Théorème d’Ampère

La circulation de B le long d’un contour fermé vaut μ₀ fois le courant qui traverse une surface bordée par ce contour. Pour des courants permanents, cette relation est toujours vraie. Comme le théorème de Gauss, elle ne permet un calcul simple que dans certaines configurations : si la symétrie impose un champ de même norme et tangent au contour en tout point, sa circulation se réduit à B fois la longueur du contour. Le calcul de B tient alors en une ligne. Choisissez un courant, ajustez le contour et lisez le courant enlacé ainsi que la valeur du champ.

Théorème d’Ampère avec le courant de déplacement de Maxwell	$\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\Bigl(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\Bigr)$
Solénoïde long et bobine torique	$B=\mu_0nI,\qquad B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$

Exemple résolu — Théorème d’Ampère

Courant enlacé	1,25 A
Longueur du contour	0,06283 m
μ₀ fois le courant	1,571×10⁻⁶ T·m
B sur le contour	25 μT

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Théorème d’Ampère

Théorème d’Ampère : la circulation de B le long d’un contour fermé vaut μ₀ fois le courant enlacé, ∮B·dl = μ₀I_enc. Avec la correction de Maxwell, ce courant comprend le courant de déplacement ε₀ dΦ_E/dt.

Ce que signifie chaque symbole

I_enc: le courant total algébrique traversant une surface bordée par le contour, orientée selon la règle de la main droite
n: le nombre de spires par mètre du solénoïde
K: le courant par mètre de largeur de la nappe

D’où vient la formule

Choisissez un contour sur lequel la symétrie détermine les propriétés de B. Autour d’un fil rectiligne, B a la même norme en tout point d’un cercle centré sur le fil et reste tangent à ce cercle. Sa circulation vaut donc B·2πr.
$\oint\vec B\cdot d\vec l=B\cdot2\pi r=\mu_0I_{\mathrm{enc}}$
Calculez le courant enlacé. À l’intérieur d’un fil où le courant est uniformément réparti, le contour en enlace une fraction r²/R². À l’extérieur, il enlace la totalité du courant.
$I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}},\qquad r\ge R:\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
Dans un solénoïde long. Prenez un rectangle dont un côté est à l’intérieur et l’autre à l’extérieur. À l’extérieur, B est négligeable ; les petits côtés sont perpendiculaires à B. Seul le côté intérieur contribue à la circulation. Le contour enlace nℓ spires.
$B\ell=\mu_0n\ell I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
Dans une bobine torique. Un cercle situé dans le noyau enlace une fois chacune des N spires, donc B·2πr = μ₀NI. Le champ B varie ainsi en 1/r.
$B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
Lorsque le courant n’est pas permanent. Entre les armatures d’un condensateur en charge, aucun courant de conduction ne circule, mais le flux électrique varie. Le courant de déplacement ε₀ dΦ_E/dt intervient alors.
$I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},\qquad\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+I_{d}\right)$

Suppose: Les étapes 1 à 4 supposent des courants permanents et des configurations allongées présentant les symétries nécessaires. Dans un solénoïde réel, le champ ne vaut μ₀nI qu’à l’intérieur, loin des extrémités ; à l’extérieur, il est faible sans être nul. Les calculs supposent de l’air ou du vide ; un noyau de fer amplifie B.

Problèmes entièrement résolus

À l’intérieur et à l’extérieur d’un fil épais 3 étapes
Un fil de rayon 2,0 cm est parcouru par un courant de 5,0 A uniformément réparti sur sa section. Calculez B à 1,0 cm et à 4,0 cm de son axe.

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1. À l’intérieur, le contour enlace une fraction r²/R² du courant :
  
  $I_{\mathrm{enc}}=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=(5{.}0)\,\frac{(0{.}01)^{2}}{(0{.}02)^{2}}=1{.}25\ \mathrm{A}$
2. Le théorème d’Ampère appliqué au cercle donne :
  
  $B=\frac{\mu_0I_{\mathrm{enc}}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(1{.}25)}{2\pi\,(0{.}01)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. À l’extérieur, le contour enlace tout le courant I :
  
  $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}04)}=2{.}5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

25 μT aux deux rayons. À l’intérieur, B croît proportionnellement à r jusqu’à atteindre 50 μT à la surface ; à l’extérieur, il décroît en 1/r.

$B(1\ \mathrm{cm})=B(4\ \mathrm{cm})=25\ \mu\mathrm{T}$
Un câble coaxial 2 étapes
Dans un câble coaxial, un courant de 5,0 A circule dans un fil intérieur de rayon 0,50 cm et revient par un conducteur extérieur mince de rayon 3,0 cm. Calculez B à 2,0 cm et à 4,0 cm de l’axe.

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1. Entre les conducteurs, le contour enlace le courant intérieur :
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0I\ \Rightarrow\ B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)}=5{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. À l’extérieur du câble, il enlace les deux courants, qui se compensent :
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0\,(I-I)=0$
Réponse

50 μT à 2,0 cm et un champ nul à 4,0 cm.

$B(2\ \mathrm{cm})=50\ \mu\mathrm{T},\qquad B(4\ \mathrm{cm})=0$
Un solénoïde long 2 étapes
Un solénoïde long comporte 2 000 spires par mètre parcourues par un courant de 3,0 A. Calculez B à l’intérieur.

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1. Un contour rectangulaire dont le côté intérieur a pour longueur ℓ enlace nℓ spires, chacune parcourue par I. Seul le côté intérieur contribue à la circulation :
  
  $B\ell=\mu_0\,(n\ell)\,I\ \Rightarrow\ B=\mu_0nI$
2. Application numérique :
  
  $B=(4\pi\times10^{-7})(2000)(3{.}0)\approx7{.}540\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Réponse

7,54 mT, quels que soient le rayon du solénoïde et le point choisi à l’intérieur, loin des extrémités.

$B=\mu_0nI\approx7{.}54\ \mathrm{mT}$
À l’extrémité d’un solénoïde de longueur finie 3 étapes
Le solénoïde de l’exercice 3 mesure 50 cm de long et a un rayon de 2,0 cm. Calculez B sur son axe, au centre et à une extrémité.

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1. La somme des champs créés par les spires, calculés avec la loi de Biot et Savart, donne sur l’axe :
  
  $B=\frac{\mu_0nI}{2}\left(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2\right)$
2. Au centre, cos α₁ = −cos α₂ = (L/2)/√(L²/4 + R²) :
  
  $B(0)=\mu_0nI\,\frac{L/2}{\sqrt{L^{2}/4+R^{2}}}=(7{.}540\times10^{-3})\,\frac{0{.}25}{\sqrt{0{.}0625+0{.}0004}}\approx7{.}516\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
3. À l’extrémité, cos α₁ = L/√(L² + R²) et cos α₂ = 0 :
  
  $B(\tfrac{L}{2})=\frac{\mu_0nI}{2}\,\frac{L}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}=(3{.}770\times10^{-3})\,\frac{0{.}50}{\sqrt{0{.}25+0{.}0004}}\approx3{.}767\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Réponse

7,516 mT au centre et 3,767 mT à l’extrémité : à l’extrémité, le champ vaut la moitié de μ₀nI à moins de 0,1 % près.

$B(0)\approx7{.}516\ \mathrm{mT},\qquad B(\tfrac{L}{2})\approx3{.}767\ \mathrm{mT}$
Une bobine torique 2 étapes
Une bobine torique comporte 500 spires parcourues par un courant de 2,0 A. Son noyau est compris entre les rayons 5,0 cm et 10 cm. Calculez B aux parois intérieure et extérieure du noyau, ainsi qu’en dehors du noyau.

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1. Un cercle de rayon r situé dans le noyau enlace les N spires :
  
  $B\cdot2\pi r=\mu_0NI\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}$
2. Aux deux parois :
  
  $B(0{.}05)=\frac{(2\times10^{-7})(500)(2{.}0)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T},\qquad B(0{.}10)=2{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{T}$
Réponse

4,0 mT à 5,0 cm, 2,0 mT à 10 cm et un champ nul hors du noyau.

$B_{a}=4\ \mathrm{mT},\qquad B_{b}=2\ \mathrm{mT}$
Une nappe de courant 1 étapes
Une grande nappe plane est parcourue par un courant de 100 A par mètre de largeur. Calculez B à proximité.

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1. Un contour rectangulaire qui traverse la nappe, avec des côtés de longueur ℓ parallèles à celle-ci, enlace un courant Kℓ. Le champ B est tangent à ces deux côtés, dans des sens opposés ; les côtés qui traversent la nappe ne contribuent pas à la circulation :
  
  $2B\ell=\mu_0K\ell\ \Rightarrow\ B=\frac{\mu_0K}{2}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(100)}{2}\approx6{.}283\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

62,83 μT de chaque côté, parallèlement à la nappe. Cette valeur ne dépend pas de la distance tant que les dimensions de la nappe permettent de l’assimiler à un plan infini.

$B=\frac{\mu_0K}{2}\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Entre les armatures d’un condensateur en charge 2 étapes
Des armatures circulaires de rayon 10 cm sont chargées par un courant de 2,0 A. Calculez B entre elles, à 5,0 cm de l’axe.

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1. Entre les armatures, E = σ/ε₀ augmente avec la charge. Le flux à travers un disque de rayon r vaut (Q/ε₀)(r²/R²), d’où le courant de déplacement :
  
  $I_{d}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\varepsilon_0\,\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Q}{\varepsilon_0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)=I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}=0{.}5\ \mathrm{A}$
2. Le théorème d’Ampère avec le terme de Maxwell donne :
  
  $B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(0{.}5)}{2\pi\,(0{.}05)}=2{.}0\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Réponse

2,0 μT. Au-delà du bord des armatures, pour r ≥ R, le champ vaut μ₀I/(2πr), comme autour du fil.

$B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^{2}}=2\ \mu\mathrm{T}$
Un fil où le courant n’est pas uniformément réparti 3 étapes
Un fil de rayon 2,0 cm est parcouru par un courant de 5,0 A dont la densité vaut J = J₀r/R. Calculez J₀ et B à 1,0 cm de l’axe.
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1. Le courant contenu dans le rayon r s’obtient en sommant les contributions des couronnes d’aire 2πr′ dr′ :
  
  $I(r)=\int_{0}^{r}J_0\frac{r'}{R}\,2\pi r'\,dr'=\frac{2\pi J_0r^{3}}{3R}$
2. En posant r = R, on obtient J₀. Le théorème d’Ampère donne ensuite B :
  
  $J_0=\frac{3I}{2\pi R^{2}}=\frac{3\,(5{.}0)}{2\pi\,(0{.}02)^{2}}\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=\frac{\mu_0I(r)}{2\pi r}=\frac{\mu_0I\,r^{2}}{2\pi R^{3}}$
3. Pour r = 1,0 cm :
  
  $B=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)^{2}}{2\pi\,(0{.}02)^{3}}=1{.}25\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Réponse

J₀ = 5 968 A/m² ; B = 12,5 μT, soit la moitié des 25 μT obtenus avec une répartition uniforme, car le courant se concentre davantage près de la surface.

$J_0\approx5968\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad B=12{.}5\ \mu\mathrm{T}$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Un long fil rectiligne de rayon 1,0 mm est parcouru par un courant de 10 A uniformément réparti sur sa section. Calculez B à sa surface.

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2,0 mT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi R}=2{.}0\ \mathrm{mT}$
Un solénoïde de 30 cm de long comporte 600 spires parcourues par un courant de 2,0 A. Calculez B à l’intérieur, loin des extrémités.

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5,027 mT.

$B=\mu_0\,\frac{N}{L}\,I\approx5{.}027\ \mathrm{mT}$
Une bobine torique de 1 000 spires est parcourue par un courant de 1,5 A. Calculez B sur la ligne médiane du noyau, au rayon 8,0 cm.

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3,75 mT.

$B=\frac{\mu_0NI}{2\pi r}=3{.}75\ \mathrm{mT}$
Deux nappes de courant parallèles sont parcourues chacune par 50 A par mètre de largeur, dans des sens opposés. Calculez B entre elles et à l’extérieur.

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62,83 μT entre les nappes et un champ nul à l’extérieur.

$B=2\cdot\frac{\mu_0K}{2}=\mu_0K\approx62{.}83\ \mu\mathrm{T}$
Dans un câble coaxial, un courant de 4,0 A circule dans un conducteur intérieur creux de rayon 1,0 mm et revient par un conducteur extérieur de rayon 5,0 mm. Calculez B à 0,5 mm, 3,0 mm et 6,0 mm de l’axe.

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0, 266,7 μT et 0.

$0,\quad\frac{\mu_0I}{2\pi r}\approx266{.}7\ \mu\mathrm{T},\quad0$
Un condensateur à armatures circulaires de rayon 5,0 cm se charge de telle sorte que dE/dt = 1,0 × 10¹² V/(m·s) entre les armatures. Calculez le courant de déplacement et B au bord des armatures.

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0,06954 A et 0,2782 μT.

$I_{d}=\varepsilon_0\pi R^{2}\frac{dE}{dt}\approx0{.}06954\ \mathrm{A},\qquad B=\frac{\mu_0I_{d}}{2\pi R}\approx0{.}2782\ \mu\mathrm{T}$

À l’extrémité d’un solénoïde long, le champ vaut la moitié du champ intérieur

Cliquez sur Extrémité du solénoïde. Pour une longueur de 50 cm et 2 000 spires par mètre parcourues par 3 A, le champ vaut 7,516 mT au centre, très près de μ₀nI = 7,54 mT, et 3,767 mT à l’extrémité. Ce rapport s’explique par la symétrie. Accolez un second solénoïde identique au premier : leur jonction se trouve désormais au cœur d’une bobine deux fois plus longue, où le champ est très proche de μ₀nI. Les deux moitiés y contribuent à parts égales. Retirez-en une : il reste la moitié du champ, soit, pour cette bobine, 49,96 % de μ₀nI. La moitié exacte est atteinte à la limite d’un solénoïde infiniment long. La baisse ne se répartit pas régulièrement du centre à l’extrémité. Faites glisser P le long de l’axe : l’écart à μ₀nI reste inférieur à 1 % jusqu’à environ cinq rayons de l’extrémité, soit 10 cm. C’est sur cette dernière portion que se concentre presque toute la diminution.

Le champ d’une bobine torique varie dans l’épaisseur du noyau

Cliquez sur Bobine torique. Un cercle de rayon r situé dans le noyau enlace les N spires, donc B = μ₀NI/(2πr). Or r varie dans l’épaisseur du noyau : le champ passe de 4 mT à la paroi intérieure, à 5 cm, à 2 mT à la paroi extérieure, à 10 cm. Lorsqu’on courbe un solénoïde pour former un anneau, ses spires se resserrent du côté intérieur. Hors du noyau, la surface bordée par le contour ne coupe aucune spire, ou les coupe toutes deux fois, dans des sens opposés. Le champ est alors nul. Une bobine torique confine ainsi son champ à l’intérieur du noyau, ce qui explique l’emploi de noyaux annulaires dans de nombreux transformateurs et bobines de filtrage.

Un condensateur en charge met en défaut la formulation initiale du théorème d’Ampère

Cliquez sur Condensateur en charge. Aucune charge ne franchit l’espace entre les armatures. Pourtant, un champ de 2 μT règne le long d’un contour de rayon 5 cm situé entre elles. Prenez pour surface un disque plan bordé par ce contour : aucun courant ne le traverse. Déformez cette surface en poche pour qu’elle contourne une armature : le courant de 2 A du fil la traverse. Le théorème d’Ampère ne peut pas donner deux résultats pour un même contour. La correction de Maxwell introduit un courant de déplacement, ε₀ dΦ_E/dt, lié à la variation du flux électrique. À travers le disque plan, il vaut (r/R)² de 2 A, soit 0,5 A, et donne bien 2 μT. Grâce à ce terme, un champ électrique variable peut créer un champ magnétique. Les équations de Maxwell prédisent alors des ondes se propageant à la vitesse de la lumière ; Hertz commence à confirmer leur existence en 1887.

Parcours

D’où viennent les champs

Références (4)

Ampère's law over an arbitrary closed path, and the thick wire inside (μ₀I₀r/(2πa²)) and outside (Example 12.7): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.5, “Ampère's Law”.
The long solenoid μ₀nI (zero outside), the toroid μ₀NI/(2πr) (zero outside), and the finite solenoid on its axis in the form (μ₀NI/2L)(sin θ₂ − sin θ₁): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.6, “Solenoids and Toroids”.
Insight block 3: the charging capacitor with two surfaces on one loop, the displacement current I_d = ε₀ dΦ_E/dt, and Maxwell's prediction of electromagnetic waves travelling at the speed of light, confirmed by Hertz from 1887: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 16.1, “Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves”.
Insight block 3: the paper in which Maxwell's equations, with the displacement current, give electromagnetic waves: J. C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865), pp. 459-512. DOI 10.1098/rstl.1865.0008

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.