Représenter des données

Saisissez des nombres ou choisissez une série de données. Le diagramme à points, l’histogramme et le diagramme en boîte partagent la même échelle : chaque valeur y occupe donc la même position. Le diagramme en tiges et feuilles et le tableau des effectifs figurent en dessous. Pour obtenir un diagramme en barres, passez aux données qualitatives.

Fréquence relative	$\frac{f}{n}$
Écart interquartile	$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$
Valeur aberrante	$\begin{aligned}&x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Exemple résolu — Représenter des données

Nombre de valeurs	25
Minimum	47
Premier quartile Q₁	53
Médiane M	74
Troisième quartile Q₃	83,5
Maximum	88
Écart interquartile	30,5
Borne inférieure	7,25

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Représenter des données

La distribution d’une variable indique les valeurs qu’elle prend et la fréquence de chacune. Une variable qualitative associe chaque individu à une catégorie ; une variable quantitative lui associe un nombre sur lequel les opérations arithmétiques ont un sens.

D’où vient la formule

Déterminez la nature de la variable. Pour des catégories, comptez les effectifs et tracez un diagramme en barres. Pour des données numériques, utilisez un axe gradué. Un nombre qui sert seulement d’étiquette, comme un code postal ou un numéro de maillot, correspond à une variable qualitative.
Comptez les effectifs. L’effectif f d’une catégorie ou d’une classe est le nombre d’individus qui lui appartiennent. Sa fréquence relative est f divisé par le nombre total d’individus n. La somme des fréquences relatives vaut 1 ; en les additionnant au fur et à mesure, vous obtenez les fréquences relatives cumulées.
$\frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\dots+\frac{f_k}{n}=1$
Conservez chaque valeur : diagramme à points et diagramme en tiges et feuilles. Le diagramme à points place un point par valeur au-dessus d’un axe gradué et empile les points de même valeur. Le diagramme en tiges et feuilles sépare chaque valeur en une tige (tous les chiffres sauf le dernier) et une feuille (le dernier chiffre) : 47 s’écrit ainsi 4 | 7. L’unité des feuilles u précise ce que représente chaque feuille ; avec u = 0,1, la même écriture 4 | 7 représente 4,7.
$x=(10s+\ell)\,u$
Regroupez les valeurs en classes : l’histogramme. Choisissez une largeur w et une borne de départ a. Chaque classe comprend sa borne gauche et exclut sa borne droite ; la hauteur de sa barre est égale à son effectif. Les classes se succèdent sans intervalle vide sur l’axe numérique, donc les barres se touchent.
$[a+jw,\ a+(j+1)w),\qquad j=0,1,2,\dots$
Résumez les données en cinq nombres : le diagramme en boîte. Triez les données. La médiane M est la valeur centrale, ou la moyenne des deux valeurs centrales lorsque n est pair. Q₁ et Q₃ sont les médianes des moitiés inférieure et supérieure ; lorsque n est impair, excluez M de ces deux moitiés. La boîte s’étend de Q₁ à Q₃. Toute valeur située à plus de 1,5 fois l’écart interquartile au-delà de la boîte est représentée séparément comme valeur aberrante. Chaque moustache s’arrête à la valeur la plus éloignée qui ne soit pas aberrante.
$\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1,\qquad x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$

Suppose: Les calculatrices n’utilisent pas toutes la même définition des quartiles. Cette page suit la méthode des deux moitiés, utilisée par la TI-84 et dans le cours AP Statistics. Les fonctions des tableurs procèdent par interpolation entre les valeurs et peuvent donner d’autres valeurs de Q₁ et Q₃ pour les mêmes données.

Problèmes entièrement résolus

Variable qualitative ou quantitative ? 2 étapes
Pour chaque élève, un établissement relève (a) le nombre de frères et sœurs, (b) la taille en centimètres, (c) la matière préférée, (d) le code postal et (e) le temps mis pour courir 100 m. Quelles variables sont qualitatives ? Lesquelles sont quantitatives ? Parmi ces dernières, lesquelles sont discrètes ?
1. Demandez-vous si calculer une moyenne aurait un sens. C’est le cas pour la taille ou le nombre de frères et sœurs. En revanche, une moyenne des matières préférées ou des codes postaux ne signifie rien, même si les codes postaux s’écrivent avec des chiffres.
2. Parmi les variables quantitatives, un dénombrement ne peut prendre que des valeurs entières, tandis qu’une mesure peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle.
Réponse

Variables qualitatives : (c) et (d). Variables quantitatives : (a), (b) et (e). La variable (a) est discrète ; (b) et (e) sont continues.
Tableau des effectifs et diagramme en barres 3 étapes
Vingt élèves ont répondu à la question « Comment allez-vous habituellement à l’école ? » : voiture, bus, à pied, voiture, vélo, bus, voiture, à pied, voiture, bus, voiture, vélo, à pied, voiture, bus, voiture, à pied, voiture, bus, voiture. Dressez un tableau des effectifs et des fréquences relatives, donnez le mode et indiquez quel graphique convient.

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1. Comptez les occurrences de chaque réponse. La somme des effectifs doit être égale à n :
  
  $f_{\mathrm{car}}=9,\quad f_{\mathrm{bus}}=5,\quad f_{\mathrm{walk}}=4,\quad f_{\mathrm{bike}}=2,\qquad 9+5+4+2=20$
2. Divisez chaque effectif par n = 20 :
  
  $\frac{9}{20}=0.45,\qquad\frac{5}{20}=0.25,\qquad\frac{4}{20}=0.20,\qquad\frac{2}{20}=0.10$
3. Le mode de déplacement est une variable qualitative. Tracez donc un diagramme en barres, avec une barre par réponse et un espace entre les barres, dans l’ordre qui rend la lecture la plus claire.
Réponse

Voiture 9 (45 %), bus 5 (25 %), à pied 4 (20 %), vélo 2 (10 %). Le mode est la voiture. Le graphique adapté est un diagramme en barres.

$\mathrm{mode}=\mathrm{car},\qquad\frac{f}{n}=45\%$
Lire un diagramme à points 2 étapes
Le diagramme à points des 25 premiers délais entre les éruptions d’Old Faithful représente les valeurs suivantes, en minutes : 47, 47, 51, 51, 52, 52, 54, 54, 55, 62, 62, 69, 74, 74, 78, 78, 79, 79, 83, 84, 84, 85, 85, 85, 88. Quelle proportion des délais dépasse 80 minutes ? Où les valeurs se regroupent-elles ?

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1. Comptez les points à droite de 80 : 83, 84, 84, 85, 85, 85 et 88.
  
  $\frac{7}{25}=0.28$
2. Observez la répartition : les points se concentrent de 47 à 55 et de 74 à 88. Entre ces deux groupes, seules les valeurs 62, 62 et 69 apparaissent.
Réponse

7 délais sur 25, soit 28 %, dépassent 80 minutes. Deux groupes se détachent, de 47 à 55 et de 74 à 88, avec trois délais entre les deux.

$\frac{7}{25}=28\%$
Lire les quartiles dans un diagramme en tiges et feuilles 3 étapes
Tracez un diagramme en tiges et feuilles des mêmes 25 délais, puis utilisez-le pour déterminer la médiane et les quartiles.

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1. Les tiges sont les chiffres des dizaines, de 4 à 8 ; les feuilles sont les chiffres des unités, rangés dans l’ordre croissant :
  
  $\begin{array}{r|l}4&7\,7\\5&1\,1\,2\,2\,4\,4\,5\\6&2\,2\,9\\7&4\,4\,8\,8\,9\,9\\8&3\,4\,4\,5\,5\,5\,8\end{array}$
2. Avec n = 25, la médiane correspond à la 13ᵉ feuille en comptant depuis le haut :
  
  $M=x_{(13)}=74$
3. Écartez la médiane. La moitié inférieure comprend les 12 premières valeurs : Q₁ est donc la moyenne des 6ᵉ et 7ᵉ. La moitié supérieure comprend les 12 dernières : Q₃ est la moyenne des 19ᵉ et 20ᵉ valeurs de la série complète :
  
  $Q_1=\frac{x_{(6)}+x_{(7)}}{2}=\frac{52+54}{2}=53,\qquad Q_3=\frac{x_{(19)}+x_{(20)}}{2}=\frac{83+84}{2}=83.5$
Réponse

M = 74 minutes, Q₁ = 53 et Q₃ = 83,5.

$M=74,\qquad Q_1=53,\qquad Q_3=83.5$
Histogramme et classe contenant la médiane 3 étapes
Regroupez les mêmes 25 délais en classes de 10 minutes à partir de 40. Donnez la fréquence relative et la fréquence relative cumulée de chaque classe, puis indiquez celle qui contient la médiane.

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1. Comptez les valeurs dans les classes [40 ; 50[, [50 ; 60[, et ainsi de suite. Une valeur égale à une borne, comme 50, appartiendrait à la classe située à sa droite :
  
  $f=2,\ 7,\ 3,\ 6,\ 7,\qquad 2+7+3+6+7=25$
2. Divisez les effectifs par 25, puis additionnez les fréquences au fur et à mesure :
  
  $\frac{f}{25}=0.08,\ 0.28,\ 0.12,\ 0.24,\ 0.28;\qquad\sum\frac{f}{25}=0.08,\ 0.36,\ 0.48,\ 0.72,\ 1$
3. La médiane est la 13ᵉ valeur. L’effectif cumulé atteint 12 à la fin de [60 ; 70[ et 18 à la fin de [70 ; 80[. La 13ᵉ valeur se trouve donc dans [70 ; 80[.
  
  $2+7+3=12<13\le 2+7+3+6=18$
Réponse

Fréquences relatives : 8 %, 28 %, 12 %, 24 %, 28 % ; fréquences relatives cumulées : 8 %, 36 %, 48 %, 72 %, 100 %. La médiane appartient à [70 ; 80[.

$M\in[70,\ 80)$
Bornes, valeurs aberrantes et moustaches 3 étapes
Pour les 66 mesures du temps de parcours de la lumière réalisées par Newcomb, Q₁ = 24, M = 27 et Q₃ = 31. Les plus petites valeurs sont −44, −2, 16 et 16 ; les plus grandes sont 37, 39 et 40. Déterminez les bornes et les valeurs aberrantes, puis indiquez où s’arrêtent les moustaches du diagramme en boîte.

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1. Calculez l’écart interquartile, puis les bornes situées à 1,5 fois cet écart au-delà de la boîte :
  
  $\mathrm{IQR}=31-24=7,\qquad 24-1.5\times7=13.5,\qquad 31+1.5\times7=41.5$
2. Toute valeur inférieure à 13,5 ou supérieure à 41,5 est aberrante. −44 et −2 sont inférieures à 13,5, et aucune valeur n’atteint 41,5 :
  
  $-44<13.5,\qquad -2<13.5,\qquad 40<41.5$
3. Chaque moustache s’étend jusqu’à la valeur la plus extrême qui ne soit pas aberrante : 16 du côté des petites valeurs et 40 du côté des grandes. −44 et −2 sont représentées par des points séparés.
Réponse

Bornes : 13,5 et 41,5 ; valeurs aberrantes : −44 et −2. La boîte s’étend de 24 à 31, avec la médiane à 27 ; les moustaches vont jusqu’à 16 et 40.

$16,\ 24,\ 27,\ 31,\ 40;\qquad -44,\ -2$
Ce qu’un diagramme en boîte ne montre pas 2 étapes
Les notes de la classe A sont 40, 48, 50, 51, 53, 57, 58, 59, 60, 62, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 92, 100 ; celles de la classe B sont 40, 43, 47, 50, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 71, 74, 78, 81, 84, 86, 90, 94, 97, 100. Comparez leurs diagrammes en boîte, puis leurs histogrammes avec des classes de 10 points.

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1. Avec n = 20, la médiane est la moyenne des 10ᵉ et 11ᵉ valeurs. Chaque moitié comprend 10 valeurs : Q₁ est donc la moyenne des 5ᵉ et 6ᵉ, et Q₃ celle des 15ᵉ et 16ᵉ :
  
  $A:\ \frac{53+57}{2}=55,\ \frac{62+78}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85\qquad B:\ \frac{54+56}{2}=55,\ \frac{69+71}{2}=70,\ \frac{84+86}{2}=85$
2. Les deux classes ont des notes allant de 40 à 100 : leurs diagrammes en boîte sont donc identiques. Les effectifs de leurs histogrammes, classe par classe à partir de [40 ; 50[, diffèrent :
  
  $A:\ 2,\ 6,\ 2,\ 1,\ 7,\ 1,\ 1\qquad B:\ 3,\ 4,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 1$
Réponse

Le même diagramme en boîte, défini par 40, 55, 70, 85, 100, représente deux distributions différentes. Dans la classe A, les notes forment deux groupes, sans aucune valeur strictement comprise entre 62 et 78. Le diagramme à points et le diagramme en tiges et feuilles permettent de lire précisément cet intervalle vide ; l’histogramme fait apparaître les deux groupes. Le diagramme en boîte ne montre ni l’un ni l’autre. Dans la classe B, les notes sont réparties régulièrement.

$40,\ 55,\ 70,\ 85,\ 100$

Exercices supplémentaires, réponses seules

Déterminez le résumé à cinq nombres de la série 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 31, 47, puis indiquez si 47 est une valeur aberrante.

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12, 15, 20, 28, 47. La borne supérieure vaut 47,5 : 47 n’est donc pas une valeur aberrante.

$12,\ 15,\ 20,\ 28,\ 47;\qquad 28+1.5\times13=47.5>47$
Sur les 2 201 personnes à bord du Titanic, 885 étaient membres d’équipage. Quelle est leur fréquence relative ? Quel graphique convient à la variable « classe » ?

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885/2 201 ≈ 40,2 % ; un diagramme en barres.

$\frac{885}{2201}\approx40.2\%$
Dans un diagramme en tiges et feuilles dont l’unité des feuilles est 0,1, quelles valeurs représentent 3 | 4 et −0 | 2 ?

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3,4 et −0,2

$3.4,\qquad -0.2$
Les 272 délais entre les éruptions d’Old Faithful sont regroupés en classes de 5 minutes à partir de 40. Les quatre premières classes ont pour effectifs 1, 20, 32 et 24. Quelle proportion des délais est inférieure à 60 minutes ?

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77/272 ≈ 28,3 %

$\frac{1+20+32+24}{272}=\frac{77}{272}\approx28.3\%$
Parmi le diagramme à points, le diagramme en tiges et feuilles, l’histogramme et le diagramme en boîte, lesquels permettent de retrouver chaque valeur de la série ?

Afficher la réponse

Le diagramme à points et le diagramme en tiges et feuilles, dans la limite de la précision donnée par l’unité des feuilles.
Un diagramme en boîte a pour quartiles Q₁ = 30 et Q₃ = 50. La valeur 82 est-elle aberrante ? Et la valeur 0 ?

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82 est aberrante, car la borne supérieure vaut 80. La valeur 0 ne l’est pas : la borne inférieure vaut 0, et 0 n’est pas strictement inférieur à cette borne.

$50+1.5\times20=80<82,\qquad 30-1.5\times20=0$

Old Faithful : deux bosses à 5 minutes, une seule à 20

Cliquez sur 272, classes de 5 min : les délais entre les éruptions se concentrent autour de 50 minutes et de 80 minutes, formant deux bosses séparées par un creux. Imaginez ce que donneront des classes quatre fois plus larges, puis cliquez sur 272, classes de 20 min. Les effectifs sont 77, 103 et 92 : une seule bosse, quelle que soit la borne de départ choisie. Le geyser, lui, n’a pas changé entre les deux graphiques. Ramenez la largeur à 2 minutes : l’histogramme présente alors huit sommets, dont la plupart relèvent du bruit statistique. La forme d’un histogramme dépend donc en partie des choix de la personne qui le trace. Avant de qualifier une distribution de bimodale, examinez-la avec plusieurs largeurs de classes. Le diagramme à points, au-dessus, n’exige aucun choix de largeur : les deux groupes y restent visibles quelle que soit la position du curseur.

Les classes A et B ont le même diagramme en boîte

Cliquez sur Classe A, puis sur Classe B, en observant le diagramme en boîte : il ne bouge pas. Les deux classes ont le même résumé à cinq nombres, 40, 55, 70, 85, 100. En l’absence de valeurs aberrantes, ces cinq nombres suffisent entièrement à tracer ce diagramme. Le diagramme à points permet de distinguer les classes au premier coup d’œil. Dans la classe A, aucune note n’est strictement comprise entre 62 et 78 : deux groupes se détachent. Dans la classe B, les notes sont réparties régulièrement de 40 à 100. Toutes les séries qui partagent ces cinq nombres donnent la même boîte ; celle-ci peut ainsi masquer un intervalle vide, une seconde bosse et même le nombre de valeurs. Le diagramme en boîte convient pour comparer plusieurs groupes côte à côte. Pour étudier la forme de la distribution au sein d’un groupe, il faut une autre représentation.

La forme d’un diagramme en barres n’a pas de sens statistique

Cliquez sur Titanic : par classe : 325 personnes en première classe, 285 en deuxième, 706 en troisième et 885 membres d’équipage. Cochez « Trier les barres par effectif » : leur hauteur décroît de gauche à droite, comme dans un histogramme présentant une asymétrie à droite. Décochez la case : les barres descendent, puis remontent. Vous aviez toute liberté de choisir leur ordre, car la catégorie « équipage » n’est ni supérieure ni inférieure à la première classe. Parler de symétrie ou d’asymétrie n’a donc pas de sens ici. Dans un histogramme, chaque barre occupe une place précise sur un axe numérique : vous ne pouvez pas les permuter. C’est aussi pourquoi elles se touchent, alors que les barres d’un diagramme en barres sont espacées. Pour décrire une variable qualitative, donnez les effectifs et les proportions, par exemple les membres d’équipage, qui représentent 40,2 % des 2 201 personnes à bord. La forme d’une distribution s’étudie pour les variables quantitatives.

Parcours

Statistiques : des données aux proportions

Références (6)

The stem-and-leaf display, the box-and-whisker plot, and the fences 1.5 times the spread between the hinges beyond the box, which the outlier rule on this page follows: Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07616-0.
Why quartiles differ between calculators and packages: nine sample-quantile definitions in use, compared. This page uses the medians of the two halves: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
The rule behind the page's starting bin width, about 1 + log₂ n classes: Sturges, H. A. (1926). The choice of a class interval. Journal of the American Statistical Association, 21(153), 65–66.
Old Faithful's 272 waiting times between eruptions, the data set behind the first three presets and insight block 1; R's documentation gives the source as Härdle (1991): R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Simon Newcomb's 66 measurements of the passage time of light (1882), as listed in Table 5; the Newcomb preset and solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.
The Titanic preset: 325 first-class, 285 second-class and 706 third-class passengers and 885 crew, 2,201 people, from the British Board of Trade inquiry: Dawson, R. J. MacG. (1995). The “unusual episode” data revisited. Journal of Statistics Education, 3(3).

Par l’équipe 7 Raven Room · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.

Représenter des données

D’où vient la formule

Exercices supplémentaires, réponses seules

Old Faithful : deux bosses à 5 minutes, une seule à 20 🖖

Les classes A et B ont le même diagramme en boîte 🖖

La forme d’un diagramme en barres n’a pas de sens statistique 🖖

Old Faithful : deux bosses à 5 minutes, une seule à 20

Les classes A et B ont le même diagramme en boîte

La forme d’un diagramme en barres n’a pas de sens statistique