Inférence pour deux proportions

Indiquez le nombre de succès et la taille de l’échantillon pour chaque groupe, puis choisissez l’hypothèse alternative, le niveau de confiance et α. Le graphique supérieur représente la loi d’échantillonnage de p̂₁ − p̂₂ sous l’hypothèse p₁ = p₂, avec la p-valeur hachurée ; au-dessous, sur la même échelle, figure l’intervalle de confiance pour p₁ − p₂.

Écart-type de p̂₁ − p̂₂	$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$
Intervalle de confiance	$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}$
Statistique de test (combinée)	$z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},\quad\hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Exemple résolu — Inférence pour deux proportions

Proportion observée p̂₁	0,18
Proportion observée p̂₂	0,1
Différence p̂₁ − p̂₂	0,08
Proportion combinée p̂c	0,116
Statistique de test z	2,23
p-valeur	0,0255
p-valeur exacte de Fisher	0,0464
Valeur critique z* pour 95%	1,96

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Inférence pour deux proportions

L’inférence pour deux proportions compare p₁ et p₂, les taux de succès de deux populations ou de deux traitements, au moyen de la différence p̂₁ − p̂₂ : un intervalle de confiance estime p₁ − p₂, et un test de signification évalue l’hypothèse H₀ : p₁ = p₂.

D’où vient la formule

La loi d’échantillonnage de p̂₁ − p̂₂. Lors d’échantillonnages aléatoires indépendants et répétés, la moyenne de p̂₁ − p̂₂ vaut p₁ − p₂. L’indépendance des échantillons permet d’additionner leurs variances : les écarts-types se combinent donc sous une racine carrée, jamais par simple addition. La distribution est proche d’une loi normale dès lors que n₁p₁, n₁(1 − p₁), n₂p₂ et n₂(1 − p₂) valent tous au moins 10.
$\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad\sigma^2_{\hat p_1-\hat p_2}=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}$
Vérifiez les conditions d’application. Échantillonnage aléatoire : deux échantillons aléatoires indépendants, ou deux groupes constitués par assignation aléatoire lors d’une expérience. Règle des 10 % : sans remise, chaque échantillon ne doit pas dépasser le dixième de sa population ; lors d’une assignation aléatoire, il n’y a pas de population parente et cette condition ne s’applique pas. Grands effectifs : pour un intervalle, au moins 10 succès et 10 échecs dans chaque groupe ; pour un test, les quatre effectifs théoriques calculés à partir de la proportion combinée doivent valoir au moins 10.
$\begin{aligned}&n_1\le0.1\,N_1,\quad n_2\le0.1\,N_2\\&x_i\ge10,\quad n_i-x_i\ge10\\&n_i\hat p_c\ge10,\quad n_i(1-\hat p_c)\ge10\end{aligned}$
L’intervalle de confiance. Il s’écrit (p̂₁ − p̂₂) ± z* multiplié par l’erreur type, calculée en conservant la proportion propre à chaque groupe, car l’intervalle ne fait aucune supposition sur l’égalité de p₁ et p₂. S’il contient 0, une différence nulle reste plausible ; s’il se situe entièrement au-dessus ou en dessous de 0, il apporte une preuve convaincante d’une différence dans ce sens.
$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\,SE,\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576$
Le test d’hypothèse. Posez H₀ : p₁ = p₂ face à l’alternative choisie. Si H₀ est vraie, les deux échantillons estiment une seule et même proportion : le test les regroupe donc en une proportion combinée p̂c et calcule l’écart-type de p̂₁ − p̂₂ à partir de p̂c uniquement. La statistique z mesure l’écart observé en unités de cet écart-type, et la p-valeur est la probabilité, sous H₀, d’observer une différence au moins aussi marquée dans le sens de Hₐ.
$H_0:\ p_1=p_2\ \Rightarrow\ \hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad\sigma_0=\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}$
Concluez et délimitez la portée des résultats. Comparez la p-valeur à α et formulez votre conclusion dans le contexte du problème. Précisez ensuite ce que le protocole autorise : l’assignation aléatoire permet d’affirmer que le traitement est la cause de la différence observée, tandis que l’échantillonnage aléatoire permet de généraliser aux populations sources. Deux échantillons aléatoires dans une étude d’observation peuvent révéler une divergence entre deux populations, mais ne sauraient en expliquer la cause.

Suppose: Le modèle normal approche deux lois binomiales. Lorsque la condition des grands effectifs n’est pas remplie, l’outil affiche la p-valeur exacte de Fisher : en considérant le nombre total de succès comme fixé, ce test calcule la probabilité qu’une répartition aléatoire des n₁ + n₂ individus attribue au moins x₁ succès au groupe 1. Sa version bilatérale double la queue de distribution la plus petite.

Problèmes entièrement résolus

La loi d’échantillonnage de p̂₁ − p̂₂ 3 étapes
Dans une grande ville, 30 % des adultes et 20 % des adolescents déclarent lire un journal. On prélève des échantillons aléatoires et indépendants de 100 adultes et 150 adolescents. Décrivez la loi d’échantillonnage de p̂₁ − p̂₂ et calculez la probabilité que la proportion observée chez les adultes soit inférieure à celle des adolescents.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. L’espérance et l’écart-type découlent directement des deux proportions et des deux tailles d’échantillon :
  
  $\begin{aligned}\mu_{\hat p_1-\hat p_2}&=0.3-0.2=0.1\\\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{100}+\frac{0.2\,(0.8)}{150}}\\&\approx0.0563\end{aligned}$
2. La distribution est approximativement normale, car les quatre effectifs théoriques atteignent au moins 10 :
  
  $\begin{aligned}&100\,(0.3)=30,\quad100\,(0.7)=70\\&150\,(0.2)=30,\quad150\,(0.8)=120\end{aligned}$
3. La proportion observée chez les adultes est la plus faible dès lors que p̂₁ − p̂₂ est strictement inférieur à 0 :
  
  $\begin{aligned}P(\hat p_1-\hat p_2<0)&=P\!\left(Z<\frac{0-0.1}{0.0563}\right)\\&=P(Z<-1.78)\approx0.038\end{aligned}$
Réponse

Distribution approximativement normale, de moyenne 0,1 et d’écart-type 0,0563. La probabilité que la proportion observée chez les adultes soit inférieure à celle des adolescents est d’environ 0,038.

$\begin{aligned}&\hat p_1-\hat p_2\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.0563)\\&P(\hat p_1<\hat p_2)\approx0.038\end{aligned}$
Construction d’un intervalle de confiance 3 étapes
Dans un échantillon aléatoire de 300 adultes d’une première ville, 168 soutiennent l’interdiction des voitures en centre-ville ; dans un échantillon aléatoire de 350 adultes d’une seconde ville, 140 y sont favorables. Construisez et interprétez un intervalle de confiance à 95 % pour la différence entre les proportions des deux villes.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Conditions : deux échantillons aléatoires indépendants ; chaque ville compte bien plus que les 3 000 et 3 500 adultes nécessaires pour que l’échantillon ne dépasse pas 10 % de la population ; les effectifs 168, 132, 140 et 210 sont tous supérieurs ou égaux à 10. Les deux proportions observées :
  
  $\hat p_1=\frac{168}{300}=0.56,\qquad\hat p_2=\frac{140}{350}=0.4$
2. L’erreur type, calculée avec la proportion propre à chaque ville :
  
  $\begin{aligned}SE&=\sqrt{\frac{0.56\,(0.44)}{300}+\frac{0.4\,(0.6)}{350}}\\&\approx0.0388\end{aligned}$
3. Multipliez par z* = 1,96, puis retranchez et ajoutez la marge d’erreur :
  
  $0.16\pm1.96\,(0.0388)=0.16\pm0.076$
Réponse

(0,084 ; 0,236). Nous pouvons affirmer avec un niveau de confiance de 95 % que la proportion d’adultes favorables à cette interdiction est supérieure de 8,4 à 23,6 points de pourcentage dans la première ville par rapport à la seconde.

$(0.084,\ 0.236)$
Évaluer une affirmation à l’aide d’un intervalle 2 étapes
Parmi des échantillons aléatoires de clients, 45 sur 150 au magasin A et 52 sur 200 au magasin B ont retourné un article. La direction soutient que les taux de retour diffèrent entre les deux magasins. Évaluez cette affirmation à l’aide d’un intervalle de confiance à 95 %.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. La différence observée et son erreur type :
  
  $\begin{aligned}\hat p_1-\hat p_2&=0.3-0.26=0.04\\SE&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{150}+\frac{0.26\,(0.74)}{200}}\\&\approx0.0486\end{aligned}$
2. L’intervalle obtenu et la position de 0 :
  
  $\begin{aligned}0.04\pm1.96\,(0.0486)&=0.04\pm0.095\\&=(-0.055,\ 0.135)\end{aligned}$
Réponse

L’intervalle (−0,055 ; 0,135) contient 0 : une différence nulle demeure donc une valeur plausible. Les données n’apportent pas de preuve convaincante que les taux de retour diffèrent.

$0\in(-0.055,\ 0.135)$
Un test bilatéral dans le cadre d’une expérience 3 étapes
200 volontaires ont été répartis au hasard en deux groupes de 100. L’un des groupes a reçu un rappel par SMS : 62 de ses membres se sont fait vacciner contre la grippe, contre 45 dans l’autre groupe. Testez au seuil de 5 % si le rappel a un effet notable, puis précisez ce que la conclusion autorise et à quelle erreur elle vous expose.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Hypothèses : H₀ : p₁ = p₂, Hₐ : p₁ ≠ p₂. Conditions : assignation aléatoire ; les effectifs théoriques de 53,5 et 46,5 dans chaque groupe sont supérieurs ou égaux à 10. Sous H₀, les deux groupes partagent une proportion unique :
  
  $\begin{aligned}&\hat p_c=\frac{62+45}{100+100}=0.535\\&100\,(0.535)=53.5\\&100\,(0.465)=46.5\end{aligned}$
2. La statistique de test, avec l’écart-type issu de la proportion combinée :
  
  $\begin{aligned}z&=\frac{0.62-0.45}{\sqrt{0.535\,(0.465)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\right)}}\\&=\frac{0.17}{0.0705}\approx2.41\end{aligned}$
3. La p-valeur bilatérale :
  
  $P=2\,P(Z\ge2.41)\approx0.016$
Réponse

p = 0,016 < 0,05, d’où le rejet de H₀ : nous disposons d’une preuve convaincante que le rappel modifie la proportion de personnes vaccinées. Les groupes ayant été constitués par assignation aléatoire, le rappel est bien la cause de la différence constatée ; s’agissant de volontaires, la conclusion ne s’applique qu’à des profils similaires. Si le rappel n’a en réalité aucun effet, cette conclusion constitue une erreur de première espèce.

$P\approx0.016<0.05$
Un test unilatéral sur des données d’observation 3 étapes
Une circonscription scolaire compte 2 600 élèves qui jouent d’un instrument de musique et 7 400 qui n’en jouent pas. On prélève des échantillons aléatoires de 200 musiciens et 180 non-musiciens. 26 élèves du premier groupe et 18 du second figurent au tableau d’honneur. Y a-t-il une preuve convaincante, au seuil α = 0,05, qu’une proportion plus élevée de musiciens accède au tableau d’honneur ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Hypothèses : H₀ : p₁ = p₂, Hₐ : p₁ > p₂. Conditions : deux échantillons aléatoires indépendants ; 200 représente moins d’un dixième de 2 600, et 180 moins d’un dixième de 7 400 ; effectifs théoriques de 23,2, 176,8, 20,8 et 159,2. La proportion combinée :
  
  $\hat p_c=\frac{26+18}{200+180}\approx0.1158$
2. La statistique de test :
  
  $\begin{aligned}z&=\frac{0.13-0.1}{\sqrt{0.1158\,(0.8842)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{180}\right)}}\\&=\frac{0.03}{0.0329}\approx0.91\end{aligned}$
3. La p-valeur unilatérale :
  
  $P=P(Z\ge0.91)\approx0.181$
Réponse

p = 0,181 ≥ 0,05 : on ne peut pas rejeter H₀. Rien ne prouve de façon convaincante que les musiciens figurent plus souvent au tableau d’honneur. Même une faible p-valeur n’aurait pas suffi à démontrer que la musique améliore les résultats scolaires : il s’agit d’une observation sur deux échantillons, non d’une assignation expérimentale.

$P\approx0.181\ge0.05$
Quand les effectifs sont insuffisants : le test exact de Fisher 2 étapes
Lors d’une étude pilote, 20 patients ont été répartis au hasard, 10 recevant un nouveau médicament et 10 un placebo. L’état de 5 patients traités s’est amélioré, contre 1 seul sous placebo. Le test z est-il approprié ? Déterminez la p-valeur exacte sous Hₐ : p₁ > p₂.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. La condition des grands effectifs n’est pas satisfaite pour le test :
  
  $\hat p_c=\frac{5+1}{20}=0.3,\qquad10\,(0.3)=3<10$
2. Si le médicament n’a aucun effet, les 6 patients rétablis l’auraient été de toute façon, et seule l’assignation aléatoire a déterminé combien se sont retrouvés dans le groupe traité. La probabilité d’en observer 5 ou 6 dans ce groupe :
  
  $\begin{aligned}P(X_1\ge5)&=\frac{\binom{10}{5}\binom{10}{1}+\binom{10}{6}\binom{10}{0}}{\binom{20}{6}}\\&=\frac{2520+210}{38760}\approx0.070\end{aligned}$
Réponse

Non : les effectifs théoriques de chaque groupe sont de 3 et 7. La p-valeur exacte s’élève à 0,070, contre 0,025 par l’approximation normale. Cette étude pilote ne fournit donc pas de preuve convaincante au seuil de 5 %.

$P_{\mathrm{exact}}\approx0.070,\quad P_{\mathrm{normal}}\approx0.025$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Pour les effectifs de 168 sur 300 et 140 sur 350 des deux villes, calculez un intervalle de confiance à 90 % pour la différence de proportions.

Afficher la réponse

(0,096 ; 0,224)

$\begin{aligned}0.16\pm1.645\,(0.0388)&=0.16\pm0.064\\&=(0.096,\ 0.224)\end{aligned}$
Reprenez le test du vaccin antigrippal (62 sur 100 contre 45 sur 100) au seuil α = 0,01. Quelle est la décision et quel type d’erreur risque-t-on de commettre ?

Afficher la réponse

p = 0,016 ≥ 0,01 : on ne rejette pas H₀. Si le rappel a réellement un effet, il s’agit d’une erreur de deuxième espèce.

$P\approx0.016\ge0.01$
Pourquoi le test regroupe-t-il les deux échantillons alors que l’intervalle s’en garde ?

Afficher la réponse

Le test se place sous l’hypothèse que H₀ est vraie. Or, sous H₀, les deux échantillons estiment une proportion identique : les regrouper fournit donc la meilleure estimation possible. L’intervalle évalue p₁ − p₂ sans présumer de leur égalité, si bien que chaque groupe conserve sa propre proportion p̂.
À l’aide de l’approximation z ≈ (a − b)/√(a + b), estimez z pour l’essai vaccinal comptant 8 cas contre 162.

Afficher la réponse

z ≈ −11,8

$z\approx\frac{8-162}{\sqrt{170}}\approx-11.8$
Un intervalle de confiance à 95 % pour p₁ − p₂ est (−0,12 ; −0,03). Que nous apprend-il sur les deux proportions ?

Afficher la réponse

0 n’en fait pas partie : nous avons la preuve convaincante que p₁ est inférieure à p₂, avec un écart compris entre 3 et 12 points de pourcentage.

$0\notin(-0.12,\ -0.03)$
Des échantillons aléatoires de 400 fumeurs et 400 non-fumeurs font apparaître une proportion de toux nettement plus élevée chez les fumeurs, avec p < 0,0001. Cette étude démontre-t-elle que le tabagisme cause la toux ?

Afficher la réponse

Pas à elle seule : il s’agit d’une étude d’observation. Elle montre que les deux populations diffèrent, mais une variable confondante pourrait expliquer cet écart. Seule une assignation aléatoire permettrait d’établir un lien de causalité, et forcer des individus à fumer serait contraire à l’éthique.
Pour 40 sur 100 contre 27 sur 100, la statistique du khi-deux du tableau 2 × 2 vaut 3,793. Retrouvez la statistique z du test de deux proportions sans recalculer sa formule.

Afficher la réponse

z = √3,793 ≈ 1,95, valeur positive car p̂₁ = 0,4 est la proportion la plus élevée

$z=\sqrt{3.793}\approx1.95$

À effectifs égaux, seul l’intervalle peut se montrer plus audacieux

Cliquez sur 18 sur 100 contre 40 sur 400. Le test rejette l’égalité p₁ = p₂ avec p = 0,0255, alors même que l’intervalle à 95 % pour p₁ − p₂, allant de −0,0008 à 0,1608, contient 0. Cliquez à présent sur 40 sur 100 contre 27 sur 100 : cette fois, l’intervalle (de 0,0004 à 0,2596) exclut 0, tandis que le test conserve H₀ avec p = 0,0515. Le test exact de Fisher s’accorde chaque fois avec le test z (0,0464 et 0,0718) : l’approximation normale n’est donc nullement en cause. En réalité, les deux méthodes évaluent le même écart mais lui appliquent des erreurs types différentes. Le test suppose H₀ vraie ; il rassemble donc les deux échantillons en une proportion unique, égale à 0,116 dans le premier exemple. L’intervalle, lui, ne présume de rien et laisse à chaque groupe sa variance propre. Dans le premier cas, la proportion de 0,18 du petit échantillon pèse très lourd dans la variance non combinée ; le regroupement la dilue en lui substituant une valeur tirée vers le bas par les 400 individus. En revanche, lorsque les deux effectifs coïncident, la variance combinée surpasse la variance non combinée d’exactement (p̂₁ − p̂₂)²/(2n). L’étalon du test n’est donc jamais plus court que celui de l’intervalle : seul l’intervalle peut exclure 0 quand le test conserve H₀. La situation inverse, elle, exige obligatoirement des groupes de tailles inégales.

z² est la statistique du khi-deux de ce même tableau

Disposez les effectifs de 18 sur 100 contre 40 sur 400 sous la forme d’un tableau 2 × 2 croisant succès et échecs : 18 et 82 d’une part, 40 et 360 d’autre part. Sa statistique du khi-deux (la somme des (O − E)²/E calculée sans correction de continuité) s’élève à 4,993. Or, z² vaut exactement la même chose, puisque z est égal à 2,2345 avant arrondi. Cette identité se vérifie pour n’importe quel tableau et découle directement du calcul combiné : le test du khi-deux détermine ses effectifs théoriques à partir de la proportion globale, qui n’est autre que p̂c. En revanche, le z calculé avec l’erreur type de l’intervalle (0,08/0,0412 = 1,94) donne un carré de 3,76 qui ne correspond à rien. Les p-valeurs coïncident elles aussi : 0,0255 des deux côtés, car le carré d’une variable normale centrée réduite suit précisément une loi du khi-deux à un degré de liberté. L’élévation au carré faisant disparaître le signe, le test du khi-deux sur un tableau 2 × 2 ne peut répondre qu’à une hypothèse bilatérale. Entrez ces quatre effectifs dans la page dédiée au khi-deux sous la forme d’un tableau à 2 lignes et 2 colonnes : l’outil affichera ce même 4,993.

Dans l’essai vaccinal, la preuve tenait à 170 cas, non à 43 448 personnes

Cliquez sur Essai de vaccin, 2020. Lors de l’essai du vaccin Pfizer–BioNTech, 21 720 personnes ont reçu le vaccin et 21 728 un placebo ; les chercheurs ont dénombré 8 cas de Covid-19 dans le premier groupe contre 162 dans le second (Polack et ses collègues, 2020). L’écart entre les proportions est inférieur à un point de pourcentage, et pourtant z = −11,83. Avec deux groupes d’effectifs comparables, la statistique de test peut se réécrire exactement sous la forme z = (a − b)/√((a + b)(1 − p̂c)), où a et b désignent les nombres de cas respectifs. Pour un événement rare, le dernier terme est très proche de 1, d’où z ≈ (8 − 162)/√170 = −11,8. L’effectif total a tout simplement disparu du calcul. Dix fois plus de volontaires avec ces mêmes 8 et 162 cas donneraient quasiment le même z ; à l’inverse, ce même nombre de volontaires avec 85 cas dans chaque groupe aboutirait à z = 0. (La publication scientifique restreignait son décompte aux participants indemnes d’infection préalable, un effectif un peu inférieur à ce total, mais pour cette raison précise, la valeur de z n’en est guère modifiée.) Un essai portant sur un événement rare exige des dizaines de milliers de personnes uniquement pour parvenir à observer un nombre suffisant de cas.

Parcours

Statistiques : des données aux proportions

Références (2)

Insight block 3 and the vaccine preset: 21,720 people received the BNT162b2 vaccine and 21,728 a placebo, and 8 cases of Covid-19 were counted in the first group against 162 in the second, at least 7 days after the second dose: Polack, F. P., Thomas, S. J., Kitchin, N. et al. (2020). Safety and efficacy of the BNT162b2 mRNA Covid-19 vaccine. New England Journal of Medicine, 383(27), 2603–2615.
Fisher's exact test, which the page prints beside the z-test: it conditions on both margins of the 2 × 2 table, so the count in one cell is hypergeometric, and a large-sample approximation is unnecessary when the exact distribution can be computed: Agresti, A. (1992). A survey of exact inference for contingency tables. Statistical Science, 7(1), 131–153.

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

Inférence pour deux proportions

D’où vient la formule

Exercices supplémentaires, réponses seules

À effectifs égaux, seul l’intervalle peut se montrer plus audacieux 🖖

z² est la statistique du khi-deux de ce même tableau 🖖

Dans l’essai vaccinal, la preuve tenait à 170 cas, non à 43 448 personnes 🖖

À effectifs égaux, seul l’intervalle peut se montrer plus audacieux

z² est la statistique du khi-deux de ce même tableau

Dans l’essai vaccinal, la preuve tenait à 170 cas, non à 43 448 personnes