Trigonomeetriliste samasuste tõestamine

Sisesta tõestatav väide kujul vasak pool ≡ parem pool ning kirjuta lahenduskäik üks rida korraga, nii et iga avaldis võrduks eelmisega. Iga sammu kontrollitakse 64 nurgal üle terve täispöörde. Kui read langevad kokku igal nurgal, kus mõlemad on määratud, kuvatakse linnuke. Esimese lahknevuse korral ilmub rist koos nurga väärtusega ning hoiatus annab märku, kui avaldis pole määratud seal, kus algne väide oli määratud. Klahvid võimaldavad sisestada funktsioone, astmeid ja juuri.

Siinusteks ja koosiinusteks	$\begin{gathered}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}\end{gathered}$
Siinuse ja koosiinuse ruudud	$\begin{gathered}\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\\ 1+\tan^{2}x=\sec^{2}x\end{gathered}$
1 ± sin x nimetajas	$(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^{2}x$
Kahe ruudu vahe	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Algväärtused — Trigonomeetriliste samasuste tõestamine

Vasak pool	tan x + cot x
Parem pool	sec x csc x

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Trigonomeetriliste samasuste tõestamine

Samasuse tõestamine tähendab näitamist, et kaks avaldist on võrdsed kõigil nurkadel, kus mõlemad on määratud, liikudes võrdsete avaldiste ahelana ühelt poolelt teiseni.

Kust valem tuleb

Alusta keerukamast poolest, enamasti sellest, kus on rohkem liikmeid, murde või liit- ja kahekordseid nurki: seal on rohkem lihtsustamisvõimalusi.
$\tan x+\cot x=\cdots=\sec x\csc x$
Avalda siinuste ja kossiinuste kaudu, kui tegemist on funktsioonidega tan, sec, csc või cot: tan x = sin x/cos x ning vastavad pöördväärtused.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\quad\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad\csc x=\frac{1}{\sin x}$
Kasuta tuttavaid algebratehteid: ühine nimetaja, ruutude vahe või lugeja ja nimetaja korrutamine kaasavaldisega 1 − sin x, et saada 1 − sin²x.
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),\qquad(1+\sin x)(1-\sin x)=1-\sin^{2}x$
Asenda tuntud põhisamasustega: sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x ning liit- ja kahekordse nurga valemid.
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\qquad1+\tan^{2}x=\sec^{2}x,\qquad1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$
Lõpeta teisel poolel täpselt selle esialgsel kujul. Iga rida võrdub eelmisega seal, kus mõlemad on määratud; nõnda võrdub esimene avaldis viimasega, eeldusel et ükski vahepealne rida pole määramata seal, kus esialgne väide on määratud. Ära võta võrduse mõlemat poolt ruutu: ruutuvõtmine kaotab märgi ning väärast seosest võib saada näiliselt tõene.
$f_{0}=f_{1}=f_{2}=\cdots=f_{n}\ \Rightarrow\ f_{0}\equiv f_{n}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Siinuste ja kossiinuste kaudu 3 sammu
Tõesta, et tan x + cot x ≡ sec x csc x.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kirjuta vasak pool siinuste ja kossiinuste kaudu:
  
  $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$
2. Liida murrud ühisele nimetajale sin x cos x:
  
  $=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}$
3. Lugeja on 1 ning pöördväärtused viivad lahenduseni:
  
  $=\frac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\csc x$
Vastus

tan x + cot x ≡ sec x csc x igal pool, kus sin x ja cos x ei võrdu nulliga. Leht kinnitab seda kõigil 64 kontrollnurgal.

$\tan x+\cot x\equiv\sec x\csc x$
Ruutude vahe 2 sammu
Tõesta, et cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. cos⁴x − sin⁴x on avaldiste cos²x ja sin²x ruutude vahe:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)$
2. Teine sulg on 1 ja esimene annab kahekordse nurga valemi:
  
  $=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cdot1=\cos2x$
Vastus

cos⁴x − sin⁴x ≡ cos 2x iga x korral.

$\cos^{4}x-\sin^{4}x\equiv\cos2x$
Kaasavaldisega korrutamine 2 sammu
Tõesta, et (1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Korruta lugejat ja nimetajat avaldisega 1 − sin x, et lugejasse tekiks ruutude vahe:
  
  $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{1-\sin^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}$
2. 1 − sin²x = cos²x ning üks cos x taandub välja:
  
  $=\frac{\cos^{2}x}{\cos x\,(1-\sin x)}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Vastus

(1 + sin x)/cos x ≡ cos x/(1 − sin x) igal pool, kus cos x ≠ 0 ja sin x ≠ 1.

$\frac{1+\sin x}{\cos x}\equiv\frac{\cos x}{1-\sin x}$
Liitnurk ja kahekordne nurk koos 3 sammu
Tõesta, et sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta 3x kujul 2x + x ja kasuta liitnurga valemit:
  
  $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$
2. Rakenda kahekordse nurga valemeid, valides cos 2x jaoks kuju, milles on ainult siinused:
  
  $=2\sin x\cos^{2}x+(1-2\sin^{2}x)\sin x$
3. Asenda cos²x avaldisega 1 − sin²x ning koonda sarnased liikmed:
  
  $=2(1-\sin^{2}x)\sin x+\sin x-2\sin^{3}x=3\sin x-4\sin^{3}x$
Vastus

sin 3x ≡ 3 sin x − 4 sin³x iga x korral.

$\sin3x\equiv3\sin x-4\sin^{3}x$
Väär väide ja selle murdumiskoht 3 sammu
Kas √(1 − cos²x) = sin x on samasus? Kui mitte, nimeta nurk, kus see ei kehti, ja esita õige kuju.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Esimene samm on tõene samasus:
  
  $\sqrt{1-\cos^{2}x}=\sqrt{\sin^{2}x}$
2. Ruudu ruutjuur on arvu absoluutväärtus, mitte arv ise:
  
  $\sqrt{\sin^{2}x}=|\sin x|$
3. Seega ei kehti väide seal, kus sin x < 0. Lehe esimene kontrollnurk, kus see murdub:
  
  $x=264{.}98^{\circ}:\quad|\sin x|=0{.}9962,\qquad\sin x=-0{.}9962$
Vastus

Ei ole. Seos ei kehti vahemikus 180° < x < 360°, näiteks nurga 264,98° juures, kus pooled on 0,9962 ja −0,9962. Kehtiv samasus on √(1 − cos²x) = |sin x|.

$\sqrt{1-\cos^{2}x}\equiv|\sin x|$
Tõesta ja seejärel lahenda 3 sammu
Tõesta, et (1 − cos 2x)/sin 2x ≡ tan x, ning lahenda selle abil võrrand (1 − cos 2x)/sin 2x = √3 vahemikus 0° < x < 360°.
Näita lahendust
1. Kasuta cos 2x kuju, millega 1 − cos 2x taandub üheks liikmeks, ning kahekordse nurga siinuse valemit:
  
  $\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\frac{1-(1-2\sin^{2}x)}{2\sin x\cos x}=\frac{2\sin^{2}x}{2\sin x\cos x}=\tan x$
2. Võrrand saab kuju tan x = √3, tangensi perioodiga 180°:
  
  $\tan x=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ x=60^{\circ},\quad x=60^{\circ}+180^{\circ}=240^{\circ}$
3. Kontrolli, et mõlemal nurga väärtusel kehtiks sin 2x ≠ 0, tagades vasaku poole määratuse:
  
  $\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0,\qquad\sin480^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ne0$
Vastus

x = 60° või x = 240°.

$x=60^{\circ},\ 240^{\circ}$
Leia viga 2 sammu
Õpilane kirjutab cos⁴x − sin⁴x = (cos²x − sin²x)² = cos 2x. Leia viga.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Esimesel sammul võetakse ruutude vahe asemel vahe ruut:
  
  $\cos^{4}x-\sin^{4}x\ \ne\ (\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}$
2. Need kaks ei ole võrdsed. Nurga 42,49° juures (lehe esimene tõrkekoht):
  
  $x=42{.}49^{\circ}:\quad\cos^{4}x-\sin^{4}x=0{.}0874,\qquad(\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{2}=0{.}0076$
Vastus

1. samm on vale: a² − b² = (a − b)(a + b), mitte (a − b)². Tehte tegelik tulemus on cos²2x, mistõttu lahenduskäik ei tõesta midagi, kuigi väide ise peab paika.

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\ne(a-b)^{2}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Tõesta, et 1/(1 − sin x) + 1/(1 + sin x) ≡ 2 sec²x.

Näita vastust

Ühine nimetaja 1 − sin²x = cos²x; lugejate summaks tuleb 2.

$\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=\frac{2}{1-\sin^{2}x}=\frac{2}{\cos^{2}x}=2\sec^{2}x$
Tõesta, et (sin x + cos x)² ≡ 1 + sin 2x.

Näita vastust

Ava sulud: sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x.

$(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x$
Tõesta, et sec⁴x − tan⁴x ≡ sec²x + tan²x.

Näita vastust

Tegurda kujule (sec²x − tan²x)(sec²x + tan²x), kusjuures sec²x − tan²x = 1.

$\sec^{4}x-\tan^{4}x=(\sec^{2}x-\tan^{2}x)(\sec^{2}x+\tan^{2}x)=\sec^{2}x+\tan^{2}x$
Tõesta, et cot x − tan x ≡ 2 cot 2x.

Näita vastust

Nimetaja sin x cos x korral on lugeja cos²x − sin²x = cos 2x ning sin x cos x = ½ sin 2x.

$\cot x-\tan x=\frac{\cos2x}{\tfrac12\sin2x}=2\cot2x$
Kas sin x/(1 + cos x) ≡ (1 − cos x)/sin x?

Näita vastust

Jah, kõigil nurkadel, kus mõlemad pooled on määratud: korruta parema poole lugejat ja nimetajat avaldisega 1 + cos x.

$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x\,(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$
Kas cos x = √(1 − sin²x) on samasus?

Näita vastust

Ei ole: see ei kehti, kui cos x < 0, näiteks nurga 120° juures, kus vasak pool on −1/2 ja parem 1/2.

$x=120^{\circ}:\quad\cos x=-\tfrac12,\quad\sqrt{1-\sin^{2}x}=\tfrac12$

Kokkulangevus üksikutel nurkadel on vihje, mitte tõestus

Vajuta nupule √(1 − cos²x) = sin x? ja katseta nurkadega 30°, 45°, 60°, 90° või 150° — just neil tavapärastel kontrollnurkadel langevad mõlemad pooled alati kokku. Ometi on väide väär. Lehe esimene lahknevusnurk on 264,98°, kus vasak pool annab 0,9962 ja parem −0,9962. Ruutjuur ei ole kunagi negatiivne, samas kui sin x on negatiivne kogu III ja IV veerandis. Piirdudes vaid esimese poolringiga, kus siinus on positiivne, ei märkaks viga keegi. Seetõttu jaotabki leht oma 64 kontrollnurka üle terve täispöörde. Tõene on hoopis võrdus √(1 − cos²x) = |sin x|.

Mõlema poole ruutuvõtmine võib väära samasuse näiliselt tõestada

See väärväide elab üle ainsa tehte, mida ei saa enam tagasi pöörata. Kui võtta võrduse √(1 − cos²x) = sin x mõlemad pooled ruutu, saame 1 − cos²x = sin²x, mis kehtib eranditult iga nurga korral. Ruutuvõtmine aga kaotab vahe sin x ja −sin x vahel. Tõene tulemus ruutude ahela lõpus ei räägi alguse kohta midagi: ka valest võrdusest −1 = 1 saab ruutu võttes 1 = 1. Just seepärast liigub "tõesta, et"-tüüpi arutluskäik vaid ühes suunas, ühelt poolelt teisele, kus iga rida võrdub rangelt eelmisega. Iga võrdusmärk kinnitab seost ühe ja sama arvu kohta ning järeldused kanduvad katkematult vasakult paremale.

Täisarvkordsete nurkade korral on piisav hulk kontrollpunkte juba tõestus

Leidub siiski olukord, kus nurkade kontrollimine annab täieõigusliku tõestuse. Kui nurkade x, 2x, …, nx siinuste ja kossiinuste summa (astme n trigonomeetriline polünoom) pole läbivalt null, on tal ühel täispöördel ülimalt 2n nullkohta. Seades igale ühikringjoone punktile nurgaga x vastavusse muutuja z, saab sellest 2n-astme polünoom jagatuna liikmega zⁿ, ning sellisel polünoomil on ülimalt 2n juurt. Niisiis, kui kaks taolist avaldist langevad täispöördel kokku 2n + 1 erineva nurga all, on nad identsed igal pool. Murdude korral taandub asi samale põhimõttele niipea, kui nimetajad on läbi korrutatud. Seega kinnitab kokkulangevus lehe kõigil 64 kontrollnurgal (ümardusvigu arvestamata) iga seose, mille aste pärast nimetajatest vabanemist ei ületa 31. Ruutjuured ja absoluutväärtused jäävad sellest loogikast välja — ning just seal varitsebki meie esimese ploki väide.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (1)

The method the lesson states: work on one side, usually the more complex one; factor, square a binomial or add fractions; failing that, convert to sines and cosines: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Trigonomeetriliste samasuste tõestamine

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kokkulangevus üksikutel nurkadel on vihje, mitte tõestus 🖖

Mõlema poole ruutuvõtmine võib väära samasuse näiliselt tõestada 🖖

Täisarvkordsete nurkade korral on piisav hulk kontrollpunkte juba tõestus 🖖

Kokkulangevus üksikutel nurkadel on vihje, mitte tõestus

Mõlema poole ruutuvõtmine võib väära samasuse näiliselt tõestada

Täisarvkordsete nurkade korral on piisav hulk kontrollpunkte juba tõestus