita vastust

10 ja 10, korrutisega 100

$10+10=20,\qquad10\cdot10=100$
Millisel 40 cm ümbermõõduga ristkülikul on suurim pindala?

Näita vastust

10 cm küljega ruut, 100 cm²

$10\times10\ \mathrm{cm},\qquad A=100\ \mathrm{cm^{2}}$
Pealt lahtine ruutpõhjaga kast peab mahutama 32 m³. Milliste mõõtmete korral kulub kõige vähem materjali?

Näita vastust

Põhi 4 m × 4 m ja kõrgus 2 m, materjalikulu 48 m²

$4\times4\times2\ \mathrm{m},\qquad S=48\ \mathrm{m^{2}}$
Ettevõtte kasum q tooteühiku pealt on P(q) = −2q² + 120q − 1000. Milline tootmismaht maksimeerib kasumi ja kui suur see on?

Näita vastust

q = 30, kasumiga 800

$q=30,\qquad P(30)=800$
Leia joonel y = x² punktile (0; 2) lähimad punktid.

Näita vastust

(±√(3/2); 3/2), kaugusel √7/2 ≈ 1,3229. Koordinaatide alguspunkt, kus D² tuletis on samuti null, on kauguse lokaalne maksimum väärtusega 2.

$\left(\pm\sqrt{\tfrac32},\ \tfrac32\right),\qquad D=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\approx1{.}3229$
Leia avaldise x e^(−x) suurim väärtus, kui x ≥ 0.

Näita vastust

1/e ≈ 0,3679 kohal x = 1

$x=1,\qquad\max=\tfrac1e\approx0{.}3679$

Eksides parima lõikega viiendiku võrra, kaotab karp mahust umbes 3%

Parima lõike kohal on tuletis V′ null, mistõttu maksab väike eksimus õige vähe. Vajutage Parim karp ja seejärel Lõige 4 cm: 20% liiga madal lõige kaotab ruumalast 3,2%, tabeli järgi aga viib 20% liiga sügav lõige kõigest 2,8%. Ükskõik millise ruutlehe puhul kaotab eksimus murdosa δ võrra ruumalast δ²(3 − δ)/4. Ruut tuleneb sellest, et kõver on harjal rõhtne. Liige −δ aga selgitab, miks liiga sügav lõige maksab kätte pisut vähem kui liiga madal.

Sügavuspiirang viib parima karbi servale, kus puutuja tõus pole null

Vajutage Sügavus kuni 4 cm. Nüüd on lubatud vaid kuni 4 cm lõiked ja ülejäänu katab hall riba. V′ = 0 osutab endiselt 5 cm peale, mis on aga välistatud. Kogu lubatud vahemikus on V′ positiivne, nii et ruumala kasvab piirini välja: parimaks osutub 4 cm karp, kus tuletis on endiselt 132. Tingimus V′ = 0 leiab koha, kus kõver on rõhtne, ent lubatud ala servas asuv parim punkt ei pruugi seda üldse olla. Just seepärast kontrollivadki lahendussammud ka vahemiku otspunkte. 30 cm lehel seab iga alla 5 cm jääv piir just sellise tõkke; 5 cm või suurem piirang ei muuda midagi.

Vähima materjalikuluga purgil maksavad põhjad poole vähem kui külgpind

Laiendame purki pisut: otspinnad kasvavad, külg aga kahaneb. Parim raadius asub seal, kus need kaks tuletist tasakaalustuvad: 4kπr = 2V/r². Korrutades seda teguriga r/2, saame 2kπr² = V/r: otspindadele kulub täpselt pool külgpinna 2V/r maksumusest. Vajutage Ruutudest põhjad, kus iga kaas stantsitakse ruudust ja nurgad lähevad jäägiks: kaardil seisab ikka 0,5. Nii on see iga ruumala ja otsapleki mistahes hinna korral. Hind muudab hoopis kuju. Parim purk on k läbimõõdu kõrgune: sama kõrge kui lai, kui otsad on küljega samast metallist, ning 1,27 läbimõõtu ruudust stantsitud kaantega. Valest kujust ei sünni suurt kahju, täpselt nagu karbigi puhul: Kõrge purk on 1,5 läbimõõdu kõrgune ning kulutab kõigest 1,75% rohkem metalli.

Õpitee

Diferentseerimine: kuidas muutumiskiirused seostuvad

Allikad (2)

The method in the definition and in the step-through (evaluate at the endpoints, find the critical points inside the interval, compare all the values: “the absolute extrema must occur at endpoints or critical points”), the Extreme Value Theorem (Theorem 4.1) and Fermat's theorem (Theorem 4.2) behind it: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.3, “Maxima and Minima”.
The open box worked on a rectangular sheet, 24 in. by 36 in., whose best cut is x = 10 − 2√7 ≈ 4.7 in. for about 1,825 in³ (Example 4.33, the same calculation as the page's A4 worked problem), and the applied-problem strategy's step that sets the domain from the physical problem before looking for the extremum (Step 5) and the remark that locating it “typically involves looking for critical points and evaluating a function at endpoints” (Step 6): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.7, “Applied Optimization Problems”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Optimeerimine: karp ja purk

Mida iga sümbol tähendab

Lisaülesanded, ainult vastustega

Eksides parima lõikega viiendiku võrra, kaotab karp mahust umbes 3% 🖖

Sügavuspiirang viib parima karbi servale, kus puutuja tõus pole null 🖖

Vähima materjalikuluga purgil maksavad põhjad poole vähem kui külgpind 🖖

Eksides parima lõikega viiendiku võrra, kaotab karp mahust umbes 3%

Sügavuspiirang viib parima karbi servale, kus puutuja tõus pole null

Vähima materjalikuluga purgil maksavad põhjad poole vähem kui külgpind