Décrire une distribution

Saisissez une série de données, ou deux pour les comparer. Vous pouvez aussi choisir un exemple ci-dessous. Pour chaque série, un diagramme à points surmonte une boîte à moustaches, sur une échelle commune. La moyenne est repérée sous la boîte. Le choix de la méthode de calcul des quartiles modifie Q₁ et Q₃, ainsi que les bornes de détection des valeurs atypiques.

Moyenne	$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i$
Écart-type	$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$
Bornes de détection des valeurs atypiques	$\begin{aligned}&Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Exemple résolu — Décrire une distribution

Nombre de valeurs	97
Moyenne	54,4948
Écart-type s	5,8401
Médiane M	54
Premier quartile Q₁	50
Troisième quartile Q₃	59
Écart interquartile	9
Étendue	28

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Décrire une distribution

Décrire une distribution, c’est préciser sa forme, son centre, sa dispersion et ses éventuelles valeurs inhabituelles, en les reliant au contexte des données. Pour comparer deux distributions, indiquez en quoi ces caractéristiques diffèrent, chiffres à l’appui.

D’où vient la formule

Forme. Observez le diagramme à points ou l’histogramme : présente-t-il un seul pic ou plusieurs ? La distribution est-elle à peu près symétrique, ou sa queue s’étire-t-elle davantage à droite ou à gauche ? Repérez aussi les intervalles vides et les regroupements. Le coefficient d’asymétrie g₁ quantifie cette asymétrie : il est positif lorsque la queue s’allonge à droite.
$g_1=\frac{\frac1n\sum(x_i-\bar x)^3}{\left(\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\right)^{3/2}}$
Centre. La moyenne est le point d’équilibre des données. Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Une seule valeur extrême peut déplacer fortement la moyenne sans presque modifier la médiane : on dit que la médiane est robuste.
$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad M=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$
Dispersion. L’écart-type s mesure l’ordre de grandeur des écarts à la moyenne. Son calcul utilise le diviseur n − 1, car la somme des écarts à x̄ est nécessairement nulle. L’écart interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale des valeurs et, comme la médiane, résiste aux valeurs extrêmes. L’étendue ne dépend que du minimum et du maximum.
$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}},\qquad\sum(x_i-\bar x)=0$
Valeurs inhabituelles. Une valeur est atypique si elle se situe à plus de 1,5 fois l’écart interquartile au-dessous de Q₁ ou au-dessus de Q₃. Une valeur située exactement sur une borne n’est pas atypique.
$x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$
Choisissez les indicateurs adaptés à la forme. Pour une distribution à peu près symétrique et sans valeur atypique, donnez la moyenne et s. Si elle est asymétrique ou comporte des valeurs atypiques, donnez la médiane et l’écart interquartile. Pour comparer deux groupes, utilisez les mêmes indicateurs et la même échelle ; précisez lequel est le plus élevé et de combien.

Suppose: Les quartiles dépendent de la méthode de calcul. Trois méthodes sont proposées ici : celle des demi-séries de la TI-84 et les types 7 et 6 de Hyndman et Fan, utilisés par défaut respectivement dans R et dans Minitab et SPSS. Elles peuvent donner des résultats différents, quelle que soit la taille de la série.

Problèmes entièrement résolus

Décrire une distribution 3 étapes
Décrivez la distribution des 175 temps d’attente d’Old Faithful après une éruption d’au moins 3 minutes : n = 175, moyenne 79,99, s = 5,99, minimum 64, Q₁ = 76, médiane 80, Q₃ = 84, maximum 96, coefficient d’asymétrie −0,04.

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1. Forme : le diagramme à points présente un seul pic et des queues de longueurs voisines. Le coefficient d’asymétrie est proche de zéro.
  
  $g_1\approx-0.04$
2. Centre et dispersion : la distribution étant à peu près symétrique, la moyenne et l’écart-type la résument bien. Calculez les bornes pour rechercher d’éventuelles valeurs atypiques :
  
  $76-1.5\times8=64,\qquad 84+1.5\times8=96$
3. Les valeurs 64 et 96 sont exactement sur les bornes. Elles ne sont donc pas atypiques.
Réponse

La distribution est unimodale et à peu près symétrique, centrée autour de 80 minutes (moyenne 79,99, médiane 80). L’écart-type est d’environ 6 minutes et les temps d’attente vont de 64 à 96 minutes. Aucune valeur n’est atypique.

$\bar x\approx80,\quad M=80,\quad s\approx6,\quad 64\le x\le96$
Calculer la moyenne et l’écart-type à la main 3 étapes
Neuf élèves ont consacré 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31 et 49 minutes à leurs devoirs. Calculez la moyenne et l’écart-type.

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1. Additionnez les valeurs, puis divisez par n :
  
  $\bar x=\frac{10+15+19+20+23+29+29+31+49}{9}=\frac{225}{9}=25$
2. Élevez au carré chaque écart à la moyenne, puis additionnez ces carrés :
  
  $225+100+36+25+4+16+16+36+576=1034$
3. Divisez par n − 1 = 8, puis prenez la racine carrée :
  
  $s=\sqrt{\frac{1034}{8}}=\sqrt{129.25}\approx11.37$
Réponse

x̄ = 25 minutes, s ≈ 11,37 minutes.

$\bar x=25,\qquad s\approx11.37$
Quels indicateurs résistent aux valeurs atypiques ? 2 étapes
Les 66 mesures de Newcomb ont pour moyenne 26,21, pour écart-type 10,75, pour médiane 27 et pour écart interquartile 7. Sans les deux valeurs atypiques, −44 et −2, les 64 mesures restantes ont pour moyenne 27,75, pour écart-type 5,08, pour médiane 27,5 et pour écart interquartile 6,5. Quels indicateurs ont le plus changé ? Quel couple choisir pour décrire la série complète ?

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1. Comparez chaque indicateur avec et sans les deux valeurs :
  
  $\bar x:\ 26.21\to27.75,\qquad s:\ 10.75\to5.08,\qquad M:\ 27\to27.5,\qquad\mathrm{IQR}:\ 7\to6.5$
2. L’écart-type est réduit de plus de moitié et la moyenne augmente de 1,54. La médiane et l’écart interquartile ne varient chacun que de 0,5. Les valeurs atypiques influencent fortement les indicateurs peu robustes.
Réponse

La moyenne et surtout l’écart-type ont le plus changé. Pour décrire la série complète, qui comprend les deux valeurs atypiques, choisissez la médiane, 27, et l’écart interquartile, 7.

$M=27,\qquad\mathrm{IQR}=7$
Comparer deux distributions 2 étapes
Comparez les temps d’attente après les éruptions courtes (n = 97 : médiane 54, Q₁ 50, Q₃ 59, valeurs de 43 à 71, coefficient d’asymétrie 0,30) et après les éruptions longues (n = 175 : médiane 80, Q₁ 76, Q₃ 84, valeurs de 64 à 96, coefficient d’asymétrie −0,04).

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1. Centre : la différence entre les médianes vaut :
  
  $80-54=26$
2. Dispersion : les écarts interquartiles, de 9 et 8 minutes, sont très proches. Forme : les deux distributions sont unimodales ; celle des temps d’attente après une éruption courte a une queue légèrement plus longue à droite. Valeurs inhabituelles : aucune valeur ne dépasse les bornes dans l’un ou l’autre groupe. Chevauchement :
  
  $Q_1^{\,\mathrm{long}}=76>59=Q_3^{\,\mathrm{short}}$
Réponse

L’attente après une éruption longue est généralement plus longue de 26 minutes (médianes de 80 contre 54). La dispersion est comparable (écarts interquartiles de 8 et 9) et aucun groupe ne présente de valeur atypique. La moitié centrale des temps d’attente après une éruption longue, de 76 à 84, se situe entièrement au-dessus de celle des temps d’attente après une éruption courte, de 50 à 59.

$M_{\mathrm{long}}-M_{\mathrm{short}}=26,\qquad\mathrm{IQR}:\ 8,\ 9$
Les mêmes données, deux méthodes de calcul des quartiles 2 étapes
Pour la série 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49, calculez Q₁ et Q₃ par la méthode des demi-séries, puis par le type 7, h = (n − 1)p + 1. Déterminez dans chaque cas si 49 est une valeur atypique.

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1. Demi-séries : écartez la médiane, 23, puis prenez la médiane de chacun des deux groupes de quatre valeurs :
  
  $Q_1=\frac{15+19}{2}=17,\qquad Q_3=\frac{29+31}{2}=30,\qquad 30+1.5\times13=49.5>49$
2. Type 7 : h = 8 × 0,25 + 1 = 3 et h = 8 × 0,75 + 1 = 7. Q₁ et Q₃ sont donc les valeurs de rangs 3 et 7 :
  
  $Q_1=x_{(3)}=19,\qquad Q_3=x_{(7)}=29,\qquad 29+1.5\times10=44<49$
Réponse

Demi-séries : Q₁ = 17, Q₃ = 30, borne supérieure 49,5 ; 49 n’est pas atypique. Type 7 : Q₁ = 19, Q₃ = 29, borne supérieure 44 ; 49 est atypique.

$49.5>49,\qquad 44<49$
Changer d’unité 2 étapes
Newcomb notait chaque temps t sous la forme d’un code x, avec t = 24,8 + x/1000 en millionièmes de seconde. Les codes ont pour moyenne 26,21, pour écart-type 10,75, pour médiane 27 et pour écart interquartile 7. Calculez ces quatre indicateurs pour t.
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1. Ajouter une constante décale les indicateurs de centre sans modifier la dispersion. Multiplier par une constante positive multiplie les indicateurs de centre et de dispersion par cette constante. Pour le centre :
  
  $24.8+\frac{26.21}{1000}=24.82621,\qquad 24.8+\frac{27}{1000}=24.827$
2. Pour la dispersion, seule la multiplication par 1/1000 intervient :
  
  $\frac{10.75}{1000}=0.01075,\qquad\frac{7}{1000}=0.007$
Réponse

Moyenne 24,82621 et médiane 24,827 millionièmes de seconde ; écart-type 0,01075 et écart interquartile 0,007.

$\bar t=24.82621,\quad M_t=24.827,\quad s_t=0.01075,\quad\mathrm{IQR}_t=0.007$
Quand la moyenne et la médiane contredisent la règle sur la queue 3 étapes
Sur 100 ménages, 38 comptent 1 adulte, 49 en comptent 2, 9 en comptent 3, 3 en comptent 4 et 1 en compte 5. Calculez la moyenne et la médiane, puis indiquez le sens de l’asymétrie.

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1. La moyenne :
  
  $\bar x=\frac{38\cdot1+49\cdot2+9\cdot3+3\cdot4+1\cdot5}{100}=\frac{180}{100}=1.8$
2. La médiane est la moyenne des valeurs de rangs 50 et 51. Les 38 premières valeurs sont égales à 1, et celles de rangs 39 à 87 sont égales à 2 :
  
  $x_{(50)}=x_{(51)}=2\ \Rightarrow\ M=2$
3. La queue s’étire vers la droite, jusqu’à 4 et 5 adultes, et le coefficient d’asymétrie est positif :
  
  $g_1\approx1.2>0,\qquad\bar x=1.8<2=M$
Réponse

Moyenne 1,8, médiane 2, asymétrie à droite (g₁ ≈ 1,2) : la moyenne est inférieure à la médiane alors que la queue la plus longue se trouve à droite.

$\bar x=1.8<M=2,\qquad g_1\approx1.2$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Calculez la moyenne et l’écart-type de la série 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

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x̄ = 5, s ≈ 2,14

$\bar x=5,\qquad s=\sqrt{\tfrac{32}{7}}\approx2.14$
Une série a pour quartiles Q₁ = 12 et Q₃ = 20. Parmi les valeurs 0, 8, 32 et 33, lesquelles sont atypiques ?

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Seule 33 est atypique. Les bornes sont 0 et 32 ; une valeur située sur une borne n’est pas atypique.

$12-1.5\times8=0,\qquad 20+1.5\times8=32<33$
Chaque valeur d’une série est multipliée par 3, puis augmentée de 5. Que deviennent la moyenne, la médiane, l’écart-type et l’écart interquartile ?

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La moyenne et la médiane deviennent 3 × (valeur initiale) + 5 ; l’écart-type et l’écart interquartile sont multipliés par 3.

$\bar x\to3\bar x+5,\quad M\to3M+5,\quad s\to3s,\quad\mathrm{IQR}\to3\,\mathrm{IQR}$
Les notes d’un contrôle présentent une forte asymétrie à gauche, avec deux notes très basses. Quels indicateurs de centre et de dispersion choisir pour les présenter ?

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La médiane et l’écart interquartile.
Pour la série 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49, calculez Q₁ et Q₃ par le type 6, h = (n + 1)p.

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Q₁ = 17, Q₃ = 30

$h=2.5:\ 15+0.5\,(19-15)=17,\qquad h=7.5:\ 29+0.5\,(31-29)=30$

À Old Faithful, deux bosses pour deux types d’éruptions

Cliquez sur Old Faithful, par durée. L’histogramme des 272 temps d’attente présentait deux bosses. Ici, ces mêmes temps sont répartis selon la durée de l’éruption précédente. Après une éruption de moins de 3 minutes, la moitié centrale des temps d’attente se situe entre 50 et 59 minutes. Après une éruption plus longue, elle se situe entre 76 et 84. Les deux boîtes ne se chevauchent pas du tout. Si vous tracez séparément l’histogramme de chaque groupe, avec des classes de 5 minutes, chacun ne présente qu’une bosse. La seconde bosse provenait donc d’un second groupe, réuni au premier dans un même histogramme. Face à une distribution à deux pics, cherchez ce qui distingue les groupes. Ici, il suffit de chronométrer l’éruption elle-même.

Deux outils, deux verdicts pour la même valeur 49

Cliquez sur Devoirs, demi-séries. Une TI-84 donne Q₁ = 17 et Q₃ = 30. La borne supérieure vaut 49,5 : le temps le plus long, 49, reste juste en deçà. Cliquez sur Devoirs, type 7, la méthode utilisée par défaut dans R. Avec Q₁ = 19 et Q₃ = 29, la borne descend à 44 et la même valeur 49 devient atypique. Les neuf nombres sont identiques ; seul le logiciel a changé. En 1996, Hyndman et Fan ont comparé neuf définitions des quantiles d’échantillon utilisées dans les logiciels statistiques. Certains logiciels employaient même une méthode pour calculer un quartile et une autre pour tracer leurs propres boîtes à moustaches. Avec neuf valeurs, le choix de la méthode suffit à changer le verdict. Indiquez donc les quartiles utilisés en plus de votre conclusion.

Une asymétrie à droite, une moyenne inférieure à la médiane

Selon une règle courante dans les manuels, la moyenne se situe du côté de la queue la plus longue. Cliquez sur Adultes par ménage : la queue s’étire vers la droite, jusqu’aux ménages de quatre et cinq adultes. Le coefficient d’asymétrie vaut +1,2. Pourtant, la moyenne, 1,8, est inférieure à la médiane, 2. En 2005, Paul von Hippel a relevé cette règle dans 14 manuels d’introduction sur 18. Il a aussi montré qu’elle échouait pour les données de la General Social Survey de 2002, dont ces ménages fictifs reproduisent la répartition : 38 % sous la médiane, 49 % exactement à la médiane et 13 % au-dessus. La moyenne tient compte du grand nombre de valeurs à gauche ; les quelques valeurs élevées à droite pèsent fortement sur le coefficient d’asymétrie, car les écarts y sont élevés au cube. Avec des données discrètes dont beaucoup de valeurs sont égales à la médiane, appuyez-vous sur le graphique pour décrire la forme de la distribution.

Parcours

Statistiques : des données aux proportions

Références (6)

Insight block 3 and solved problem 7: the textbook rule that the mean lies towards the long tail, found in 14 of 18 introductions, failing for adults per US household in the 2002 General Social Survey (skewness 1.11, 38% of cases below the median, 49% at it, 13% above), and why discrete data break it: von Hippel, P. T. (2005). Mean, median, and skew: Correcting a textbook rule. Journal of Statistics Education, 13(2).
Insight block 2: the definitions of sample quantiles in use in statistical packages, compared, and the observation that one package can use one definition for a quantile and another for its boxplot: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
Types 6 and 7 as the page computes them: type 7 is R's default, type 6 is the one Minitab and SPSS use: R Core Team. quantile: Sample Quantiles. R stats package documentation.
A standard AP Statistics text showing the TI-83/84 and Minitab giving different quartiles for the same data, and the TI-83/84's 1-Var Stats as the five-number summary: Starnes, D. S. & Tabor, J. The Practice of Statistics, 7th edition. New York: Bedford, Freeman & Worth, 2024; page 75.
Old Faithful's waits and eruption lengths, split at 3 minutes for the first preset; R documents the waiting column as the time to the next eruption: R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Newcomb's 66 timings and the code t = 24.8 + x/1000 millionths of a second used in solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

Décrire une distribution

D’où vient la formule

Exercices supplémentaires, réponses seules

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Deux outils, deux verdicts pour la même valeur 49 🖖

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