三角形計算機：SSS・SAS・ASA・AAS・SSA

既知の辺と角から三角形を解きます。計算手順、SSAの複数解、正弦定理と余弦定理の使い分けを図で確認できます。

計算例 — 三角形ソルバー

ケース	SSS

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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1つのデータが現実を分岐させるとき

三つの測定値が、必ずしも三つの事実を定めるとは限りません。SSAの場合、同じ数値から異なる二つの三角形が生じます。正弦の値だけでは、ある角とその補角を区別できないからです：sin(θ) = sin(180° − θ)。入力は一組でも三角形は二つあり、計算上どちらか一方を選ぶ根拠はありません。

なぜ必ず一辺が必要なのか

3つの既知の値があれば三角形はたいてい一つに定まりますが、少なくとも1つは辺でなければなりません。3つの角だけ(AAA)では形は決まっても大きさは決まりません。小さな三角形と巨大な三角形がまったく同じ角度を持つことがあるからです。このツールは2つの規則を使います。三辺(SSS)または二辺とその間の角(SAS)がわかるときは余弦定理を、それ以外では正弦定理を用います。

隠れた円が比を決める

正弦定理 a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) の共通の値には、それ自体に大切な意味があります。この値は、三頂点を通るただ一つの円、すなわち外接円の直径 2R に等しくなります。どの三角形にも外接円があり、正弦定理が測っているのは、実はその大きさなのです。外接円の半径を2倍にすれば、辺とその対角の正弦との比もすべて2倍になります。

三角形の理論 — ケース別

どの三角形ケースですか？

既知として示された値から始めます。方法を決めるのは三角形の見た目ではなく、既知量の並びです。少なくとも一辺が必要です。

SSS - 三辺 c² = a² + b² − 2ab cos C

SAS - 二辺とその間の角 c² = a² + b² − 2ab cos C

ASA/AAS - 二角と一辺 C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

SSA - あいまいなケース sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

AAA — 3角だけでは不十分 A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

SSS - 三辺

分かっているもの: 3辺すべての長さ a、b、c。

方法: c² = a² + b² − 2ab cos C

計算例: a = 3、b = 4、c = 5 なら直角三角形になります。

このケースを開く: SSS

SSS - 三辺. SSS：三角不等式を満たす3辺は、1つの三角形を決定します。 3辺すべての長さ a、b、c。 — SSS：三角不等式を満たす3辺は、1つの三角形を決定します。

SAS - 二辺とその間の角

分かっているもの: 2辺と、その間の角。

方法: c² = a² + b² − 2ab cos C

計算例: a = 7、b = 5、C = 60° なら対辺 c が決まります。

このケースを開く: SAS

SAS - 二辺とその間の角. SAS：強調された2辺とその間の角が、1つの三角形を決定します。 2辺と、その間の角。 — SAS：強調された2辺とその間の角が、1つの三角形を決定します。

ASA/AAS - 二角と一辺

分かっているもの: 2角と任意の1辺（ASAまたはAAS）。

方法: C = 180° − A − B; a / sin A = c / sin C

計算例: A = 40°、B = 75°、c = 8 なら、まず C = 65° です。

このケースを開く: ASA

ASA/AAS - 二角と一辺. ASA/AAS：2角が形を決め、1辺が大きさを決めます。 2角と任意の1辺（ASAまたはAAS）。 — ASA/AAS：2角が形を決め、1辺が大きさを決めます。

SSA - あいまいなケース

分かっているもの: 2辺と、その間ではない一方の辺の対角。

方法: sin B = b sin A / a; B′ = 180° − B

計算例: a = 7、b = 9、A = 40° では2つの三角形ができます。

このケースを開く: SSAのあいまいなケース

SSA - あいまいなケース. SSA：同じ既知量から、2か所で交わる2つの三角形が生じることがあります。 2辺と、その間ではない一方の辺の対角。 — SSA：同じ既知量から、2か所で交わる2つの三角形が生じることがあります。

AAA — 3角だけでは不十分

分かっているもの: 3角すべて。ただし辺の長さは不明。

方法: A + B + C = 180° ⇒ ∞ △

計算例: 30°、60°、90° は大きさの異なる無数の三角形を表します。

AAAには一辺が必要 — ASA/AASを開く

AAA — 3角だけでは不十分. AAA：同じ角を持つ小さい三角形と大きい相似三角形。 3角すべて。ただし辺の長さは不明。 — AAA：同じ角を持つ小さい三角形と大きい相似三角形。

全プロセスの詳細解説

3辺のみによる3-4-5の三角形の解法 5 ステップ
辺の長さが 3-4-5 の三角形は直角三角形であり、どの角が直角であるかは誰に教わるまでもない。 3 辺のみからこの三角形を解き、そこに潜む 2 つの円を求めよ。これが SSS の場合である。
1. 3 辺が与えられ角がひとつもない場合、突破口となるのは余弦定理のみであり、左辺に残した辺の対角のコサインを与える形に変形して用いる。
  
  $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{40}=0.8 \quad\Longrightarrow\quad A=36.8699^\circ$
2. 2 つ目の角についても同様に繰り返す。この段階ではまだ近似値は一切含まれておらず、0.8 と 0.6 は厳密な値であり、小数があらわれるのはアークコサインをとるときだけである。
  
  $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9+25-16}{30}=0.6 \quad\Longrightarrow\quad B=53.1301^\circ$
3. 3 つ目の角は内角の和から求まる。あえて余弦定理を適用してみると、分子は 9 + 16 − 25 = 0 となり、コサインは正確にゼロとなる。この三角形が直角三角形であるのは、たまたま 3² + 4² が 5² に等しくなるからであり、それ以外の理由はない。
  
  $C=180^\circ-A-B=90^\circ,\qquad \cos C=\frac{9+16-25}{24}=0$
4. ヘロンの公式に必要なのは周長と 3 つの辺だけである。公式は 6 を返し、これは ½ × 3 × 4 とも一致する。2 つの公式による結果は一致しなければならず、ここでは実際に一致することが確認できる。
  
  $s=\frac{12}{2}=6,\qquad K=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6=\tfrac12ab$
5. パネルには表示されない 2 つの半径がある。直角三角形において斜辺は外接円の直径となるため、R = 2.5 である。内接円の半径は r = (a + b − c)/2 = 1 であり、面積は r × s に等しく、ここでも再び 6 となる。
  
  $R=\frac{c}{2}=2.5,\qquad r=\frac{a+b-c}{2}=1,\qquad K=rs=1\times6=6$
解答

ツールは A = 36.8699°、B = 53.1301°、C = 90°、および周長 12 を出力する。注目すべきはステップ 3 である。ピタゴラスの定理は余弦定理と並ぶ別個の定理ではなく、−2ab·cos C の項が消滅する 90° において評価された余弦定理にほかならない。直角が持つあらゆる著名な性質は、この単一の項がゼロになることに由来している。だからこそ余弦定理はすべての三角形で成り立ち、ピタゴラスの定理は 1 つの種類の三角形で成り立つのである。

$\cos C=0\ \Longleftrightarrow\ a^2+b^2=c^2:\ \text{Pythagoras is the cosine law at }90^\circ$
長さ7と5の2辺とその間の角 60° 5 ステップ
7 と 5 の 2 辺と、その間に 60° の角がある。 3 つ目の辺と残りの 2 つの角を求めよ。ただし、2 つ目の角は正弦定理ではなく、あえて余弦定理から求めること。これが SAS の場合である。

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1. 既知の角は 2 つの既知の辺の間に位置しており、これこそが余弦定理が想定している配置そのものである。余弦定理はその角の対辺の長さを与えてくれる。
  
  $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=49+25-2(35)\left(\tfrac12\right)=39 \quad\Longrightarrow\quad c=6.245$
2. 60° においてコサインは正確に ½ であるため、−2ab·cos C の項全体が −ab に簡素化され、式は a² + b² − ab となる。これは覚えておくと役立つ形であり、この形が現れる角は 60° だけである。
  
  $\cos 60^\circ=\tfrac12\ \Longrightarrow\ c^2=a^2+b^2-ab$
3. 次に角 A を求める。正弦定理を用いても計算でき、入力も簡単だが、アークサインは第 1 象限の角を返し、その補角も同様に有効であるため、2 つの候補が提示されて選択の手段がなくなってしまう。一方、余弦定理は符号付きのコサインを返し、コサインは三角形の内角がとり得る全範囲において 1 対 1 に対応する。
  
  $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+39-49}{62.45}=0.2402 \quad\Longrightarrow\quad A=76.1021^\circ$
4. 最後の角は内角の和から求まるため、あいまいさが生じる余地はない。
  
  $B=180^\circ-60^\circ-76.1021^\circ=43.8979^\circ$
5. 面積を求めるには、今求めたどちらの角も、3 つ目の辺も必要ない。2 辺とその間の角があれば十分である。
  
  $K=\tfrac12ab\sin C=\tfrac12(7)(5)\sin60^\circ=15.155$
解答

ツールは c = 6.245、A = 76.1021°、および B = 43.8979° を出力する。ステップ 3 こそが、SAS が安全なケースであり SSA がそうでない理由である。cos θ は 0° から 180° の間で各値を 1 度しかとらないため、余弦定理にあいまいさが生じることは決してない。それに対して sin θ は各値を 2 度とるため、正弦定理は常があいまいに成り得る。2 辺とその間の角が与えられたとき、三角形はすでに一義的に決定されており、計算はその値を読み取っているに過ぎない。次の問題は、決定されていない場合に何が起きるかである。

$\text{SAS is never ambiguous: }\cos\theta\ \text{is one-to-one on }(0^\circ,180^\circ)$
a = 7, b = 9, A = 40° のSSAの場合 5 ステップ
a = 7, b = 9, A = 40° — パネルには 1 つの三角形が表示されているが、2 つの解が存在すると示されている。 もう 1 つの解を求めよ。これが SSA の場合である。

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1. 遠い方の頂点から既知の角が位置する直線へ垂線を下ろす。その長さは h = b·sin A = 5.7851 であり、辺 a はその直線に届かなければならない。短すぎれば三角形は存在せず、ちょうど h であれば 1 つ存在し、h より長ければ 2 つ存在する（ただし a が b を超えると 2 つ目は消失する）。ここでは h < a < b であるため、解は 2 つある。
  
  $h=b\sin A=9\sin40^\circ=5.7851,\qquad h<a<b$
2. 正弦定理により B のサインが得られ、アークサインは鋭角の解を返す。
  
  $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{9\sin40^\circ}{7}=0.826441 \quad\Longrightarrow\quad B_1=55.7349^\circ$
3. 鈍角の解も同じサインを持つ。この解が成り立ち得るのは 3 つ目の角が入る余地が残されている場合のみであるが、40° + 124.2651° は 180° 未満であるため、確かに成り立つ。
  
  $B_2=180^\circ-55.7349^\circ=124.2651^\circ,\qquad A+B_2=164.27^\circ<180^\circ$
4. 1 つ目の三角形を完成させる。3 つ目の角を求め、次に正弦定理で 3 つ目の辺を求め、最後に面積を求める。
  
  $C_1=84.2651^\circ,\quad c_1=\frac{a\sin C_1}{\sin A}=10.8356,\quad K_1=31.3423$
5. 2 つ目の三角形も同様にして完成させる。同じ a、同じ b、同じ A でありながら、面積は 3 分の 1 未満の三角形となる。
  
  $C_2=15.7349^\circ,\quad c_2=\frac{a\sin C_2}{\sin A}=2.9532,\quad K_2=8.5424$
解答

パネルは SSA（2つの解） と表示し、h = 5.7851、B = 55.7349°、c = 10.8356、および面積 31.3423 を出力する — これが 1 つ目の解である。c = 2.9532、面積 8.5424 となる 2 つ目の解は読者の課題として残されており、これこそがこのケースの偽らざる実態である。データが三角形を決定しないため、いかなる計算ツールも唯一の解答を差し出すことはできない。この方法で測定されるすべてのもの — 方位角と 2 つの距離、軸オフセット角を持つレーダー距離など — は同じ分岐を伴っており、解決策は計算を増やすことではない。もう 1 回の測定か、2 つのうち 1 つが物理的にあり得ない理由を見つけることである。

$\sin\theta=\sin(180^\circ-\theta):\ \text{two triangles, and the panel prints one}$

学習の道すじ

三角形の公式は、どこから来るのか

参考文献 (1)

The circle hiding behind the law of sines, and why one dataset can describe two triangles: G. Van Brummelen, "Sines, cosines, and their relatives", chapter 2 of Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020.

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