合成関数の微分法

合成関数とは、関数が鎖のようにつながったものです。それぞれの環が、微小な変化を自身の変化率に応じて伸縮させます。関数の鎖を組み立てて x を選んでみてください。数直線が微小な区間を次々と運び、伸縮率が掛け合わされていきます。区間を狭めていけば、途中で幅が完全に潰れてしまわない限り、それぞれの伸び率は各関数の微分係数へと近づきます。仕組みが見えたら、自力で dy/dx を求めてみましょう。

連鎖律	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
関数記法	$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

計算例 — 合成関数の微分法

内側の値	4
出力	−0.7568
内側の変化率（x における値）	4
外側の変化率（u における値）	−0.6536
合成関数全体の傾き	−2.6146
y のみから求めた同じ傾き	−2.6146
内側の式を u と置き、y を u の式で表します。	sinu
最後に内側の関数を x で微分します。	2x

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 合成関数の微分法

u = g(x)、y = f(u) のとき、連鎖全体の変化率はそれぞれの環の変化率の積 dy/dx = f′(g(x))·g′(x) になります。どの変化率もその環が働く地点で測るため、外側の変化率は x ではなく u = g(x) で評価します。鎖がさらに長くなっても、環が一つ増えるごとに変化率をもう一つ掛け合わせるだけです。

各記号の意味

u: 内側の環が次に引き渡す値、u = g(x)
w: 三つの環がつながる連鎖において、中間の環が引き渡す値

公式の導き方

変化を環ごとに分解します。 x を Δx だけ動かしてみましょう。内側の環が u を Δu 動かし、外側の環は y を Δy 動かします。Δu が 0 でない限り、連鎖全体の比は二つの環それぞれの比の積に分解できます。画面上では、帯の伸び率が掛け合わされている様子として現れます。
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\qquad(\Delta u\neq0)$
Δx を小さくしていきます。 g は x で連続ですから、Δu も連動して縮んでいきます。内側の比は g′(x) に近づき、外側の比はその環が働く地点 u = g(x) における f′ に近づきます。積の極限は、極限の積です。
$\frac{\Delta u}{\Delta x}\to g'(x),\qquad\frac{\Delta y}{\Delta u}\to f'(u)=f'\bigl(g(x)\bigr)\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$
分解が覆い隠す例外。 微小な Δx に対して Δu が 0 になると、最初の式はゼロ除算に陥ってしまいます。厳密な証明では、Δu = 0 のときは外側の比の値を f′(u) と定めます。そうすれば積の関係はすべての Δx で成り立ち、極限も同じ値になります。

前提: どの環も、自身が働く地点で微分可能であること。0 における √u のように微分係数をもたない箇所が一つでもあれば、この公式からは何も言えず、画面上でも連鎖は未定義と表示されます。

全プロセスの詳細解説

一次式の累乗 3 ステップ
y = (3x + 1)⁴ を微分し、x = 0 における傾きを求めましょう。

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1. 連鎖の各要素とそれぞれの変化率を整理します。内側は一次式、外側は4乗の形です：
  
  $u=3x+1,\quad\frac{du}{dx}=3;\qquad y=u^{4},\quad\frac{dy}{du}=4u^{3}$
2. 外側の変化率から順に掛け合わせ、答案の定石通りに定数を先頭へまとめます：
  
  $\frac{dy}{dx}=4(3x+1)^{3}\cdot3=12(3x+1)^{3}$
3. x = 0 のとき、内側の値は 1 です：
  
  $x=0:\quad 12\cdot1^{3}=12$
解答

dy/dx = 12(3x + 1)³、x = 0 では 12 となります。誰もがつい落としてしまうのが、この 3 です。外側の変化率だけでは 4(3x + 1)³ となり、本来の傾きの三分の一にしかなりません。画面には二つの変化率として 3 と 4、その積である 12 が示されています。

$\frac{dy}{dx}=12(3x+1)^{3}$
二乗の正弦 3 ステップ
y = sin(x²) を微分し、x = 1 における傾きを求めましょう。

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1. 連鎖の各要素とそれぞれの変化率：
  
  $u=x^{2},\quad\frac{du}{dx}=2x;\qquad y=\sin u,\quad\frac{dy}{du}=\cos u$
2. 掛け合わせます。余弦をとるのは x ではなく、外側の関数が作用している u = x² です：
  
  $\frac{dy}{dx}=\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x=2x\cos\left(x^{2}\right)$
3. x = 1 のとき：
  
  $x=1:\quad 2\cos1\approx1{.}0806$
解答

dy/dx = 2x cos(x²)、x = 1 での傾きは 2 cos 1 ≈ 1.0806 です。この点では u = x² が 1 になるため、画面には外側の変化率として cos 1 である 0.5403 が表示されます。

$\frac{dy}{dx}=2x\cos\left(x^{2}\right)$
e^(−x²) が平らになる点 3 ステップ
y = e^(−x²) を微分し、傾きが 0 になる点と、x = 1 における傾きを求めましょう。

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1. 連鎖の各要素とそれぞれの変化率。e の累乗は、微分しても自分自身のままです：
  
  $u=-x^{2},\quad\frac{du}{dx}=-2x;\qquad y=e^{u},\quad\frac{dy}{du}=e^{u}$
2. 掛け合わせます：
  
  $\frac{dy}{dx}=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}}$
3. 指数関数は決して 0 にならないため、0 になり得るのは因数 −2x だけです：
  
  $e^{-x^{2}}>0\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=0\iff x=0;\qquad x=1:\ -\frac{2}{e}\approx-0{.}7358$
解答

dy/dx = −2x e^(−x²)。平らになるのは x = 0 だけで、x = 1 での傾きは −2/e ≈ −0.7358 です。0 の左側では傾きが正、右側では負となるため、x = 0 が曲線の頂点になります。

$\frac{dy}{dx}=-2x\,e^{-x^{2}}$
和の対数 3 ステップ
y = ln(x² + 1) を微分し、x = 1 における傾きを求めましょう。

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1. 連鎖の各段階と変化率：
  
  $u=x^{2}+1,\quad\frac{du}{dx}=2x;\qquad y=\ln u,\quad\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$
2. 掛け合わせます：
  
  $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^{2}+1}$
3. x = 1 のとき、内側の値は 2 です：
  
  $x=1:\quad\frac{2}{2}=1$
解答

dy/dx = 2x/(x² + 1) で、x = 1 における傾きはちょうど 1 です。画面には外側の変化率が 0.5 と表示されますが、これは u = 2 における 1/u の値です。

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+1}$
負の累乗 3 ステップ
y = 1/(2x − 1)³ を微分し、x = 1 における傾きを求めましょう。

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1. まずは累乗の形に書き直します。あとはこれまで通り、連鎖の各段階と変化率を追うだけです：
  
  $y=(2x-1)^{-3}:\quad u=2x-1,\quad\frac{du}{dx}=2;\qquad y=u^{-3},\quad\frac{dy}{du}=-3u^{-4}$
2. 掛け合わせ、負の累乗をもとの分数の形に戻します：
  
  $\frac{dy}{dx}=-3(2x-1)^{-4}\cdot2=-\frac{6}{(2x-1)^{4}}$
3. x = 1 のとき、内側の値は 1 です：
  
  $x=1:\quad-\frac{6}{1}=-6$
解答

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴ で、x = 1 における傾きは −6 です。分子が定数の分数式は、累乗の形にしてしまえば商の微分公式など一切使わずに済みます。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{(2x-1)^{4}}$
正弦の3乗 3 ステップ
y = sin³x を微分し、x = π/4 における傾きを求めましょう。

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1. sin³x は sin x の3乗ですから、外側が累乗、内側が正弦です：
  
  $\sin^{3}x=(\sin x)^{3}:\quad u=\sin x,\quad\frac{du}{dx}=\cos x;\qquad y=u^{3},\quad\frac{dy}{du}=3u^{2}$
2. 掛け合わせます：
  
  $\frac{dy}{dx}=3\sin^{2}x\cos x$
3. π/4 では、正弦も余弦もともに √2/2 です：
  
  $x=\tfrac{\pi}{4}:\quad3\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{3\sqrt2}{4}\approx1{.}0607$
解答

dy/dx = 3 sin²x cos x で、x = π/4 における傾きは 3√2/4 ≈ 1.0607 です。sin³x を sin(x³) と読み違えると、外側と内側が逆転し、まったく別の連鎖になってしまいます。

$\frac{dy}{dx}=3\sin^{2}x\cos x$
三段階の連鎖 3 ステップ
y = e^(sin(x²)) を微分し、x = 1 における傾きを求めましょう。

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1. 三段階の連鎖に、三つの変化率。それぞれが作用する場所で計算します：
  
  $u=x^{2},\ \frac{du}{dx}=2x;\quad w=\sin u,\ \frac{dw}{du}=\cos u;\quad y=e^{w},\ \frac{dy}{dw}=e^{w}$
2. 外側から順に、三つすべてを掛け合わせます：
  
  $\frac{dy}{dx}=e^{\sin(x^{2})}\cdot\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x$
3. x = 1 のとき：
  
  $x=1:\quad e^{\sin1}\cdot\cos1\cdot2\approx2{.}3198\cdot0{.}5403\cdot2\approx2{.}5068$
解答

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)) で、x = 1 における傾きは約 2.5068 です。連鎖が一つ増えても、掛け合わせる因数が一つ増えるだけ。考え方は何も変わりません。

$\frac{dy}{dx}=2x\cos\left(x^{2}\right)e^{\sin(x^{2})}$
合成関数を含む積 3 ステップ
y = x² sin(3x) を微分し、x = π/6 における傾きを求めましょう。
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1. 全体は積の形をしています。後ろの因数は合成関数ですから、微分によって内側の変化率である 3 が前に出ます：
  
  $\begin{aligned}u&=x^{2},&u'&=2x\\v&=\sin(3x),&v'&=3\cos(3x)\end{aligned}$
2. 積の微分法で組み立てます：
  
  $y'=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)$
3. x = π/6 のとき角 3x は π/2 となり、sin は 1、cos は 0 です：
  
  $\begin{aligned}&x=\tfrac{\pi}{6}:\quad\sin\tfrac{\pi}{2}=1,\ \ \cos\tfrac{\pi}{2}=0\\&y'=2\cdot\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}\end{aligned}$
解答

y′ = 2x sin(3x) + 3x² cos(3x)、x = π/6 における傾きは π/3 ≈ 1.0472 です。一番外側の演算は掛け算ですから、主導するのは積の微分法。合成関数の微分はその内側で働きます。ここで仮に 3 を掛け忘れても、x = π/6 では cos の項が 0 になるため、同じ π/3 が得られてしまいます。ひとつの点だけの確認ではこの誤りに気づけません。必ず別の点でも確かめておきましょう。

$\begin{aligned}&y'=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)\\&y'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{3}\approx1{.}0472\end{aligned}$
合成関数を含む商 3 ステップ
y = x/√(x² + 1) を微分し、x = 1 における傾きを求めましょう。
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1. 分母が合成関数になっている商の形です。まずはその分母を微分しておきます：
  
  $\begin{aligned}u&=x,\quad u'=1\\v&=\sqrt{x^{2}+1}\\v'&=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\end{aligned}$
2. 商の微分法を適用し、分母と分子に √(x² + 1) を掛けてひとつの分数にまとめます：
  
  $\begin{aligned}y'&=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}\\&=\dfrac{\left(x^{2}+1\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}\end{aligned}$
3. x = 1 のとき：
  
  $x=1:\quad y'=\dfrac{1}{2^{3/2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx0{.}3536$
解答

y′ = 1/(x² + 1)^(3/2)、x = 1 における傾きは 1/(2√2) ≈ 0.3536 です。導関数はすべての x で正ですから、曲線はどこまでも上がり続けます。それでも 1 に届くことはありません。直線 y = 1 は漸近線であり、グラフはその下側から限りなく近づいていきます。

$y'=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}},\qquad y'(1)\approx0{.}3536$
cos を何回押すか？ 4 ステップ
ラジアン表示の電卓に 1 が表示されている状態から、cos を押し続けます。cos p = p を満たす不動点 p = 0.739085… の近傍では、一回押すごとに誤差が cos′(p) = −sin p = −0.6736 倍されます。表示と p の差が 10⁻⁶ 未満になるまでに必要な回数を見積もり、その推定を確かめてみましょう。 x = 1 から を押すと、三回押した時点で 1 は 0.6543 になり、そこでの 3 段階の合成関数の傾きは −0.3273 です。

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1. 一回目を押す前の誤差：
  
  $e_0=1-p=1-0{.}739085=0{.}2609$
2. n 回押す操作は n 個の関数が連なる合成関数であり、p の近傍では各関数の変化率が等しいため、合成関数の微分法により n 個の等しい因数が掛け合わされます：
  
  $\frac{d}{dx}\underbrace{\cos(\cos(\cdots\cos x))}_{n}\Big|_{x=p}=(-\sin p)^{n}=(-0{.}6736)^{n},\qquad |e_n|\approx0{.}2609\times0{.}6736^{n}$
3. この誤差が 10⁻⁶ 未満になる条件を立て、対数を取ります：
  
  $0{.}2609\times0{.}6736^{n}<10^{-6}\iff n>\frac{\ln(0{.}2609/10^{-6})}{\ln(1/0{.}6736)}=\frac{12{.}47}{0{.}3951}=31{.}57$
4. 画面で試せる 3 回の適用は、まだ精度が粗い初期段階で見積もりをテストしています。最初の数回は p から離れた地点で行われるため、予測値 −0.0797 に対して実際の画面のずれは −0.0848 となっています。
  
  $e_3\approx0{.}2609\times(-0{.}3057)=-0{.}0797,\qquad e_3=0{.}6543-0{.}7391=-0{.}0848$
解答

32回。 見積もりは 31.57 なので 32 回となります。実際に反復計算を行ってもこの結果と一致し、31 回押した後の誤差は 1.286×10⁻⁶、32 回押した後は 8.664×10⁻⁷ です。一つ前の誤差で割った比率は、1 回目で −0.7619、2 回目で −0.5960 ですが、目標値へと迫るにつれて −0.6736 へと収束していきます。なお、このツールの画面では 3 段階の合成までを確認できます。

$n=32:\quad |e_{31}|=1{.}286\times10^{-6},\qquad |e_{32}|=8{.}664\times10^{-7}$

補充問題（答えのみ）

(5 − 2x)⁶ を微分しましょう。

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−12(5 − 2x)⁵

$y'=-12(5-2x)^{5}$
cos(3x²) を微分しましょう。

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−6x sin(3x²)

$y'=-6x\sin\left(3x^{2}\right)$
√(4x + 1) を微分し、x = 2 における傾きを求めましょう。

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2/√(4x + 1)、x = 2 のとき 2/3

$y'=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}},\qquad y'(2)=\tfrac23$
e^(sin x) を微分し、x = 0 における傾きを求めましょう。

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cos x · e^(sin x)、x = 0 のとき 1

$y'=\cos x\,e^{\sin x},\qquad y'(0)=1$
−π/2 < x < π/2 の範囲で ln(cos x) を微分しましょう。

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−tan x

$y'=-\tan x$
x²(x − 1)³ を微分し、結果を因数分解しましょう。

答えを表示

x(x − 1)²(5x − 2)

$y'=x(x-1)^{2}(5x-2)$

内側の因数を忘れても、一点だけなら検算をすり抜ける

中身の微分忘れ を押してみてください。ここで調べる合成関数は x = 2 における sin(x²) ですが、入力された答え cos(x²) は内側の変化率である 2x を落としています。そのため、この点では値が 4 倍もずれてしまいます。今度は 一点だけの検算 を押してみましょう。同じ答えでも、2x がちょうど 1 になる x = 0.5 では、真の傾きと一致してしまいます。内側の変化率がたまたま 1 だったとしても、たった一点で確かめただけでは、導関数の正しさは何一つ証明できません。このページでは 24 の点で検証を行い、そのすべてでこの答えを退けます。

cos を三回押すと、誤差の向きも三度反転する

cos を三回 を押してみてください。ここで調べる合成関数は、0.739085… における cos(cos(cos x)) です。これは cos を適用しても値が変わらない、唯一の数です。どの段階でもまったく同じ点で作用し、変化率も等しく約 −0.67 になるため、帯は一つ通るごとに反転して三分の一短くなります。電卓で cos を何度も押し続けたときに起きるのが、まさにこの振る舞いです。0.7391 の付近では、一回押すごとに誤差のおよそ三分の二が残り、符号が反転します。そのため表示は上へ下へと交互に振れながら、次第にその値へと迫っていきます。最後の例題では、実際にボタンを押す回数を数えています。

e の ln x 乗から ln x の導関数がわかる

e の ln x 乗 を押してみてください。二つのリンクは受け取った値をそのまま返すので、e^(ln x) = x となり、合成関数全体の傾きは 1 になります。合成関数の微分法によれば、この 1 は二つの変化率の積、つまり外側の変化率である e^(ln x)（これは x です）と ln の変化率を掛け合わせたものになります。したがって、x における ln の変化率は 1/x でなければならず、この論法は最初からその微分を知っている必要さえありませんでした。x を動かしても、二つの変化率は常に互いに逆数の関係を保ちます。

学習の道すじ

微分法：変化率はどう結びつくか

参考文献 (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。