Kahekordse nurga valemid

Määra nurk A kraadides või eksamiülesannete eeskujul funktsiooni väärtuse ja veerandi järgi. Poolringi kolmnurk näitab pikkustena suurusi sin 2A, 1 + cos 2A ja 1 − cos 2A ning nurga 7,5° täiskordsetel arvutab tabel need välja täpsete juuravaldistena. Töörežiim „Võrrandid“ lahendab vahemikus võrrandeid, kus cos 2x või sin 2x seisab vastamisi funktsiooniga sin x või cos x, tehes seda täpselt eksamil nõutaval kujul.

Siinus	$\sin2A=2\sin A\cos A$
Koosinus kolmel kujul	$\begin{aligned}\cos2A&=\cos^{2}A-\sin^{2}A\\&=2\cos^{2}A-1\\&=1-2\sin^{2}A\end{aligned}$
Tangens	$\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$

Näidisarvutus — Kahekordse nurga valemid

Kahekordne nurk	60°
Nurga A siinus	0,5
Nurga A koosinus	0,866
Nurga 2A siinus	0,866
Nurga 2A koosinus kolmel kujul	0,5
Nurga 2A tangens	1,7321
Nurga A tangens nurga 2A kaudu	0,5774
Nurga 2A koosinuse täpne väärtus	1/2

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kahekordse nurga valemid

Kahekordse nurga valemid annavad väärtused sin 2A, cos 2A ja tan 2A nurga A funktsioonide kaudu; teistpidi loetuna on need poolnurga valemid.

Kust valem tuleb

Võta liitmisvalemites B = A. Siinuse kaks korrutist saavad võrdseks ning koosinuse avaldisest saab ruutude vahe.
$\sin2A=2\sin A\cos A,\qquad\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A$
Asenda üks ruut teisega seose sin²A + cos²A = 1 abil. Nii tekib veel kaks koosinuse cos 2A kuju: üks üksnes koosinuse ja teine üksnes siinuse kaudu.
$\cos2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$
Tangensi leidmiseks jaga siinus koosinusega. Murru lugeja ja nimetaja jagamine avaldisega cos²A eeldab, et cos A ≠ 0, ning tulemusel puudub väärtus siis, kui tan²A = 1 ehk parajasti seal, kus cos 2A = 0.
$\tan2A=\frac{2\sin A\cos A}{\cos^{2}A-\sin^{2}A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$
Poolnurga leidmiseks loe koosinuse valemeid tagurpidi. Need annavad avaldised suurustele cos²A ja sin²A; ruutjuure ees oleva märgi määrab funktsiooni cos A või sin A märk nurga A veerandis – seda ei otsusta ükski valem sinu eest.
$\cos^{2}A=\frac{1+\cos2A}{2},\qquad\sin^{2}A=\frac{1-\cos2A}{2}$
Jäta võrrandisse alles vaid üks funktsioon. Kui võrrandis on sin x, kirjuta cos 2x kujul 1 − 2sin²x; kui cos x, siis kujul 2cos²x − 1. Avaldise sin 2x kõrval too ühine tegur sulgude ette ja ära mitte kunagi sellega läbi jaga.
$\cos2x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0,\qquad\sin2x=\cos x\ \Rightarrow\ \cos x\,(2\sin x-1)=0$

Ülesanded täielikult lahendatud

Kahekordne nurk tangensi ja veerandi kaudu 4 sammu
tan A = 3/4 ja 180° < A < 270°. Leia sin 2A, cos 2A ja tan 2A ning tee kindlaks nurga 2A veerand.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Küljepikkustega 3-4-5 kolmnurk annab väärtuste arvväärtused; III veerandis on nii siinus kui ka koosinus negatiivsed:
  
  $\sin A=-\tfrac{3}{5},\qquad\cos A=-\tfrac{4}{5}$
2. Kahekordse nurga valemid. Siinuse valemis taanduvad kaks miinusmärki välja:
  
  $\begin{aligned}\sin2A&=2\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{24}{25}\\ \cos2A&=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}\end{aligned}$
3. Tangensi valem vajab üksnes väärtust tan A:
  
  $\tan2A=\frac{2\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{9}{16}}=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}$
4. Nurk 2A jääb vahemikku 360° kuni 540° ning kuna siinus ja koosinus on mõlemad positiivsed, asub see ühe täispöörde võrra edasi I veerandis:
  
  $360^{\circ}<2A<540^{\circ},\qquad\sin2A>0,\quad\cos2A>0$
Vastus

sin 2A = 24/25 = 0,96, cos 2A = 7/25 = 0,28, tan 2A = 24/7 ≈ 3,4286 ja 2A ≈ 433,7398° asub I veerandis.

$\sin2A=\tfrac{24}{25},\quad\cos2A=\tfrac{7}{25},\quad\tan2A=\tfrac{24}{7}$
Täpne väärtus poolnurga valemist 3 sammu
Arvuta nurga cos 30° abil täpselt cos 15° ning näita, et see võrdub avaldisega (√6 + √2)/4.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võtame valemi cos 2A = 2cos²A − 1 pöördkujul, kus A = 15°:
  
  $\cos^{2}15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
2. Kuna 15° on teravnurk, võtame positiivse ruutjuure:
  
  $\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
3. Võrdlemiseks võtame liitmisvalemitest saadud vastuse ruutu. Mõlemad arvud on positiivsed, seega ruutude võrdsusest järeldub arvude endi võrdsus:
  
  $\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
Vastus

cos 15° = √(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{.}9659$
Tangensi täpne väärtus ruutvõrrandi kaudu 3 sammu
Leia seose tan 45° = 1 ja valemi tan 2A abil täpselt tan 22,5°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asendame t = tan 22,5° kahekordse nurga valemisse, kus 2A = 45°:
  
  $\frac{2t}{1-t^{2}}=1\ \Rightarrow\ t^{2}+2t-1=0$
2. Lahendame ruutvõrrandi:
  
  $t=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$
3. Kuna 22,5° on teravnurk, on selle tangens positiivne; teine lahend −1 − √2 on tan 112,5°, mille kahekordse nurga tangens on samuti 1. Poolringi kolmnurk annab sama arvu teisel teel:
  
  $\tan22{.}5^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
Vastus

tan 22,5° = √2 − 1 ≈ 0,4142.

$\tan22{.}5^{\circ}=\sqrt{2}-1\approx0{.}4142$
Koosinuse cos 2x kuju valik 3 sammu
Lahenda võrrand cos 2x = sin x vahemikus 0° ≤ x < 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kuna teine liige on siinus, valime avaldise cos 2x kuju, mis sisaldab ainult siinust:
  
  $1-2\sin^{2}x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0$
2. Tegurdame selle kui ruutvõrrandi funktsiooni sin x suhtes:
  
  $(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=\tfrac{1}{2},\quad\sin x=-1$
3. sin x = 1/2 nurkade 30° ja 180° − 30° korral; sin x = −1 ainult nurga 270° korral:
  
  $x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Vastus

x = 30°, 150° või 270°. Kuju cos²x − sin²x oleks jätnud ühte võrrandisse korraga nii koosinuse kui ka siinuse.

$x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Tegurda, ära jaga läbi 3 sammu
Lahenda võrrand sin 2x = cos x vahemikus 0° ≤ x < 360°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Avaldame sin 2x ja viime kõik liikmed ühele poole:
  
  $2\sin x\cos x-\cos x=0$
2. Liige cos x esineb mõlemas liidetavas. Toome selle sulgude ette:
  
  $\cos x\,(2\sin x-1)=0$
3. Korrutis on null siis, kui vähemalt üks tegur on null:
  
  $\cos x=0:\ x=90^{\circ},\ 270^{\circ},\qquad\sin x=\tfrac{1}{2}:\ x=30^{\circ},\ 150^{\circ}$
Vastus

x = 30°, 90°, 150° või 270°. Kohe alguses avaldisega cos x läbi jagades jääks alles vaid 30° ja 150°: see eeldaks, et cos x ≠ 0, ning kaotaks just need lahendid, kus cos x = 0.

$x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Ruudu teisendamine kahekordseks nurgaks integraali leidmisel 3 sammu
Avalda sin²x funktsiooni cos 2x kaudu ja leia selle abil funktsiooni sin²x integraali täpne väärtus rajades 0 kuni π/2.
Näita lahendust
1. Avaldame seosest cos 2x = 1 − 2sin²x:
  
  $\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos2x$
2. Mõlemal liikmel on nüüd tuttav algfunktsioon:
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}$
3. Kuna sin π = sin 0 = 0, loeb vaid liige x/2:
  
  $=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$
Vastus

Integraali väärtus on π/4 ≈ 0,7854 ehk pool integreerimislõigu pikkusest, sest funktsiooni sin²x keskväärtus sellel lõigul on 1/2.

$\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
Poolnurga samasuse tõestamine 3 sammu
Tõesta, et sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A igal pool, kus mõlemad pooled on määratud, ning kontrolli seda väärtusel A = 30°.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Asendame kumbagi kahekordse nurga funktsiooni kujuga, mis võimaldab tegurdada:
  
  $\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\frac{2\sin A\cos A}{1+(2\cos^{2}A-1)}=\frac{2\sin A\cos A}{2\cos^{2}A}$
2. Taandame teguri 2 cos A, mis on nullist erinev igal pool, kus tan A on määratud:
  
  $=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$
3. Kui A = 30°:
  
  $\frac{\sin60^{\circ}}{1+\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^{\circ}$
Vastus

sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A; nurga 30° korral on mõlema poole väärtus √3/3 ≈ 0,5774. Poolringis kujutab see punkti P kõrguse suhet diameetri pikemasse lõiku.

$\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A$

Lisaülesanded, ainult vastustega

tan A = 2 ja A on teravnurk. Leia tan 2A.

Näita vastust

−4/3

$\tan2A=-\tfrac{4}{3}$
Lahenda võrrand cos 2x + 3 cos x + 2 = 0, kui 0° ≤ x < 360°.

Näita vastust

x = 120°, 180° või 240°

$x=120^{\circ},\ 180^{\circ},\ 240^{\circ}$
Lahenda võrrand sin 2x = sin x, kui 0° ≤ x < 360°.

Näita vastust

x = 0°, 60°, 180° või 300°

$x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}$
Leia funktsiooni sin 22,5° täpne väärtus.

Näita vastust

√(2 − √2)/2 ≈ 0,3827

$\sin22{.}5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
cos A = 1/3 ja A asub IV veerandis. Leia funktsioonide sin 2A ja cos 2A täpsed väärtused.

Näita vastust

sin 2A = −4√2/9 ≈ −0,6285, cos 2A = −7/9

$\sin2A=-\tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad\cos2A=-\tfrac{7}{9}$
Näita, et cos 3A = 4cos³A − 3cos A.

Näita vastust

Kasuta seost cos(2A + A) = cos 2A cos A − sin 2A sin A, asenda 2cos²A − 1 ja 2 sin A cos A ning seejärel sin²A = 1 − cos²A.

$\cos3A=4\cos^{3}A-3\cos A$

Kahekordse nurga valemid peituvad ühesainsas poolringi kolmnurgas

Ühendame diameetri otspunktid W ja E ringjoone punktiga P, mis asub nurga 2A all. Kõõl WP väljub punktist W nurga A all, mis on pool kesknurgast: Eukleidese lause järgi on samale kaarele toetuv piirdenurk alati pool kesknurgast („Elemendid“ III.20). Kolmnurk WPE on täisnurkne tipus P (III.31) ja selle hüpotenuusiks on diameeter pikkusega 2, seega WP = 2 cos A ja EP = 2 sin A. Mõõdame nüüd lõigud ära. Punkti P kõrgus on WP · sin A ehk 2 sin A cos A, mis võrdub ühtlasi väärtusega sin 2A. Punkti P ristprojektsioon F jaotab diameetri kaheks osaks: WF = WP · cos A = 2cos²A ning FE = EP · sin A = 2sin²A, mis vastavad pikkustele 1 + cos 2A ja 1 − cos 2A. Kõrguse suhe lõiguga WF annab tan A = sin 2A/(1 + cos 2A) – poolnurga valemi otse jooniselt, ilma ainsagi algebrareata. Kui A ületab 90°, suundub kõõl WP teisele poole ja 2 cos A muutub negatiivseks; iga korrutis kannab oma märgi ise kaasas, mistõttu kõik need seosed peavad paika eranditult iga nurga korral.

Läbijagamine avaldisega cos x heidab pooled lahendid minema

Vajuta nupule sin 2x = cos x. Kujul 2 sin x cos x = cos x lausa kutsub see tegurit cos x taandama, ja seosest 2 sin x = 1 saamegi 30° ning 150°. Ometi leiab leht neli lahendit: lisaks tulevad 90° ja 270°, kus cos x = 0 ja võrrandi mõlemad pooled võrduvad nulliga. Taandamine tähendas läbijagamist, mida tohib teha vaid siis, kui jagaja pole null; see samm heitis ettevaatamatult kõrvale just need lahendid, mis kaotsi läksid. Selle asemel vii kõik liikmed ühele poole ja too ühine tegur sulgude ette, cos x(2 sin x − 1) = 0: korrutis on null siis, kui vähemalt üks tegur on null. Sama lõks varitseb võrrandis sin 2x = sin x, mis kaotab lahendid 0° ja 180°.

Funktsiooni sin²x keskväärtus on pool, mistõttu võrgupinge jääb tipust allapoole

Loeme seost cos 2x = 1 − 2sin²x teisipidi: sin²x = 1/2 − (1/2) cos 2x. Siinuslaine ruut on samuti siinuslaine, ent kaks korda kiirem ja poole madalam, võnkudes taseme 1/2 ümber. Mis tahes täisarvu perioodide vältel on koosinusliikme keskväärtus null, mistõttu sin²x keskväärtus on täpselt 1/2. Takisti muudab pinge soojuseks võrdeliselt pinge ruuduga, seega vahelduvpinge V₀ sin ωt soojendab takistit täpselt samamoodi nagu püsiv alalispinge V₀/√2. See samaväärne alalispinge ongi ruutkeskmine pinge, mida näeme seadme andmesildil: Euroopa vooluvõrgu nimipinge on 230 V ning pinge kõigub väärtuseni 230√2 ≈ 325 V ja tagasi viiskümmend korda sekundis.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (3)

The double-angle formulae with all three forms of cos 2θ, the half-angle formulae with their quadrant sign and tan(α/2) = sin α/(1 + cos α), and the power-reducing formulae: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.3, “Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas”.
Insight block 1: the angle at the centre is double the angle at the circumference on the same arc, which puts A at W when 2A is at the centre: Euclid, Elements, Book III, Proposition 20. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Insight block 1: the angle in a semicircle is a right angle, so WPE is right-angled at P: Euclid, Elements, Book III, Proposition 31. D. E. Joyce (ed.), Clark University.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Kahekordse nurga valemid

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kahekordse nurga valemid peituvad ühesainsas poolringi kolmnurgas 🖖

Läbijagamine avaldisega cos x heidab pooled lahendid minema 🖖

Funktsiooni sin²x keskväärtus on pool, mistõttu võrgupinge jääb tipust allapoole 🖖

Kahekordse nurga valemid peituvad ühesainsas poolringi kolmnurgas

Läbijagamine avaldisega cos x heidab pooled lahendid minema

Funktsiooni sin²x keskväärtus on pool, mistõttu võrgupinge jääb tipust allapoole