Seotud muutuskiirused

Kui kaht suurust seob igal hetkel võrrand, seob nende muutuskiiruseid selle võrrandi tuletis. Vali olukord, määra ajahetk ja tee viis sammu ise läbi: leht seab liittuletise reegli vastuse kõrvuti vahetult liikumisest mõõdetud kiirusega ning joonistab kiiruse kulgemise kogu ulatuses.

Seotud muutumiskiirused	$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$

Ülemise otsa kõrgus, y (m)	4
Ülemise otsa kiirus, y′ (m/s)	−0,375
Ülemise ja jalami kiiruse suhe	0,75
Nurk põrandaga, θ (kraadi)	53,1
Jalami kaugus võrdsete kiiruste korral (m)	3,536
Aeg põrandale jõudmiseni (s)	4
Seina surve kaaluühiku kohta	0,373
Kõrgus, millel seina surve kaob (m)	0,752

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Seotud muutuskiirused on võrrandiga seotud suuruste tuletised aja järgi. Kui seos nagu x² + y² = L² kehtib igal ajahetkel, annab selle mõlema poole diferentseerimine aja t järgi liittuletise reegli abil võrrandi kiiruste x′ ja y′ vahel. Nii määrab üks teadaolev kiirus teise igal hetkel, mil x ja y on teada. Järjekord on siin määrav: esmalt diferentseeri ning alles seejärel asenda vaadeldava hetke arvud.

Mida iga sümbol tähendab

x′: dx/dt, kiirus, millega x ajas muutub
y*: kõrgus, millel ühtlase redeli ülemine ots seinast eraldub, (2a²L²/(3g))^⅓

Eeldab: Redel on jäik, selle jalam liigub püsikiirusega ja eeldatakse, et ülemine ots püsib seinal; koonus on geomeetriliselt ideaalne ning varju tekitab punktvalgusallikas. Seina toereaktsioon kehtib ühtlasele redelile hõõrdevabal seinal ja põrandal, kus g = 9,81 m/s². Muutuskiirused ise toetuvad üksnes geomeetriale.

Redel 3-4-5 asendis 3 sammu
5 m pikkune redel toetub seinale. Redeli jalam on seinast 3 m kaugusel ja libiseb eemale kiirusega 0,5 m/s. Kui kiiresti vajub redeli ülemine ots ning kui palju aega kulub, kuni jalam jõuab 5 m kaugusele?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Seos kehtib igal ajahetkel. Praegu saame sellest ülemise otsa kõrguse:
  
  $x^{2}+y^{2}=5^{2},\qquad x=3\ \Rightarrow\ y=\sqrt{25-9}=4$
2. Diferentseeri aja t järgi ja asenda selle hetke arvud:
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{3}{4}\times0{.}5=-0{.}375\ \mathrm{m/s}$
3. Jalamil on ühtlase kiirusega 0,5 m/s minna veel 2 m:
  
  $t=\frac{L-x}{x'}=\frac{5-3}{0{.}5}=4\ \mathrm{s}$
Vastus

Ülemine ots vajub kiirusega 0,375 m/s ja jalam jõuab 5 m kaugusele 4 s pärast. Miinusmärk näitab kõrguse kahanemist. Saadud vastus on kiirus vaid ühel hetkel: sekund hiljem on jalam jõudnud 3,5 m peale ja ülemine ots vajub juba kiiremini.

$y'=-0{.}375\ \mathrm{m/s},\qquad t=4\ \mathrm{s}$
Poole sügavuseni täituv koonus 3 sammu
Vesi voolab kiirusega 2 m³/min koonusesse, mille sügavus on 4 m ja ülaserva raadius 2 m ning tipp suunatud alla. Kui kiiresti tõuseb veepind siis, kui vee sügavus on 2 m, ja kuidas on see võrreldav kiirusega serva juures?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sarnased kolmnurgad seovad veepinna raadiuse sügavusega, nii et ruumalavalemisse jääb vaid üks muutuja:
  
  $\frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{2}{4}\ \Rightarrow\ r=\frac{h}{2},\qquad V=\frac{\pi}{3}r^{2}h=\frac{\pi}{12}h^{3}$
2. Diferentseeri. Kordaja h′ ees on veepinna pindala:
  
  $V'=\frac{\pi}{4}h^{2}\,h'=\pi r^{2}\,h'\ \Rightarrow\ h'=\frac{Q}{\pi r^{2}}=\frac{2}{\pi\cdot1^{2}}=0{.}6366\ \mathrm{m/min}$
3. Koonuse servani jõudes on veepinna raadius kaks korda suurem:
  
  $h=4,\ r=2:\qquad h'=\frac{2}{\pi\cdot2^{2}}=0{.}1592\ \mathrm{m/min}$
Vastus

Veetase tõuseb kiirusega 2/π ≈ 0,6366 m/min, mis on neli korda kiirem kui serva juures saavutatav 0,1592 m/min. Elimineeri r enne diferentseerimist. Kui diferentseerida seost V = πr²h/3 nii, et r jääb sisse, toob see teise tundmatu kiirusena kaasa r′.

$h'=\frac{2}{\pi}\approx0{.}6366\ \mathrm{m/min},\qquad \frac{0{.}6366}{0{.}1592}=4$
Varju tipp 3 sammu
Latern asub posti otsas 6 m kõrgusel. Sellest eemaldub kiirusega 1,5 m/s inimene, kelle pikkus on 1,8 m. Kui pikk on tema vari, kui kiiresti see pikeneb ja kui kiiresti liigub varju tipp hetkel, mil inimene on postist 4 m kaugusel?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Pealaest mööduv kiir tekitab kaks sarnast kolmnurka. Avalda varju pikkus s:
  
  $\frac{s}{1{.}8}=\frac{d+s}{6}\ \Rightarrow\ 4{.}2\,s=1{.}8\,d\ \Rightarrow\ s=\frac{1{.}8\times4}{4{.}2}=1{.}714\ \mathrm{m}$
2. Diferentseeri. s on d püsiv kordne, seega on selle muutumiskiirus sama kordne tuletisest d′:
  
  $s'=\frac{1{.}8}{4{.}2}\,d'=\frac{1{.}8\times1{.}5}{4{.}2}=0{.}643\ \mathrm{m/s}$
3. Varju tipp asub postist kaugusel d + s:
  
  $(d+s)'=d'+s'=1{.}5+0{.}643=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
Vastus

Vari on 1,714 m pikk ja pikeneb kiirusega 0,643 m/s ning selle tipp liigub kiirusega 2,143 m/s. Kumbki kiirus ei sõltu suurusest d: esita sama küsimus 16 m kaugusel ja vastused on täpselt samad.

$s'=0{.}643\ \mathrm{m/s},\qquad (d+s)'=2{.}143\ \mathrm{m/s}$
Kui kiiresti nurk väheneb 4 sammu
6,5 m pikkune redel toetub seinale ja selle jalam libiseb eemale kiirusega 0,4 m/s. Kui jalam on seinast 2,5 m kaugusel, kui kiiresti laskub ülemine ots? Kus asub jalam hetkel, mil mõlemad otsad liiguvad sama kiirusega? Ning kui kiiresti kahaneb redeli ja põranda vaheline nurk, kui jalam on 2,5 m kaugusel? Kahe esimese vastuse nägemiseks vajuta nuppu Näidisülesanne. Kolmandat leht välja ei trüki.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Põhiseos ning ülemise otsa kõrgus antud hetkel:
  
  $x^{2}+y^{2}=6{.}5^{2},\qquad x=2{.}5\ \Rightarrow\ y=\sqrt{42{.}25-6{.}25}=6$
2. Diferentseeri aja t järgi ja avalda y′:
  
  $2x\,x'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{x}{y}\,x'=-\frac{2{.}5}{6}\times0{.}4=-0{.}1667\ \mathrm{m/s}$
3. Mõlemad otsad liiguvad sama kiirusega siis, kui x/y = 1 ehk x = y:
  
  $\frac{x}{y}=1\ \Rightarrow\ x=y=\frac{6{.}5}{\sqrt2}=4{.}596\ \mathrm{m}$
4. Nurga leidmiseks diferentseeri hoopis seost x = L cos θ ja pane tähele, et L sin θ on y:
  
  $x=L\cos\theta\ \Rightarrow\ x'=-L\sin\theta\,\theta'=-y\,\theta'\ \Rightarrow\ \theta'=-\frac{x'}{y}=-\frac{0{.}4}{6}=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}$
Vastus

Ülemine ots laskub kiirusega 0,1667 m/s, kiirused on võrdsed, kui jalam on 4,596 m kaugusel, ning nurk kahaneb kiirusega 0,0667 rad/s ehk ligikaudu 3,82° sekundis. Murrus θ′ = −x′/y on nimetajas seesama y mis ülemise otsa kiirusel, mistõttu kasvab temagi tõkestamatult, mida laugemaks redel vajub.

$y'=-0{.}1667\ \mathrm{m/s},\qquad x=4{.}596\ \mathrm{m},\qquad \theta'=-0{.}0667\ \mathrm{rad/s}\approx-3{.}82^{\circ}/\mathrm{s}$
Õhupalli täispuhumine 3 sammu
Kerakujulisse õhupalli pumbatakse õhku kiirusega 100 cm³/s. Kui kiiresti kasvab raadius hetkel, mil see on 10 cm, ja kui kiiresti suureneb sel hetkel pindala?
Näita lahendust
1. Igal ajahetkel kehtiv seos ning selle tuletis t järgi:
  
  $V=\tfrac43\pi r^{3}\ \Rightarrow\ V'=4\pi r^{2}\,r'$
2. Nüüd vaadeldav hetk, r = 10:
  
  $\begin{aligned}r'&=\dfrac{V'}{4\pi r^{2}}=\dfrac{100}{400\pi}\\&=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\end{aligned}$
3. Pindala annab teise seose raadiusega r, mida diferentseerime samamoodi:
  
  $\begin{aligned}S&=4\pi r^{2}\ \Rightarrow\ S'=8\pi r\,r'\\S'&=8\pi\cdot10\cdot\dfrac{1}{4\pi}=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Vastus

Raadius kasvab kiirusega 1/(4π) ≈ 0,0796 cm/s ja pindala kiirusega 20 cm²/s. Ühtlase õhuvoolu korral kasvab raadius üha aeglasemalt: r′ kahaneb nagu 1/r², sest iga uus cm³ jaotub suuremale pinnale.

$\begin{aligned}&r'=\dfrac{1}{4\pi}\approx0{.}0796\ \mathrm{cm/s}\\&S'=20\ \mathrm{cm^{2}/s}\end{aligned}$
Kaks autot ja ristmik 3 sammu
Auto A on ristmikust 0,6 km põhja pool ja sõidab selle poole kiirusega 50 km/h. Auto B asub 0,8 km ida pool ja liigub eemale kiirusega 60 km/h. Kui kiiresti muutub nendevaheline kaugus?
Näita lahendust
1. Tähistame vahemaad: y on auto A kaugus ristmikust ja x auto B oma; A läheneb, seega on tema kiirus negatiivne:
  
  $y'=-50,\quad x'=60,\quad s^{2}=x^{2}+y^{2}$
2. Diferentseerime seose t järgi enne arvude asendamist:
  
  $\begin{aligned}2s\,s'&=2x\,x'+2y\,y'\\s'&=\dfrac{x\,x'+y\,y'}{s}\end{aligned}$
3. Sel hetkel on autode vahekaugus 1 km:
  
  $\begin{aligned}s&=\sqrt{0{.}8^{2}+0{.}6^{2}}=1\\s'&=0{.}8\cdot60+0{.}6\cdot(-50)\\&=48-30=18\ \mathrm{km/h}\end{aligned}$
Vastus

Vahekaugus kasvab kiirusega 18 km/h. Vastuseks pole kumbki kiirus ega nende summa. Kummastki autost loeb vaid tema osa neid ühendaval sirgel: autol B x/s ja autol A y/s. Nii lisab B 48 km/h ning lähenev A võtab 30 maha.

$s'=18\ \mathrm{km/h}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Tiiki kukkunud kivi tekitab ringikujulise laine, mille raadius kasvab kiirusega 3 cm/s. Kui kiiresti kasvab selle ringi pindala hetkel, mil raadius on 10 cm?

Näita vastust

60π ≈ 188,5 cm²/s

$A'=60\pi\approx188{.}5\ \mathrm{cm^{2}/s}$
Kuubi serv kasvab kiirusega 2 mm/s. Kui kiiresti kasvab selle ruumala hetkel, mil serv on 5 mm?

Näita vastust

150 mm³/s

$V'=150\ \mathrm{mm^{3}/s}$
10 m pikkune redel libiseb mööda seina alla ja selle alumine ots eemaldub seinast kiirusega 1 m/s. Kui kiiresti laskub redeli ülemine ots hetkel, mil alumine ots on seinast 6 m kaugusel?

Näita vastust

0,75 m/s

$y'=-0{.}75\ \mathrm{m/s}$
Õhupall tõuseb vaatlejast 100 m kauguselt otse üles kiirusega 5 m/s. Kui kiiresti kasvab tõusunurk hetkel, mil õhupall on 100 m kõrgusel?

Näita vastust

0,025 rad/s, umbes 1,43°/s

$\theta'=0{.}025\ \mathrm{rad/s}\approx1{.}43^{\circ}/\mathrm{s}$
Lumepall säilitab sulades kerakuju, kaotades ruumalast 10 cm³/min. Kui kiiresti kahaneb raadius hetkel, mil see on 5 cm?

Näita vastust

1/(10π) ≈ 0,0318 cm/min

$r'=-\dfrac{1}{10\pi}\approx-0{.}0318\ \mathrm{cm/min}$
Tipuga alla suunatud koonilise paagi sügavus on 6 m ja ülaserva raadius 3 m. Vett voolab sisse kiirusega 1 m³/min. Kui kiiresti tõuseb veetase hetkel, mil vee sügavus on 2 m?

Näita vastust

1/π ≈ 0,318 m/min

$h'=\dfrac{1}{\pi}\approx0{.}318\ \mathrm{m/min}$

Valem saadab redeli ülaotsa vastu põrandat lõpmatu kiirusega

Valem y′ = −(x/y)·x′ ütleb, et redeli ülemine ots liigub x/y korda nii kiiresti kui jalam. Kuni redel seisab järsemalt kui 45°, on see suhe alla 1. Pärast 45° kaob aga igasugune ülempiir: kui ülaots läheneb põrandale, läheneb y nullile ning valemi tulemus kasvab lõpmatusse. Vajuta Viimased 10 cm, et seda jälgida. Diferentseerimisel eeldati, et ülaots toetub kogu aeg seinale, ent just see eeldus ei pea paika. Sein peab redelit lükkama. Püsiva kiirusega tõmmatava ühtlase redeli puhul kahaneb see surve nullini kõrgusel y* = (2a²L²/(3g))^⅓, mis selle redeli jaoks on 0,752 m. Madalamal peaks sein redelit juba tõmbama, mistõttu ülaots eemaldub seinalt. Merevaigukollasest joonest paremal jätkab sinine kõver rehkendust pärast seda, kui päris redel on seina juurest juba lahkunud.

Varjutipp säilitab sama kiiruse, ükskõik kui kaugele sa kõnnid

Sarnaste kolmnurkade tõttu on vari alati püsiv murdosa sinu kaugusest postini: s = pd/(P − p). Püsiv murdosa suurusest d kasvab aga sama murdosana suurusest d′. Seetõttu ei mängi asukoht kiiruse juures mingit rolli. Vajuta Vari 4 m kaugusel, seejärel Vari 16 m kaugusel: vari on neli korda pikem, kuid mõlemad kiirused jäävad muutumatuks ning püsivad graafikul rõhtsate joontena. Redeli kiirus kasvas lõpmatusse, sest x² + y² = L² on kõver. Siinne seos on aga sirge, ning sirge seob kaks kiirust püsiva konstandiga.

Koonus täitub poole sügavuseni kaheksandikuga ajast

Sissevool jaotub üle veepinna, mistõttu tase tõuseb kiirusega h′ = Q/(πr²): kiiresti, kui pind on väike, ning aeglaselt, kui see on lai. Poolel sügavusel on veepinna suurus veerand ülaserva pindalast. Seetõttu kerkib tase neli korda kiiremini kui päris üleval. Kuna ruumala sõltub sügavuse kuubist, mahub poolele sügavusele kõigest kaheksandik veest ja sinna jõutakse kaheksandikuga täitumisajast. Kumbki suhe ei sõltu koonuse mõõtmetest ega sissevoolust. Muuda neid: leht näitab poolel sügavusel ikka 4 ja 12,5%. Vajuta Lähtesta ja Käivita ning jälgi, kuidas tase algul sööstab ja lõpuks vaevu liigub.

Õpitee

Allikad (1)

The five-step strategy the page's stepper follows (assign symbols, state what is given and what is wanted, find an equation relating the variables, differentiate both sides with respect to time by the chain rule, then substitute the known values and solve), with worked examples on a balloon, an aeroplane, a rocket launch and water draining from a cone-shaped funnel, and the ladder and lamppost-shadow problems among the exercises: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.1, “Related Rates”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Seotud muutuskiirused

Mida iga sümbol tähendab

Lisaülesanded, ainult vastustega

Valem saadab redeli ülaotsa vastu põrandat lõpmatu kiirusega 🖖

Varjutipp säilitab sama kiiruse, ükskõik kui kaugele sa kõnnid 🖖

Koonus täitub poole sügavuseni kaheksandikuga ajast 🖖

Valem saadab redeli ülaotsa vastu põrandat lõpmatu kiirusega

Varjutipp säilitab sama kiiruse, ükskõik kui kaugele sa kõnnid

Koonus täitub poole sügavuseni kaheksandikuga ajast