Keskväärtusteoreem

Sisesta f ja vaadeldav lõik. Katkendlik kõõl ühendab otspunkte; lohista punkti c piki kõverat või liuguriga, kuni puutuja on kõõluga paralleelne. Alumine paneel kõrvutab tuletist f′ kõõlu tõusuga m, nii et iga c tähistab nende lõikepunkti.

Keskväärtusteoreem	$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<c<b$
Rolle'i teoreem	$f(a)=f(b)\ \Rightarrow\ f'(c)=0,\qquad a<c<b$

Näidisarvutus — Keskväärtusteoreem

f vasakpoolses otspunktis	1
f parempoolses otspunktis	9
Kõõlu tõus m	4
Sinu c	1,6
Puutuja tõus sinu punktis c	3,2

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Keskväärtusteoreem

Keskväärtusteoreem: kui f on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b), siis leidub rangelt punktide a ja b vahel vähemalt üks c, kus puutuja on kõõluga paralleelne: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a). Rolle'i teoreem on erijuht, mil f(a) = f(b) ja f′(c) = 0.

Kust valem tuleb

Kontrolli eeldusi. Funktsioon f peab olema ilma ühegi katkevuseta kogu lõigul [a, b] (kaasa arvatud otspunktides) ning tuletis peab leiduma vahemiku igas sisepunktis. Polünoomid, eˣ, sin ja cos peavad vastu igal lõigul; ole tähelepanelik nulliga jagamise, negatiivse arvu juurimise või murdepunktide (nt |x|) suhtes.
$\begin{aligned}&\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\quad(a\le x_0\le b)\\&f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad(a<x<b)\end{aligned}$
Leia kõõlu tõus. m on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe otspunktide a ja b vahel; joonisel tähistab seda katkendlik lõik.
$m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Miks selline c leidub? Kõvera ja kõõlu vahekaugus g on mõlemas otspunktis 0. Lõigul pidev funktsioon saavutab alati suurima ja vähima väärtuse; kui g pole igal pool 0, asub üks neist ekstreemumitest vahemiku sees, kus kõver on kõõlust kõige kaugemal, ning seal on g′ = 0. See tähendabki, et f′(c) = m. Joonisel vastab sellele koht, kus puutuja kulgeb kõõluga paralleelselt.
$\begin{aligned}&g(x)=f(x)-f(a)-m\,(x-a)\\&g(a)=g(b)=0\\&\Rightarrow\ g'(c)=f'(c)-m=0\end{aligned}$
Lahenda võrrand f′(c) = m ning jäta alles vaid rangelt a ja b vahele jäävad lahendid. Väljaspool vahemikku või otspunktis asuv väärtus ei ole otsitav c.
$f'(c)=m,\qquad a<c<b$

Ülesanded täielikult lahendatud

Leia c ja jäta vahemikust välja jääv lahend kõrvale 2 sammu
Näita, et funktsioon f(x) = x³ rahuldab lõigul [0, 3] keskväärtusteoreemi eeldusi, ja leia iga teoreemi lubatud c.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kuna f on polünoom, on see pidev ja diferentseeruv kõikjal. Kõõlu tõus:
  
  $m=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{27-0}{3}=9$
2. Lahendame võrrandi f′(c) = m:
  
  $3c^{2}=9\ \Rightarrow\ c=\pm\sqrt{3}$
Vastus

c = √3 ≈ 1,7321. Lahend −√3 rahuldab samuti võrrandit 3c² = 9, kuid jääb vahemikust (0, 3) välja.

$c=\sqrt{3}\approx1{.}7321$
Rolle'i teoreem: võrdsed otspunktid 2 sammu
Kontrolli Rolle'i teoreemi kehtivust funktsioonile f(x) = sin x + cos x lõigul [0, π/2].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Siinus ja koosinus on pidevad ja diferentseeruvad kõikjal. Otspunktides on väärtused võrdsed:
  
  $\begin{aligned}&f(0)=0+1=1\\&f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1+0=1\end{aligned}$
2. Kõõl on seega rõhtne ja mingis punktis c kehtib f′(c) = 0:
  
  $\begin{aligned}&\cos c-\sin c=0\\&\Rightarrow\ \tan c=1\ \Rightarrow\ c=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$
Vastus

c = π/4 ≈ 0,7854, kaare tipp.

$c=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
Kaks punkti c 2 sammu
Leia kõik keskväärtusteoreemi tagatud punktid c funktsioonile f(x) = x³ − 3x lõigul [−2, 2].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tegemist on polünoomiga, seega mõlemad eeldused kehtivad. Kõõlu tõus:
  
  $m=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1$
2. Lahendame võrrandi f′(c) = m:
  
  $3c^{2}-3=1\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$
Vastus

c = −2/√3 ≈ −1,1547 ja c = 2/√3 ≈ 1,1547. Mõlemad asuvad vahemikus (−2, 2), seega teoreemi lubatud „vähemalt üks“ tähendab siin kahte.

$c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm1{.}1547$
Eksponentfunktsioon: c leidmine logaritmi abil 2 sammu
Leia keskväärtusteoreemi antud c väärtus funktsioonile f(x) = eˣ lõigul [0, 1].

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. eˣ on pidev ja diferentseeruv kõikjal. Kõõlu tõus:
  
  $m=\frac{e^{1}-e^{0}}{1-0}=e-1$
2. Lahendame logaritmides võrrandi f′(c) = eᶜ = m:
  
  $e^{c}=e-1\ \Rightarrow\ c=\ln(e-1)$
Vastus

c = ln(e − 1) ≈ 0,5413, mis asub vahemikus (0, 1).

$c=\ln(e-1)\approx0{.}5413$
Murdepunkt vahemiku sees: punkti c ei leidu 2 sammu
Näita, et funktsioonil f(x) = |x| ei leidu vahemikus (−1, 2) sellist punkti c, kus f′(c) = (f(2) − f(−1))/3. Miks pole see vastuolus keskväärtusteoreemiga?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõõlu tõus:
  
  $m=\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$
2. Väljaspool punkti 0 on funktsiooni |x| tõus alati kas −1 või 1, mitte iial 1/3:
  
  $\begin{aligned}&f'(x)=-1\quad(x<0)\\&f'(x)=1\quad(x>0)\end{aligned}$
Vastus

Ühtki punkti c ei leidu. Funktsioonil |x| puudub tuletis kohal 0, mis asub vahemiku (−1, 2) sees; seega diferentseeruvuse eeldus ei kehti ja teoreem ei luba midagi.

$f'(c)\neq\tfrac{1}{3}\ \ \forall c\in(-1,2)$
Katkevus vahemikus: Rolle'i teoreemi järeldus ei kehti 2 sammu
Funktsioonil f(x) = 1/x² kehtib f(−1) = f(1). Kas vahemikus (−1, 1) leidub selline c, kus f′(c) = 0? Põhjenda.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Väärtused otspunktides on võrdsed, seega on kõõl rõhtne:
  
  $f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1=f(1),\qquad m=0$
2. Kuid tuletis f′ ei ole kunagi 0:
  
  $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\neq0\ \ (x\neq0)$
Vastus

Ei leidu. Funktsioon f ei ole kohal 0 määratud ega ole seetõttu lõigul [−1, 1] pidev. Rolle'i teoreem ei kohaldu ning selle järeldus ei kehti.

$f'(c)\neq0\ \ \forall c\in(-1,1)$
Tuletise puudumine otspunktis: teoreem kehtib ikkagi 2 sammu
Kas keskväärtusteoreem kehtib funktsioonile f(x) = √x lõigul [0, 4]? Kui jah, siis leia c.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Funktsioon √x on pidev lõigul [0, 4] ja diferentseeruv vahemikus (0, 4). Tuletist f′(0) küll ei eksisteeri, ent otspunktilt seda ei nõutagi. Kõõlu tõus:
  
  $m=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{0}}{4-0}=\frac{1}{2}$
2. Lahendame võrrandi f′(c) = m:
  
  $\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sqrt{c}=1\ \Rightarrow\ c=1$
Vastus

Jah; c = 1.

$c=1$
Keskmine kiirus kahe kaamera vahel 2 sammu
Auto möödub esimesest kiiruskaamerast ning 6 minutit hiljem teisest kaamerast 12 km kaugusel mööda teed. Piirkiirus on 100 km/h. Näita, et mingil hetkel nende vahel oli auto kiirus täpselt 120 km/h.
Näita lahendust
1. Olgu s(t) läbitud vahemaa kilomeetrites pärast t tundi. Auto liigub hüpeteta ning kiirus on määratud igal ajahetkel, seega on funktsioon s pidev ja diferentseeruv. Keskmine kiirus 0,1 h jooksul vastab kõõlu tõusule:
  
  $\frac{s(0{.}1)-s(0)}{0{.}1-0}=\frac{12}{0{.}1}=120\ \mathrm{km/h}$
2. Keskväärtusteoreemi kohaselt oli mingil ajahetkel c kaamerate vahel hetkekiirus s′(c) sellega võrdne:
  
  $s'(c)=120\ \mathrm{km/h},\qquad 0<c<0{.}1$
Vastus

Mingil ajahetkel oli kiirus täpselt 120 km/h, seega ületas auto kiirust isegi siis, kui kumbki kaamera seda eraldi ei tabanud.

$s'(c)=120\ \mathrm{km/h}>100\ \mathrm{km/h}$
Funktsiooni f tõke tuletise f′ tõkke kaudu 2 sammu
Funktsioon f on diferentseeruv, f(1) = 10 ja f′(x) ≤ 3 iga x korral. Kui suur saab maksimaalselt olla f(5)?
Näita lahendust
1. Lõigul [1, 5] annab keskväärtusteoreem punkti c, mille korral kehtib:
  
  $\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=f'(c),\qquad 1<c<5$
2. Kuna f′(c) ≤ 3, siis:
  
  $f(5)=f(1)+4f'(c)\le10+4\cdot3=22$
Vastus

f(5) ≤ 22 ning funktsioon f(x) = 3x + 7 saavutab selle.

$f(5)\le22$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia c funktsioonile f(x) = x² − 4x + 1 lõigul [0, 5].

Näita vastust

c = 2,5

$c=\frac{5}{2}$
Kontrolli Rolle'i teoreemi kehtivust funktsioonile f(x) = x³ − 4x lõigul [0, 2] ning leia c.

Näita vastust

c = 2/√3 ≈ 1,1547

$c=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1{.}1547$
Leia c funktsioonile f(x) = ln x lõigul [1, e].

Näita vastust

c = e − 1 ≈ 1,7183

$c=e-1\approx1{.}7183$
Leia c funktsioonile f(x) = 1/x lõigul [1, 3].

Näita vastust

c = √3 ≈ 1,7321

$c=\sqrt{3}\approx1{.}7321$
Kas keskväärtusteoreem kehtib funktsioonile f(x) = |x − 2| lõigul [0, 3]? Kas leidub sobiv c?

Näita vastust

Ei: murdepunkt kohal x = 2; kõõlu tõus on −1/3 ja f′ saab olla vaid ±1, seega c puudub

$f'(x)=\pm1\neq-\frac{1}{3}$
f(0) = 5 ja f′(x) ≥ −2 iga x korral. Mis on funktsiooni f(6) vähim võimalik väärtus?

Näita vastust

−7

$f(6)\ge-7$

Otspunktid võivad tõrkuda, vahemik mitte

Klõpsa √x lõigul [0, 4]. Kohal 0 tõuseb joon teljelt püstloodis ja f′(0) puudub, ometi on c = 1 kenasti olemas: puutuja tõusuga 1/2 on kõõluga paralleelne. Klõpsa nüüd |x| lõigul [−1, 2]. Kõõlu tõus on 1/3, iga puutuja tõus kas −1 või 1 ning ühtki c-d ei leidu. Kogu erinevus peitub tõrkuva punkti asukohas. Teoreem tõotab punkti c üksnes rangelt punktide a ja b vahel ning vajab tuletist vaid seal; otspunktis võib see puududa. Küll aga ei tohi funktsioon otspunktis katkeda, sest muidu ühendaks kõõl vale punkti. Pidevust nõutakse suletud lõigult, diferentseeruvust lahtiselt vahemikult — ning just seetõttu ongi sõnastuses kahte sorti sulud.

Teoreem iga + C taga

Eksamitel küsitakse punkti c harva. Teoreemi tegelik kaal peitub tema tõestusjõus. Kui vahemiku igas punktis kehtib f′(x) = 0, on iga kõõlu tõus võrdne mõne puutuja tõusuga ehk nulliga; järelikult omandab f mistahes kahes punktis sama väärtuse ning funktsioon on konstantne. Ühe ja sama funktsiooni kahe algfunktsiooni vahe tuletis on 0, mistõttu erinevad nad vahemikus vaid konstandi poolest. See ongi tuttav liige + C — ja see on teoreem, mitte kokkulepe. Nõue, et tegemist oleks vahemikuga, on seejuures määrav: funktsiooni 1/x algfunktsiooniks sobib ka ln|x| + 1 piirkonnas x < 0 koos avaldisega ln|x| − 3 piirkonnas x > 0, sest ükski vahemik üle nulli ei ulatu. Sama mõttekäik eeldusega f′ > 0 ütleb, et iga kõõl tõuseb ja funktsioon f kasvab, mis ongi järgmise lehekülje aluseks.

Parabooli puhul on c alati keskpunkt

Klõpsa x² lõigul [1, 3]: c = 2, täpselt keskel. See pole arvude juhuslik kokkusattumus. Funktsiooni f(x) = px² + qx + r puhul annab kõõlu tõus alati tulemuseks p(a + b) + q, mis on igal lõigul täpselt f′ kohal (a + b)/2. Liikumise keelde panduna tähendab see, et ühtlase kiirenduse korral võrdub keskmine kiirus teatud ajavahemikus hetkekiirusega selle täpses keskpunktis. William Heytesbury sõnastas selle reegli Oxfordis juba 1330. aastatel ning Galilei tugines sellele kolm sajandit hiljem vabalangemist kirjeldades. Kuupfunktsioon sellele seaduspärale ei allu: klõpsa x³ lõigul [0, 3] ning c = √3 ≈ 1,7321, mitte 1,5.

Õpitee

Mida f′ ja f″ graafiku kohta ütlevad

Allikad (2)

Rolle's theorem (Theorem 4.4) and the mean value theorem (Theorem 4.5) with their hypotheses, continuity on [a, b] and differentiability on (a, b); and the corollaries insight block 2 is about: a zero derivative on an interval means a constant (4.6), equal derivatives differ by a constant (4.7), and f′ > 0 means increasing (4.8): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.4, “The Mean Value Theorem”.
Insight block 3: William Heytesbury formulated the middle degree theorem (the mean speed theorem) for uniformly accelerated motion in his Regulae solvendi sophismata; his extant writings date from the 1330s, and the theorem was later developed by Galileo: M. Hanke and E. Jung, “William Heytesbury”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, first published 19 January 2018, revised 19 June 2026.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Keskväärtusteoreem

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Otspunktid võivad tõrkuda, vahemik mitte 🖖

Teoreem iga + C taga 🖖

Parabooli puhul on c alati keskpunkt 🖖

Otspunktid võivad tõrkuda, vahemik mitte

Teoreem iga + C taga

Parabooli puhul on c alati keskpunkt