Entraîneur de division de polynômes

Saisissez le dividende et le diviseur sous forme de polynômes en x, comme 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5, ou donnez leurs coefficients par puissances décroissantes, comme 2, -3, 4, -5. Pour des coefficients entiers de taille raisonnable, le calcul reste exact à chaque étape, même avec des fractions.

L’algorithme de division euclidienne	$\begin{aligned}&P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x)\\&\deg R<\deg D\end{aligned}$
Le théorème du reste	$\begin{aligned}&P(x)\div(x-a):\ R=P(a)\\&P(x)\div(ax-b):\ R=P\left(\tfrac{b}{a}\right)\end{aligned}$
Le théorème de factorisation	$(x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0$

Exemple résolu — Entraîneur de division de polynômes

Quotient	2x² + x + 6
Reste	7
Vérification par multiplication	2x³ − 3x² + 4x − 5
P(2), théorème du reste	7
x − 2 est-il un facteur ?	non
Dividende	2

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Entraîneur de division de polynômes

Effectuer la division euclidienne d’un polynôme P(x) par D(x), c’est trouver un quotient Q(x) et un reste R(x) tels que P = DQ + R, avec R nul ou de degré strictement inférieur à celui de D.

D’où vient la formule

Divisez les termes de plus haut degré. Le terme de plus haut degré de P divisé par celui de D donne le premier terme du quotient.
$\frac{2x^{3}}{x}=2x^{2}$
Multipliez par le diviseur, puis soustrayez. En soustrayant le produit de ce terme par D, vous éliminez le terme de plus haut degré de P. Le degré diminue.
$\begin{aligned}&2x^{3}-3x^{2}+4x-5-2x^{2}(x-2)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}$
Poursuivez jusqu’à obtenir un degré strictement inférieur à celui de D. Chaque étape fournit un nouveau terme du quotient. Si une puissance est absente de P, conservez sa colonne avec un coefficient nul.
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x}=x:\quad x^{2}+4x-5-x(x-2)=6x-5\\&\frac{6x}{x}=6:\quad 6x-5-6(x-2)=7\end{aligned}$
Déduisez le théorème du reste de l’identité obtenue. Pour un diviseur x − a, le reste R est une constante. En remplaçant x par a dans P = (x − a)Q + R, vous annulez tout le premier terme.
$\begin{aligned}&P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\\&P(a)=0\cdot Q(a)+R=R\end{aligned}$
Déduisez-en le théorème de factorisation. Le polynôme x − a divise P si et seulement si le reste P(a) est nul. Chercher un facteur de cette forme revient donc à chercher une racine.
$R=P(a)=0\iff P(x)=(x-a)\,Q(x)$

Problèmes entièrement résolus

Une division avec un terme manquant 4 étapes
Divisez x³ + 2x − 5 par x + 1.

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1. Le terme en x² est absent. Écrivez 0x² pour bien aligner les termes de même degré. x³ ÷ x = x².
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\\&x^{3}+0x^{2}+2x-5-x^{2}(x+1)=-x^{2}+2x-5\end{aligned}$
2. Le produit de x² par (x + 1) vaut x³ + x². Après soustraction, il reste −x² + 2x − 5. Puis −x² ÷ x = −x.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x}=-x\\&-x^{2}+2x-5-(-x)(x+1)=3x-5\end{aligned}$
3. Le produit de −x par (x + 1) vaut −x² − x. Après soustraction, il reste 3x − 5. Ensuite, 3x ÷ x = 3. En soustrayant 3(x + 1) = 3x + 3, vous obtenez −8.
  
  $\begin{aligned}&\frac{3x}{x}=3\\&3x-5-3(x+1)=-8\end{aligned}$
4. Vérifiez en multipliant le quotient par le diviseur et en ajoutant le reste.
  
  $(x+1)(x^{2}-x+3)-8=x^{3}+2x+3-8=x^{3}+2x-5$
Réponse

Quotient : x² − x + 3 ; reste : −8.

$x^{3}+2x-5=(x+1)(x^{2}-x+3)-8$
Un diviseur du second degré 3 étapes
Divisez x⁴ + 3x³ − x + 2 par x² + x − 1.

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1. x⁴ ÷ x² = x². Multipliez le diviseur par x², puis soustrayez le produit obtenu.
  
  $\begin{aligned}&\frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}\\&x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+2-x^{2}(x^{2}+x-1)\\&\quad=2x^{3}+x^{2}-x+2\end{aligned}$
2. 2x³ ÷ x² = 2x. Multipliez le diviseur par 2x, puis soustrayez le produit obtenu.
  
  $\begin{aligned}&\frac{2x^{3}}{x^{2}}=2x\\&2x^{3}+x^{2}-x+2-2x(x^{2}+x-1)\\&\quad=-x^{2}+x+2\end{aligned}$
3. −x² ÷ x² = −1. Multipliez le diviseur par −1, puis soustrayez le produit obtenu. Il reste 2x + 1, de degré 1, strictement inférieur au degré 2 du diviseur. C’est donc le reste.
  
  $\begin{aligned}&\frac{-x^{2}}{x^{2}}=-1\\&-x^{2}+x+2-(-1)(x^{2}+x-1)=2x+1\end{aligned}$
Réponse

Quotient : x² + 2x − 1 ; reste : 2x + 1.

$\begin{aligned}&x^{4}+3x^{3}-x+2\\&=(x^{2}+x-1)(x^{2}+2x-1)+2x+1\end{aligned}$
Un diviseur non unitaire 4 étapes
Divisez 4x³ − 2x² + 6x + 1 par 2x − 1.

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1. Pour obtenir chaque terme du quotient, vous divisez par 2x. 4x³ ÷ 2x = 2x².
  
  $\frac{4x^{3}}{2x}=2x^{2}$
2. 2x²(2x − 1) = 4x³ − 2x² : la soustraction élimine aussi le terme en x². Comme 0x² ÷ 2x = 0, le quotient n’a pas de terme en x.
  
  $\begin{aligned}&4x^{3}-2x^{2}+6x+1-2x^{2}(2x-1)=6x+1\\&\frac{0x^{2}}{2x}=0\end{aligned}$
3. 6x ÷ 2x = 3. En soustrayant 3(2x − 1) = 6x − 3, vous obtenez 4.
  
  $\frac{6x}{2x}=3:\qquad 6x+1-3(2x-1)=4$
4. Vous pouvez vérifier avec le théorème du reste, puisque 2x − 1 s’annule pour x = 1/2.
  
  $\begin{aligned}P\left(\tfrac12\right)&=4\cdot\tfrac18-2\cdot\tfrac14+6\cdot\tfrac12+1\\&=\tfrac12-\tfrac12+3+1=4\end{aligned}$
Réponse

Quotient : 2x² + 3 ; reste : 4.

$4x^{3}-2x^{2}+6x+1=(2x-1)(2x^{2}+3)+4$
Trouver le reste sans effectuer la division 2 étapes
Déterminez le reste de la division de x³ − 4x² + 5x − 7 par x − 3.

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1. Le diviseur est de la forme x − a, avec a = 3. Le reste vaut donc P(3).
  
  $P(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+5\cdot3-7=27-36+15-7=-1$
2. La division euclidienne donne le même reste et un quotient égal à x² − x + 2.
  
  $x^{3}-4x^{2}+5x-7=(x-3)(x^{2}-x+2)-1$
Réponse

Le reste vaut −1.

$R=P(3)=-1$
D’un facteur à la factorisation complète 3 étapes
Montrez que x − 1 est un facteur de x³ − 6x² + 11x − 6, puis factorisez complètement ce polynôme.

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1. P(1) = 0. D’après le théorème de factorisation, x − 1 divise donc P.
  
  $P(1)=1-6+11-6=0$
2. Effectuez la division pour trouver l’autre facteur.
  
  $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$
3. Le quotient est un polynôme du second degré qui se factorise à son tour.
  
  $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$
Réponse

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

$(x-1)(x-2)(x-3)$
Un coefficient inconnu 3 étapes
x + 2 est un facteur de x³ + kx² − x − 2. Déterminez k.

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1. Comme x + 2 = x − (−2), vous avez P(−2) = 0.
  
  $P(-2)=(-2)^{3}+k(-2)^{2}-(-2)-2=-8+4k$
2. Résolvez l’équation pour trouver k.
  
  $-8+4k=0\ \Rightarrow\ k=2$
3. Vérifiez par la division : le reste est nul.
  
  $x^{3}+2x^{2}-x-2=(x+2)(x^{2}-1)$
Réponse

k = 2, et x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).

$k=2$
Deux inconnues, deux conditions 3 étapes
P(x) = x³ + ax² + bx − 6. Le polynôme x − 1 est un facteur de P, et la division de P par x + 1 donne un reste égal à 4. Déterminez a et b.

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1. Puisque x − 1 est un facteur de P, vous avez P(1) = 0.
  
  $P(1)=1+a+b-6=0\ \Rightarrow\ a+b=5$
2. La condition sur le reste donne P(−1) = 4.
  
  $P(-1)=-1+a-b-6=4\ \Rightarrow\ a-b=11$
3. Additionnez les deux équations, puis remplacez l’inconnue trouvée par sa valeur dans l’une d’elles.
  
  $2a=16\ \Rightarrow\ a=8,\quad b=5-8=-3$
Réponse

a = 8, b = −3

$a=8,\quad b=-3$
Division de 2x³ − 3x² + 4x − 5 par x − 2 5 étapes
La division de 2x³ − 3x² + 4x − 5 par x − 2 donne un reste de 7. Parvenez-y par division synthétique, puis obtenez ce même 7 sans effectuer de division.

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1. La division synthétique est une division posée débarrassée de la tenue de compte. Seuls les coefficients comptent, et diviser par x − r signifie que le multiplicateur est r.
  
  $\frac{2x^3-3x^2+4x-5}{x-2}:\quad \text{synthetic division with } r=2$
2. Abaissez le 2, multipliez par 2 et ajoutez à −3 pour obtenir 1, multipliez par 2 et ajoutez à 4 pour obtenir 6, multipliez par 2 et ajoutez à −5 pour obtenir 7. Les trois premiers constituent le quotient ; le dernier est le reste.
  
  $2\ \big|\ 2\quad -3\quad 4\quad -5\ \longrightarrow\ 2,\ 1,\ 6\ \ \text{remainder}\ 7$
3. Écrite en entier, c'est la division euclidienne des polynômes — et l'identité est vraie pour tout x, pas seulement pour les valeurs commodes.
  
  $2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7$
4. Substituez donc x = 2. Le facteur (x − 2) annule l'ensemble du quotient, quel qu'il soit, et l'identité se réduit à P(2) = le reste.
  
  $P(2)=2(8)-3(4)+4(2)-5=16-12+8-5=7$
5. Évaluer directement P(2) donne 7, ce qui concorde avec la division sans qu'aucune division n'ait été effectuée.
  
  $P(2)=7\ne0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)\ \text{is not a factor}$
Réponse

L'outil affiche un quotient de 2x² + x + 6 et un reste de 7. Le théorème du reste est ce que prouve l'étape 4, et il vaut plus que le raccourci qu'il procure : parce que le reste est P(r), demander si (x − r) divise un polynôme revient à demander si P(r) = 0. Ici, il vaut 7, donc ce n'est pas le cas. Cette équivalence transforme la recherche de facteurs en une évaluation — essayez des valeurs du diviseur jusqu'à ce que le reste indique 0, et vous aurez trouvé une racine et factorisé le polynôme en une seule étape.

$P(x)=(x-r)Q(x)+P(r):\ \text{the remainder IS}\ P(r)$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Divisez x³ − 3x² + 5 par x − 1.

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Quotient : x² − 2x − 2 ; reste : 3

$Q=x^{2}-2x-2,\quad R=3$
Divisez 2x⁴ − 3x³ + x − 4 par x² − 2.

Afficher la réponse

Quotient : 2x² − 3x + 4 ; reste : −5x + 4

$Q=2x^{2}-3x+4,\quad R=-5x+4$
Divisez x² + 1 par 2x − 1.

Afficher la réponse

Quotient : x/2 + 1/4 ; reste : 5/4

$Q=\frac{x}{2}+\frac14,\quad R=\frac54$
Déterminez le reste de la division de 2x³ + 3x² − 5 par 2x + 1.

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−9/2

$-\frac92$
Montrez que x − 2 est un facteur de x³ − 7x + 6, puis factorisez complètement ce polynôme.

Afficher la réponse

(x − 2)(x − 1)(x + 3)

$(x-2)(x-1)(x+3)$
La division de x³ + px + q par x − 1 donne un reste égal à 6, et x + 2 est un facteur de ce polynôme. Déterminez p et q.

Afficher la réponse

p = −1, q = 6

$p=-1,\quad q=6$

Diviser par x − r ne demande aucun x

Lorsque le diviseur est x − r, vous pouvez ramener toute la division à une seule ligne de calculs sur les coefficients : abaissez le premier, multipliez par r, ajoutez le suivant, puis recommencez. Cette division, dite synthétique, suit exactement le schéma de Horner pour évaluer un polynôme. Le dernier nombre obtenu est donc à la fois le reste de la division et la valeur du polynôme en r. Le gain de calcul est réel : pour un polynôme de degré 10, cette méthode demande 10 multiplications, contre 19 si vous calculez chaque puissance séparément. C’est ainsi que les bibliothèques de calcul numérique évaluent les polynômes.

Vos fichiers sont vérifiés par ça

Chaque somme de contrôle CRC, utilisée pour détecter les erreurs dans un fichier enregistré, une archive ZIP ou un paquet Ethernet, repose sur une division euclidienne de polynômes. Les bits des données deviennent les coefficients d’un immense polynôme sur le corps GF(2). Les calculs s’y font modulo 2 : l’addition se réduit donc à un OU exclusif, ou XOR. Après multiplication par la puissance de x correspondant au degré du générateur, ce polynôme est divisé par un polynôme générateur fixé. Le reste fournit la somme de contrôle, aux ajustements près qu’une norme donnée prévoit pour la valeur initiale et l’inversion finale. L’algorithme que vous suivez ici à la main s’exécute des milliards de fois par seconde dans les équipements réseau.

Parcours

Au-delà du second degré

Références (1)

Insight block 3 — the CRC as polynomial division over GF(2): W. W. Peterson and D. T. Brown, "Cyclic Codes for Error Detection." Proceedings of the IRE 49(1), 228–235, 1961.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

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