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座標幾何エクスプローラー

2点から線分と直線全体が決まります。点をドラッグして、直角三角形・正確な距離・中点・方向ベクトル・傾斜角・直線の方程式・垂直二等分線がどうつながるか確かめてください。

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距離の公式は、三角形を消したピタゴラスの定理

この公式はたいてい暗記するものとして教えられますが、そうではありません。一方の点から水平線を、他方から垂直線を下ろせば、二つは直角で交わります。直角をはさむ2辺が Δx と Δy、線分が斜辺であり、d² = Δx² + Δy² は三角形を描かないままの a² + b² = c² です。このツールはそれを描きます。3-4-5 のプリセットを試してください。辺が 3 と 4、距離はちょうど 5 — エウクレイデス以来あらゆる練習問題に登場してきたのと同じ三角形です。

垂直な線分には長さがあり、傾きはない

両方の点を x = 3 に置くと、ツールは距離 10、傾き 未定義 と表示します。どちらも正しく、その二つが並ぶことこそが要点です。線分は明らかにそこにあり、明らかに 10 単位の長さがあります。ですから「未定義」は、直線が存在しないとか奇妙だとかいう意味ではありえません。Δy ÷ Δx がゼロで割っているという意味であり、破綻しているのは公式のほうで、直線ではないのです。垂直な直線にも方程式はあります。x = 3 です。ただそれが y = mx + c の形ではないだけで、その形はどの x にもちょうど一つの y が対応することを前提にしています。

距離が正確でないところで、中点は正確

中点は平均です。2つの x を足して半分にし、y でも同じことをします。これは算術であり、結果は正確に書き下せる数になります。距離のほうは平方根を必要とし、平方和の平方根が有理数になることはほとんどありません。単位対角線はその両方を同時に見せます。中点はちょうど (0.5, 0.5)、いっぽう距離は 1.41 でどこまでも続きます。同じ2点でありながら、一方の答えは正確で他方は近似であり、その違いはどの演算に手を伸ばさねばならなかったかだけにあります。

垂直二等分線は公平さの方程式

垂直二等分線を表示してください。緑の直線上の点 P は PA = PB を満たします。距離を二乗すると x² と y² が消え、二次式に見えた条件が直線になります。3-4-5 の例では 6x + 8y = 39 です。

全プロセスの詳細解説

  1. 原点から直線 4x − 3y = 1 までの距離 7 ステップ

    ツールはAとBを通る直線を 4x − 3y = 1 、線分の長さをちょうど5と出力します。ところが、直線上にない点、例えば原点からその直線までの距離を尋ねても、ツールは何も答えてくれません。この距離を、二つの点の座標だけから導き出してみましょう。

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    1. ここから先の展開はすべて、たった一回の引き算から生まれます。B − A はAからBへの道のりであり、横へ三つ、縦へ四つ進みます。これはまさに、ツールが直角を挟む二辺として二つの行に表示している値です。

      AB⃗=B−A=(4−1,  5−1)=(3,  4)\vec{AB}=B-A=(4-1,\;5-1)=(3,\;4)

    2. これらは線分を斜辺とする直角三角形の二辺ですから、その長さは三平方の定理からごく自然に求まります。今回は平方根が綺麗に外れる組み合わせです。25は平方数なので、ルートを残した形ではなく、5という正確な値が表示されるわけです。

      ∣AB∣=(Δx)2+(Δy)2=32+42=9+16=25=5|AB|=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

    3. 直線の方程式を求めるのに、割り算は一切必要ありません。直線上のどの点もAとの間に同じ傾きを作ります。その分母を払うと Δy·x − Δx·y となり、これは点Aの座標を代入した時の値と必ず等しくなります。画面に表示されているのはこの形です。y = mx + c では表現できない鉛直な線分であっても、この形なら破綻せずに書き表すことができます。

      Δy x−Δx y=Δy ax−Δx ay:4x−3y=4(1)−3(1)=1\Delta y\,x-\Delta x\,y=\Delta y\,a_x-\Delta x\,a_y:\qquad 4x-3y=4(1)-3(1)=1

    4. ここで、いま導き出した係数に注目してください。(4, −3) は (Δy, −Δx) であり、線分を直角に回転させたベクトルになっています。ベクトルを回転させても長さは変わらないため、この法線の長さも5のままです。線分ABと同じ5ですね。これは今回の設定による偶然ではありません。どんな二点の組み合わせでも成り立ちますし、これがあるからこそ次の計算が驚くほど簡単になるのです。

      n=(Δy, −Δx)=(4, −3),∣n∣=42+(−3)2=5=∣AB∣\mathbf{n}=(\Delta y,\,-\Delta x)=(4,\,-3),\qquad |\mathbf{n}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5=|AB|

    5. 法線に沿って一単位進むと、左辺は法線自身の長さである5だけ変化します。つまり、任意の点で左辺がとる値は、直線までの距離を5倍したものになるのです。原点の座標を代入してみましょう。分子は1になり、分母はあの5です。これで、直線が原点からちょうど五分の一の距離を通過することがわかります。

      d(P)=∣4px−3py−1∣∣n∣,d(O)=∣0−0−1∣5=15=0.2d(P)=\frac{|4p_x-3p_y-1|}{|\mathbf{n}|},\qquad d(O)=\frac{|0-0-1|}{5}=\frac{1}{5}=0.2

    6. その五分の一の距離を実際に進めば、直線上にたどり着くはずです。垂線の足は (0.16, −0.12) にあります。これを再び 4x − 3y に代入すると 0.64 + 0.36 = 1 となり、確かに直線上にあることが確認できます。出発点からの距離も間違いなく0.2です。

      F=O−n⋅O−1∣n∣2 n=125(4, −3)=(0.16, −0.12),4(0.16)−3(−0.12)=0.64+0.36=1F=O-\frac{\mathbf{n}\cdot O-1}{|\mathbf{n}|^{2}}\,\mathbf{n}=\frac{1}{25}(4,\,-3)=(0.16,\,-0.12),\qquad 4(0.16)-3(-0.12)=0.64+0.36=1

    7. ここから、もう一つの結果がおまけについてきます。距離の公式の分母が |AB| ならば、距離に |AB| を掛けた値は、O、A、Bを頂点とする三角形の面積のちょうど2倍になるはずです。

      [OAB]=12 ∣AB∣ d(O)=12⋅5⋅0.2=0.5,12 ∣xAyB−xByA∣=12 ∣1⋅5−4⋅1∣=0.5[OAB]=\tfrac12\,|AB|\,d(O)=\tfrac12\cdot5\cdot0.2=0.5,\qquad \tfrac12\,|x_Ay_B-x_By_A|=\tfrac12\,|1\cdot5-4\cdot1|=0.5

    解答

    直線は原点から0.2の距離を通り、三角形OABの面積はちょうど½になります。 距離を使わない別の方法でも面積を確認してみましょう。靴ひもの公式を使えば、½|xAyB − xByA| = ½|5 − 4| = ½ となります。最初の一回の引き算以降は全く異なる計算の道筋をたどった二つの導出が、見事に同じ値に行き着きました。ツールが教えてくれるのは三行目までで、そこから先は沈黙してしまいます。ある点からの距離や垂線の足の座標、そして面積は、ツールが計算してくれない領域なのです。

    d(P)=∣n⋅P−c∣∣n∣,∣n∣=∣AB∣=5 ⟹ d(O)=15=0.2,[OAB]=12⋅5⋅0.2=0.5d(P)=\frac{|\mathbf{n}\cdot P-c|}{|\mathbf{n}|},\quad |\mathbf{n}|=|AB|=5\ \Longrightarrow\ d(O)=\tfrac15=0.2,\qquad [OAB]=\tfrac12\cdot5\cdot0.2=0.5
  2. 二つの成分が格子について教えてくれること 6 ステップ

    パネルには Δx = 10.0、Δy = −10.0 と表示されています。この線分が途中でいくつの格子点を通過するかを計算し、二つの成分だけでそれが判断できたかどうかを考えてみましょう。

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    1. まずは長さを求めましょう。後でこの値で割ることになるからです。√(10² + 10²) = √200 = 10√2 となり、パネルには丸められた 14.14 と厳密な 10√2 の二通りで表示されます。

      AB⃗=(10, −10),∣AB∣=102+102=200=102=14.14\vec{AB} = (10,\,-10), \qquad |AB| = \sqrt{10^{2}+10^{2}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} = 14.14

    2. この線分上の移動を式で表してみます。X(t) = A + t(Δx, Δy) = (−5 + 10t, 6 − 10t) となり、t は 0 から 1 まで変化します。

      X(t)=A+t (Δx, Δy)=(−5+10t,  6−10t),0≤t≤1X(t) = A + t\,(\Delta x,\,\Delta y) = (-5+10t,\;6-10t), \qquad 0 \le t \le 1

    3. tΔx と tΔy が共に整数になるとき、X(t) の座標も整数になります。これは、|Δx| と |Δy| の最大公約数を g としたとき、t が 1/g の倍数になる場合と完全に一致します。ここでは g = gcd(10, 10) = 10 となるため、t は十分の一刻みで変化します。

      X(t)∈Z2  ⟺  t Δx, t Δy∈Z  ⟺  t=mg,g=gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣)=gcd⁡(10,10)=10X(t) \in \mathbb{Z}^{2} \iff t\,\Delta x,\ t\,\Delta y \in \mathbb{Z} \iff t = \frac{m}{g}, \qquad g = \gcd(|\Delta x|,|\Delta y|) = \gcd(10,10) = 10

    4. t が十分の一進むごとの変化量は (Δx/g, Δy/g) = (1, −1) です。これにより、両端の間に (−4, 5)、(−3, 4) から (4, −3) まで、ちょうど九つの格子点が存在することがわかります。線分の長さ自体も g で等分されるため、これらの点は √2 ずつ均等に離れています。

      (Δxg,Δyg)=(1, −1):(−4,5), (−3,4), …, (4,−3)  — g−1=9 points, spaced ∣AB∣g=2\left(\tfrac{\Delta x}{g},\tfrac{\Delta y}{g}\right) = (1,\,-1): \quad (-4,5),\,(-3,4),\,\dots,\,(4,-3) \ \ \text{— } g-1 = 9 \ \text{points, spaced } \tfrac{|AB|}{g} = \sqrt{2}

    5. 線分の長さがいつ整数になるのかも、同様の分割から分かります。|AB| = g√((Δx/g)² + (Δy/g)²) となるため、根号の中身は完全に約分されたペアに依存します。今回のペアは (1, 1) であり、√2 が消えることはありません。3-4-5 の設定では g = 1 となり、既約なペアである (3, 4) はピタゴラス数における直角を挟む二辺となります。距離がぴったり 5 と表示されるのはそのためです。

      ∣AB∣=g(Δxg)2+(Δyg)2=1012+12;(3,4): g=1, 32+42=5|AB| = g\sqrt{\left(\tfrac{\Delta x}{g}\right)^{2} + \left(\tfrac{\Delta y}{g}\right)^{2}} = 10\sqrt{1^{2}+1^{2}}; \qquad (3,4):\ g = 1,\ \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5

    6. 中点について、改めて計算する必要はありません。中点は t = ½ のときの点であるため、½ が 1/g の倍数になるとき、つまり g が偶数のときにのみ格子点上に位置します。今回は g = 10 であるため、中点 (0, 1) は九つのうちの五番目にあたります。3-4-5 の設定では g = 1 となり、(2.5, 3) は格子の線と線の間に位置することになります。

      M=(ax+bx2, ay+by2)∈Z2  ⟺  Δx, Δy both even:(0, 1) ✓,(3,4)⇒(2.5, 3) ×M = \left(\tfrac{a_x+b_x}{2},\,\tfrac{a_y+b_y}{2}\right) \in \mathbb{Z}^{2} \iff \Delta x,\ \Delta y \ \text{both even}: \quad (0,\,1)\ \checkmark, \qquad (3,4) \Rightarrow (2.5,\,3)\ \times

    解答

    九つです。そして、判断は可能でした。二つの成分の最大公約数があらゆることを決定づけており、パネルには両方の成分が表示されています。格子点を結ぶ線分は間に g − 1 個の格子点を通過します。また、その長さが有理数になるのは既約なペアがピタゴラス数である場合のみであり、中点が格子点になるのは g が偶数の場合のみです。最後の判定からは、ぜひ覚えておきたい重要な結論が導かれます。格子点は二つの座標の偶奇性によって四つのグループに分類されます。したがって、任意の五つの点があれば、必ず二つは同じグループに属し、その二点の中点は必ず格子点上に位置することになるのです。

    g=gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣):g−1 lattice points between,∣AB∣∈Q  ⟺  (Δxg,Δyg) is a Pythagorean pairg = \gcd(|\Delta x|,|\Delta y|): \quad g-1 \ \text{lattice points between}, \quad |AB| \in \mathbb{Q} \iff \left(\tfrac{\Delta x}{g},\tfrac{\Delta y}{g}\right) \ \text{is a Pythagorean pair}

学習の道すじ

三角形の公式は、どこから来るのか

参考文献 (2)
  • the origin of describing a curve by the coordinates of its points Descartes, R. (1637). La Géométrie, appendix to Discours de la méthode. Leiden: Jan Maire.
  • the theorem the distance formula is an application of Euclid. Elements, Book I, Proposition 47.

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。